考点通关练 5函数的图象与性质 专项训练 - 2027 届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数图象与性质核心考法，通过16道模拟题构建从基础性质到综合应用的知识逻辑链，渗透几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|8|图象识别、零点分析、性质应用|以奇偶性、周期性为基础，延伸至零点分布与不等式整数解| |多选|3|实际应用、参数图象、抽象函数|结合燃油效率情境，强化性质综合判断与数形结合| |填空|3|零点个数、新定义函数、周期求值|从具体函数到抽象函数，深化性质迁移与计算能力| |解答|2|单调性证明、切线与不等式证明|以导数为工具，构建性质应用与逻辑推理的完整链条|

考点通关练 5函数的图象与性质模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.（2026·湖南长沙三模）函数在区间上的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，定义域为关于原点对称， 计算得，故为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A、B. 当时，，，故，排除选项C. 故选：D. 2.（2026·湖南常德三模）已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】有四个不同零点等价于与有四个不同交点，结合的图象得，化简得，由此可得A错误. 对于对应的二次函数，其对称轴为，由二次函数对称性得，故D正确. 由得，整理得，故，B正确. 由得，化简得，故C正确. 答案为A. 3.（2026·湖南长沙三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，令得，令得或，故的递增区间为，递减区间为和. 当时，由得，不存在满足条件的整数解，不符合要求，当时，不等式化为，同样不存在整数解，不符合要求. 当时，由得，计算得，，结合在上单调递增，得. 要使不等式有且仅有三个整数解，整数解只能为，由此可得，即的取值范围为. 故选：A. 4.已知，且，则（ ） A.      B. C.      D. 【答案】C 【解析】选项A：函数是减函数，， 则，故，A错误. 选项B：取，，，， 则，B错误. 选项C：函数是增函数，，则，即，C正确. 选项D：函数是增函数，，则， 即，D错误. 故答案选：C. 5.（2026·山东青岛二模）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（） A.6 B.4 C.2 D.0 【答案】A 【解析】由，得，，整理得. 因为为奇函数，所以，两边对求导得，化简得. 结合得，从而，故是以为周期的周期函数. 由此得，，，由得，令得，故. . 故选：A. 6.（2026·山东济南一模）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（） A.2 B.1 C.0 D. 【答案】D 【解析】由，将替换为得，即. 再将替换为得，故是周期为的周期函数. 因为是定义在上的奇函数，所以，在中令，得. 由得，令代入得，令代入得. 计算得，又，故. 故选：D. 7.（2025-2026·湖南高三上联考）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（  ） A.463 B.464 C.465 D.466 【答案】B 【解析】由的图象关于直线对称, 得的图象关于直线对称, 故的图象关于直线对称, 即. 由, 得. 又, 得, 故. 即, 故的图象关于原点对称,即为奇函数. 故, 得的周期为4. 由, 得. 又,得. 由为奇函数及周期4, 得,,,,且, 故在一个周期内的和为. （令）. . . 故. 答案为B. 8.（2025-2026·湖南永州高三上模拟）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（） A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】由函数周期为2, 得； 由,得； 由是偶函数,得； 由且, 得； 得. 答案为C. 二、多选题（共3小题） 9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中错误的有(　　) A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】ABC 【解析】根据图象所给数据，逐个验证选项． 根据图象知，当行驶速度大于40千米/小时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D正确． 10.（2024-2025·湖南长沙高三下调研）已知且，则函数的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】函数，定义域，得. 令，在恒成立，所以在单调递增. 因为，，所以存在唯一，使， 即，此时. 当，，单调递减； 当，，单调递增， . 由，两边取对数得，即， ， 又，所以. 若，在减，增，， 时，，，所以，图象如B. 若（即），，， 当，，，时 ，先减后增，可能出现，图象如C、D. 而A中函数有小于部分且时，不可能， 所以A错误，BCD可能正确. 故选：BCD. 11.（2026·湖南衡阳三模）定义在上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于，则下列选项正确的是（） A.为奇函数 B. C. D.若，则 【答案】ABD 【解析】法一：令，得，因为恒大于，，所以. 令，代入得，结合为偶函数得，又恒大于，故，定义域为，所以为奇函数，A正确. 令代入的等式，得，结合得，再令代入得，结合为偶函数、为奇函数化简得，故B正确. 用替换，得，又，两式相乘得，结合、展开化简得，若成立，则，显然不成立，故C错误. 令得，，两式相加得，递推可得，令，，得，结合，因式分解得，故，D正确. 法二：取，，满足题设所有条件，，定义域为，故为奇函数，A正确. 计算得，故B正确. 计算得，而，两者不恒相等，故C错误. 若，则，计算得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12.（2026·湖南株洲二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是                   ． 【答案】 【解析】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由. 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 13.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是                  ． 【答案】1 【解析】法一：在同一直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示． 易知点A(2,1)为图象的最高点， 因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 法二：依题意，h(x)＝ 当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数， 当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数， 所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1. 14.（2026·湖南岳阳三模）已知的定义域为，周期为，当时，，则                   ． 【答案】7 【解析】由周期为，得，又，代入得. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.（2026·湖南张家界三模）设函数. (1)求的单调区间； (2)证明：函数在定义域内单调递减； (3)设的外接圆直径为，且内角所对的边分别为，若在数值上，当且仅当，证明：. 【答案】(1)解：由得，设，求导得. 当时，且，故，在上单调递减，又，因此对任意恒成立. 由此可得在定义域内恒成立，故在上单调递减，即的单调减区间为，无单调递增区间. (2)证明：，定义域，求导得，因为，只需证明分子. 当时，，，故，，因此，，故，，在上单调递减. 当时，，不等式等价于，设，，求导得，故单调递增，由得，即对任意成立. 由得，只需证即，此结论已证，故，整理得，，在上单调递减. 综上，函数在定义域内单调递减. (3)证明：在中，由正弦定理得，，代入得，整理得. 设，，题设条件等价于方程在，时只有唯一解. 当时，，时，单调递增，故单调递增，由(1)知和均为正值减函数，故在上单调递减. 不妨设，若，由及单调性得； 若，由得，由单调性得，又，因，，故，联立得，与矛盾，故当时仅满足条件. 当时，存在使得，故，取使得，则，令，则，，故，得. 比较和，，，故，即，设，则，，由零点存在性定理得存在使得即，令，则，，故，与题设矛盾，故不成立. 综上可得. 16.（2026·山东威海一模）已知函数的图象关于点中心对称． (1)求的值； (2)设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； (3)设，证明：． 【答案】(1)解：图象关于点中心对称，故，代入得，化简得，整理得. 由此可得方程组，解得. (2)证明：设切线切点为，求导得，故切线方程为. 令得，令得，计算得，故为定值，与切点无关. (3)证明：解法一：令，求导得. 当时，故在上单调递增，又，故在上单调递减. 由，得对任意正整数成立，若，递推可得，与已知矛盾，故. 当时，，，整理得，取对数得，故；当时，，，整理得，取对数得，同样得. 综上得，累乘可得，代入得，原不等式得证. 解法二：令，则，由递推关系得，故. 由递推得，若可得，与已知矛盾，故. 计算得，. 当时，可得，开方取对数得；当时，可得，开方取对数得. 综上可得，递推得，整理得，原不等式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 5函数的图象与性质模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.（2026·湖南长沙三模）函数在区间上的图象大致为（） A. B. C. D. 2.（2026·湖南常德三模）已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（） A. B. C. D. 3.（2026·湖南长沙三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（） A. B. C. D. 4.已知，且，则（ ） A.      B. C.      D. 5.（2026·山东青岛二模）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（） A.6 B.4 C.2 D.0 6.（2026·山东济南一模）已知是定义在上的奇函数，满足，，则（） A.2 B.1 C.0 D. 7.（2025-2026·湖南高三上联考）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（  ） A.463 B.464 C.465 D.466 8.（2025-2026·湖南永州高三上模拟）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（） A. B. C. D.2 二、多选题（共3小题） 9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中错误的有(　　) A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10.（2024-2025·湖南长沙高三下调研）已知且，则函数的图象可能是（） A. B. C. D. 11.（2026·湖南衡阳三模）定义在上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于，则下列选项正确的是（） A.为奇函数 B. C. D.若，则 三、填空题（共3小题） 12.（2026·湖南株洲二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是                   ． 13.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是                  ． 14.（2026·湖南岳阳三模）已知的定义域为，周期为，当时，，则                   ． 四、解答题（共2小题） 15.（2026·湖南张家界三模）设函数. (1)求的单调区间； (2)证明：函数在定义域内单调递减； (3)设的外接圆直径为，且内角所对的边分别为，若在数值上，当且仅当，证明：. 16.（2026·山东威海一模）已知函数的图象关于点中心对称． (1)求的值； (2)设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； (3)设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $