广东茂名市第一中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

茂名市第一中学2026－2027学年度第一学期第一次期中考试 高一数学试卷 考试试卷：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．已知集合，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．函数的定义域为（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．已知函数，则的值为（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 7．若函数（且）的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．对于任意的，记集合，集合．若集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质，则下列命题中为假命题的是（ ） A．具有性质 B．中有9个元素 C．中有16个元素 D．当时，不具有性质 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求． 9．已知幂函数的图像过点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的定义域为 C．是偶函数 D．在上单调递减 10．已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ） A．的最大值 B．的最小值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 11．记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．则下列结论正确的是（ ） A．若，则具有性质 B．若函数为奇函数，则它一定具有性质 C．函数具有性质 D．若函数具有性质，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．化简求值：____________________________． 13．不等式的解集是____________________________． 14．已知对任意，，不等式恒成立，则实数的最小值是____________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 16．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）画出函数在上的大致图象； （2）求函数的解析式； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 17．（15分）某市准备建一个综合性休闲广场，其示意图如图所示．已知矩形广场的总面积为，其中阴影部分为通道，通道的宽均为1 m，中间的两个小矩形完全相同． （1）求用广场的宽（单位：m）表示中间的三个矩形的总面积（单位：）的函数解析式，并给出定义域． （2）当广场的宽为何值时，取得最大值？并求出最大值． 18．（17分）已知指数函数，其中且． （1）求的解析式； （2）设 （i）判断的奇偶性，并说明理由； （ii）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）阅读下面材料，解决问题： 材料一：已知函数有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增． 材料二：当时，若与单调性相同，则在区间上单调递增；若与单调性不同，则在区间上单调递减． （1）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； （2）已知，，求的单调递减区间和值域； （3）对于（2）中的函数，设函数，．若对，总，使得成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市第一中学2026－2027学年度第一学期第一次期中考试 高一数学试卷参考答案及评分标准 一、单选题 1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．A 8．C 二、多选题 9．ABD 10．ABD 11．ACD 三、填空题 12．-2 13． 14．4 四、解答题 15．解：（1）由题意得； 3分 （2）解得， 4分 所以， 5分 因为，所以， 7分 所以． 9分 （3）因为，所以， 11分 所以． 13分 16．解：（1）如图，作图分析如下： ①为奇函数，图象关于原点中心对称． ②当时，．这是一段开口向下的抛物线，顶点为，且过原点和点． ③根据中心对称，当时，图象过点，顶点为．只需画出关于原点对称的草图，标出、以及与坐标轴的交点即可） 4分 （2）设，则， 5分 因为时，， 所以． 6分 由是上的奇函数得，即当时，， 8分 又，符合的解析式，所以的解析式为： 10分 （3）时，， 11分 对称轴，所以当时，函数取得最大值， 12分 比较区间两端点的函数值：；， ，所以当时，函数取得最小值． 14分 综上所述，函数在区间［0，3］上的最大值为1，最小值为． 15分 17．解：（1）因为矩形广场的总面积为，所以，即． 2分 因为，所以，即， 4分 所以， ． 8分 （2）． 13分 当且仅当即时，等号成立， 14分 此时取得最大值． 15分 18．解：（1）因为是指数函数，所以其系数必须为1，即：， 1分 所以，解得或． 2分 又因为且，所以． 3分 此时． 4分 （2）由（1）知，则． 5分 （i）的定义域为，关于原点对称． 6分 ， 9分 所以是奇函数． 10分 （ii）因为是奇函数，所以． 原不等式可化为：， 即． 11分 判断的单调性：． 12分 在上递增，所以递增，递减，从而在上单调递增， 又因为在上单调递增，所以脱去函数符号得：． 14分 即对任意恒成立． 方法一：分离参数法（推荐） 因为，所以将不等式变形为：，即， 15分 令，． 因为和在上均单调递减，所以在上单调递减． 16分 因此，当时，， 要使恒成立，只需，即， 即实数的取值范围是． 17分 方法二：构造函数法 令，对称轴为， 15分 要使在恒成立，需满足：或或 16分 解得： ①当即时，，所以． ②当即时，，矛盾，无解． ③当即时，无解． 综上，． 17分 19．解：（1）根据材料一，对于，，则， 函数在上单调递减． 1分 证明（定义法）：任取，，且，则 2分 ． 3分 因为，所以，且，故． 4分 所以即，所以函数在上单调递减． 5分 （2）． 6分 令，因为，则，在上单调递增． 7分 在时单调递减，此时，复合函数单调递减， 在时单调递增，此时，复合函数单调递增． 8分 由此可得即时，取得最小值， 比较端点函数值，，所以． 9分 所以的单调递减区间为，值域为． 10分 （3）由题意的值域是值域的子集，由（2）知的值域为， 下面求在上的值域，的对称轴为，分类讨论如下： ①当时，在上单调递增， ，． 11分 由得，所以． 12分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，最大值在端点处取得，， 当时，在上的值域为． 所以，无解． 13分 当时，在上的值域为， 所以，无解． 14分 ③当时，在上单调递减， ，， 15分 由得，所以． 16分 综上所述，实数的取值范围是． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $