考点通关练 10导数的概念及其意义、导数的运算专项训练 - 2027 届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖切线方程、极值点等高频考点，强化知识逻辑与解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|4题（选择1-3、5）|切线方程求解，考查导数几何意义|从导数概念生成，理解其几何意义| |运算应用|4题（选择7、多选9）|导数公式与法则应用，运算正确性判断|掌握基本求导法则，形成运算能力| |综合拓展|2题（解答15-16）|切线方程与函数零点综合，体现应用意识|从概念到运算，再到函数性质应用，构建完整逻辑链|

考点通关练 10导数的概念及其意义、导数的运算模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.（2026·湖南长沙三模）函数的图象在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由求导得，代入得，计算得. 由点斜式切线公式得，整理得. 故选：B. 2.（2026·河北石家庄二模）已知函数的极值点为0，则（） A.0 B. C. D. 【答案】C 【解析】对求导得， 因为的极值点为， 故， 即， 解得. 将代入得， 令得，时，时， 由此可得是的极值点，符合题意. 故选：C. 3.（2025-2026·安徽高三下模拟）函数的图象在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】展开得， 求导得. 代入得，由点斜式得切线方程为，化简得. 故选：A. 4.已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线，则当时，的最小值为（ ） A.-1 B.-2 C. D.0 【答案】D 【解析】由题意，即，设，， 因为，，所以，， 又因为两曲线在点P处有公切线，所以，所以b=2，c=-1， 所以 (当且仅当x=1时等号成立). 故选：D. 5.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数为，所以. 对求导，得，代入，得. 由点斜式方程，切线方程为，即. 故选：B. 6.（2026·陕西西安三模）已知抛物线在处的切线与圆交于两点，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由抛物线方程得，求导得. 当时，，切线斜率， 整理得切线方程为. 由圆的方程得圆心，半径. 圆心到切线的距离， 由弦长公式得. 在中，， 由余弦定理得. 因为， 所以. 故选：A. 7.若函数f(x)＝ln x－2x＋1，则f'等于(　　) A.0 B. C. D. 【答案】A 【解析】f'(x)＝－2， 所以f'＝2－2＝0. 8.（2026·浙江嘉兴二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由求导得，设切点为， 得切线斜率，切线方程为. 整理得截距，由得，解得. 在上单调递增， 故时，取得最小值. 故选：D. 二、多选题（共3小题） 9.下列求导运算正确的是(　　) A.若y＝(x＋1)ln x，则y'＝ln x＋＋1 B.'＝－sin C.'＝－2xln 2 D.(ln 2x)'＝ 【答案】AC 【解析】对于A，若y＝(x＋1)ln x，则y'＝ln x＋＝ln x＋＋1，故A正确； 对于B'＝0，故B错误； 对于C'＝'－2xln 2＝－2xln 2，故C正确； 对于D，(ln 2x)'＝故D错误. 10.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A. y＝x3＋x B. y＝lnx C. y＝ex D. y＝xex＋1 【答案】ABC 【解析】设函数y＝f(x)的图象上存在两点(x1，y1)，(x2，y2)，若k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1，则图象在这两点处的切线互相垂直．对于A，y′＝3x2＋1，k1·k2＝(3x＋1)·(3x＋1)≠－1，故A不具有T性质；对于B，y′＝，因为x1>0，x2>0，所以k1·k2＝·≠－1，故B不具有T性质；对于C，y′＝ex，因为e>0，e>0，k1·k2＝ex1·ex2≠－1，故C不具有T性质；对于D，y′＝(x＋1)ex＋1，∃x1，x2∈R使得k1·k2＝(x1＋1)·(x2＋1)ex1＋x2＝－1，故D具有T性质． 11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，，且不恒为零，则下列结论中，一定正确的为（    ） A. B.是奇函数 C. D.是偶函数 【答案】AD 【解析】对A，因为，所以令，则有，A正确； 对B，因为，所以函数关于直线对称， 又因为，所以函数为奇函数， 则函数满足要求， 则为偶函数，B错误； 对C，因为函数为奇函数，且， 所以，即， 所以，即， 所以，所以函数以4为周期， 则， 因为满足要求，则，故C错误； 对D，由，两边取导数可得， 所以，所以是偶函数，D正确； 故选:AD. 三、填空题（共3小题） 12.（2026·湖南长沙一模）已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则                   ． 【答案】 【解析】由得，所以，切点坐标为，故切线的方程为. 圆的圆心为，半径，计算得圆心到直线的距离. 由弦长公式得. 故答案为：. 13.(2025·广州模拟)若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线.已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程：　　　　　　　　　　.  【答案】y＝x(答案不唯一，或填y＝ex－1) 【解析】设公切线与C1：f(x)＝ex－1相切的切点为(x1－1)，与C2：g(x)＝1＋ln x相切的切点为(x2，1＋ln x2). 由f''(x)＝ex，则f'(x1)＝则公切线方程为y＝(x－x1)＋－1， 即y＝x＋(1－x1)－1； 由g'(x)＝则g'(x2)＝则公切线方程为y＝(x－x2)＋ln x2＋1， 即y＝·x＋ln x2， 所以 解得或 故曲线C1和C2的公切线方程为y＝x或y＝ex－1. 14.（2026·宁夏石嘴山二模）存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是                   ． 【答案】 【解析】设切线与曲线相切于点， 求导得，点处的切线方程为. 切线过点， 代入得， 整理得. 设，求导得，令， 解得. 当时，单调递增， 当时，单调递减. 由单调性得在处取得最大值，的值域为， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·北京丰台高三下模拟）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 【答案】解：(1)时，，求导得， 计算得，， 故曲线在点处的切线方程为. (2)由得，，令， 整理得. 令，则的零点个数等价于直线与图象的公共点个数，求导得. 令，，求导得，再令，得. 由可得， 由可得， 故在处取得最大值，， 从而对任意恒成立. 在上单调递减，又， 故时， 从而， 即在上单调递减. 当时，；当时，， 故直线与的图象有且只有一个公共点，函数在上只有一个零点. 16.（2026·河北保定一模）已知函数． (1)当时，求这个函数图象在处的切线方程； (2)证明：当时，，使得成立． 【答案】解：(1)时，， 求导得， 计算得，. 由点斜式得， 整理得切线方程为. (2)法，，令， 求导得，令，则. 由得， 由得， 故在单调递减， 在单调递增. 因为，， 故，使得， 整理得. 由此可得在单调递减， 在单调递增， 故， 故当时，，使得成立. 法，， ， 求导得，令，则. 由得， 由得， 故在单调递减， 在单调递增. 因为，，， 故，使得， 整理得. 由此可得在单调递减， 在单调递增， 故 ，结合得， 故当时，，使得成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 10导数的概念及其意义、导数的运算模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.（2026·湖南长沙三模）函数的图象在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 2.（2026·河北石家庄二模）已知函数的极值点为0，则（） A.0 B. C. D. 3.（2025-2026·安徽高三下模拟）函数的图象在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 4.已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线，则当时，的最小值为（ ） A.-1 B.-2 C. D.0 5.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 6.（2026·陕西西安三模）已知抛物线在处的切线与圆交于两点，则（） A. B. C. D. 7.若函数f(x)＝ln x－2x＋1，则f'等于(　　) A.0 B. C. D. 8.（2026·浙江嘉兴二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.下列求导运算正确的是(　　) A.若y＝(x＋1)ln x，则y'＝ln x＋＋1 B.'＝－sin C.'＝－2xln 2 D.(ln 2x)'＝ 10.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A. y＝x3＋x B. y＝lnx C. y＝ex D. y＝xex＋1 11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，，且不恒为零，则下列结论中，一定正确的为（    ） A. B.是奇函数 C. D.是偶函数 三、填空题（共3小题） 12.（2026·湖南长沙一模）已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则                   ． 13.(2025·广州模拟)若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线.已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程：　　　　　　　　　　.  14.（2026·宁夏石嘴山二模）存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是                   ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·北京丰台高三下模拟）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 16.（2026·河北保定一模）已知函数． (1)当时，求这个函数图象在处的切线方程； (2)证明：当时，，使得成立． 学科网（北京）股份有限公司 $