精品解析：广东华南师范大学附属中学2026-2027学年第一学期高一年级中段教学检查数学试卷

2026-2027学年第一学期高一年级中段教学检查 数学 试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则0与集合A的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 幂函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. “”的一个充分不必要条件是（　　） A. B. 0 C. D. 或 6. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 11. 已知函数满足对任意恒成立，则（ ） A. B. C. D. 函数的图象关于直线对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．） 12. 已知幂函数的图象过点，则_____． 13. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则________． 14. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的实数的取值构成的集合为_____． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，或. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 函数，且 （1）求的值； （2）证明：为奇函数； （3）判断函数在上的单调性，并加以证明 17. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 18. 已知二次函数满足对任意实数成立． （1）求的解析式： （2）设，记，分别为在区间上的最大值与最小值，令，求的解析式以及最小值； （3）若存在，使得对任意都有成立，求实数的取值范围． 19. 函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． （1）当时，计算； （2）当时，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一年级中段教学检查 数学 试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则0与集合A的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系即可求解. 【详解】因为集合，故，故A正确，B错误； 又因为元素与集合是属于关系，故C，D错误. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】将存在量词改为全称量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“，”. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的概念直接代入解析式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 4. 幂函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的性质进行判断. 【详解】因为，所以，所以为偶函数，图象关于轴对称； 又，所以在上单调递减. 故选：C 5. “”的一个充分不必要条件是（　　） A. B. 0 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式，再根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案. 【详解】等价于， 解不等式，得或． 因为“”可以推出“或”，但“或”不能推出“”， 所以“”是“-1”的一个充分不必要条件． 故选：A. 6. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 8. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解； 对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果； 对C：直接利用基本不等式即可求得结果； 对D：取特殊值，即可判断正误. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是,故C正确； 对D：因为，且，显然满足题意， 此时有，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数满足对任意恒成立，则（ ） A. B. C. D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过赋值法得到等的值，进而得到函数的性质，逐一判断即可 【详解】对于A：令，得，则，所以A正确； 对于B：令，则， 令，得，即，所以B错误； 对于C：令，得，即，所以为偶函数，令，得， 令，得， 又为偶函数，所以，C正确； 对于D：由C可知为偶函数，所以为向右平移3个单位得到，此时关于直线对称，D正确， 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．） 12. 已知幂函数的图象过点，则_____． 【答案】81 【解析】 【分析】设幂函数，将点代入求解，得出幂函数的解析式，从而求得的值. 【详解】设幂函数为，因为图象经过点， 所以，求解可得：，所以， 所以. 13. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由为定义在上的奇函数，求时的解析式，代入自变量求值. 【详解】设，则，则， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的实数的取值构成的集合为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论函数的最小值，列式求解. 【详解】当时，，， ,，则， 因为函数的最小值为，由，没有最小值， 当时，，， ,，则， 因为函数的最小值为，所以， 解得，或（舍）， 综上可知，实数的取值集合为. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，或. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将代入集合，得出集合，利用补集的定义求出集合，然后利用交集的定义可求出集合； （2）由可得出集合，可得出关于实数的不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）或，， 当时，，因此，； （2），，又，或. ，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，建立不等式是解题关键，考查运算求解能力，属于基础题. 16. 函数，且 （1）求的值； （2）证明：为奇函数； （3）判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，定义域关于原点对称， 又因为，即， 所以为上的奇函数. （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取，且， 因为， 则 ， 因为，且， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减 【解析】 【分析】（1）根据直接带入求解； （2）根据奇函数定义证明即可； （3）根据函数单调性的定义判断和证明即可. 【小问1详解】 因为函数，且， 所以，所以. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 函数在上单调递减，证明略. 17. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 【答案】（1）20 （2）；最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数代入计算即得； （2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值； （3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得. 【小问1详解】 因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且， 则，解得， 所以的值为20. 【小问2详解】 设底面长为，由题意易得， 故墙面面积为， 则， 因，则，当且仅当时取等， 即总报价P的最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 设，， 因，则，， 当且仅当，即时，取得最小值， 故，又，则， 所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为. 18. 已知二次函数满足对任意实数成立． （1）求的解析式： （2）设，记，分别为在区间上的最大值与最小值，令，求的解析式以及最小值； （3）若存在，使得对任意都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法即可求解； （2）通过讨论的对称轴与区间的位置关系求解即可； （3）将问题转换成当时，，进而可求解. 【小问1详解】 设二次函数， 则 ， 故，解得， 因此． 【小问2详解】 的对称轴， ① ，区间在对称轴左侧，单调递减 ， 故 ， 又，单调递减， ② ，最小值 ， 最大值 由 ， 分界点 故当时， ， 又，单调递减，故， 当时，， ， ， 又 ，单调递增，， ③，区间在对称轴右侧，单调递增， ， ， 故 ， 又，单调递增， ， 综上，， 当时， ． 【小问3详解】 等价于 ， 即 ， 由题意得：当时， 因为，区间落在上，函数在单调递增， 故当时，， 当时， 于是存在，使得 ， 由 解得，所以只需考虑． 当时， ， 当时， ， 所以实数的取值范围是． 19. 函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． （1）当时，计算； （2）当时，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）代入自变量求函数值； （2）首先换元，并求的取值范围，将不等式转化为恒成立，列不等式求解； （3）首先利用换元，，将问题转化为，讨论的取值，分别求函数的最值，列不等式求解. 【小问1详解】 当时， 故 【小问2详解】 当时，，设，， 则由飘带函数单调性得， ， 即 对于任意恒成立， 记 ，开口向上，闭区间上最大值在端点，只需两端点满足， 即 且 ，解得 【小问3详解】 设在单调递增，可得， 则， 原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有． ①当，即时，在上单调递增， 则 ， ， 由，解得， 所以； ②当 ，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则， 由， 若，即时， 则 ，由 ，解得， 所以； 若，即 时， 则 ，由， 所以 ． ③当，即时，在上单调递减， 则 ， ， 由，解得，所以． 综上所述，存在正实数满足题意，且的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $