16.2 整式的乘法（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

“ “ 第 十 六 章 整 式 的 乘 法 16.2整式的乘法 课时1单项式与单项式相乘 01 掌握单项式与单项式相乘的运算法则，知道单项式与单项 式相乘的实质是幂的运算. 02 能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算. 学习目标 光的速度约为3×10⁵km/s, 太阳光照射到地球上需要的时间大约是 5×10²s, 你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 任务：单项式与单项式相乘的运算法则. 活动1: 小组合作讨论，完成以下问题. 问题1: 怎样计算(3×105)×(5×10²)?计算过程中用到了哪些运算律及 运算性质? (3×105)×(5×10²) =(3×5)×(10⁵×10²) =1.5×108. 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 探究学习 活动1: 小组合作讨论，完成以下问题. 问题2: 如果将上式中的数字改为字母，比如ac⁵·bc², 怎样计算这个式子? ac⁵·bc²=( a·b)·(c⁵. c²) =ab·c⁵+2 =abc⁷. 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 问题3:参照问题2,计算下列算式： (1)(一2x²yz)·3xy (2)(一2x)³·5xy (1)(一2x²yz) ·3xy =( 一2×3)·(x² ·x) · (y·y) ·z =—6x³y²z (2)(一2x)³ ·5xy=( 一8x³) ·5xy=—40x⁴y 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作 为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指 数作为积的一个因式. 自 归 纳 单项式乘单项式的法则： 注意：单项式乘以单项式的结果仍是单项式. 例计算：(1)3xy²·2y³; (3)(2x)³·(-5xy²); 解：(1)原式=(3×2)x·(y²·y³) = 6x²y⁵ . (3)原式=8x³·(-5xy²) =8×(-5)](x³·x)·y² =-40x⁴y² (2)(-5a²b)(-3a); (4)(-3x²y)².(-xy³)² (2)原式=[(-5)×(-3)] (a²·a)·b =15a³b (4)原式=9x⁴y²x²y⁶ =9(x⁴·x²)(y²·y⁶) =9x⁶y8 注意：有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 巩固练习 计算：(1)3x²·5x³; (2)4y·(一2xy²); (3)(一3x)²· 4x²; (4)4 x²y.(一xy²)³. 解：(1)原式=(3× 5)(x²x³)=15x⁵; (2)原式=[4×(一2)](y·y²)·x=—8xy³; (3)原式=9x²·4x²=(9×4)(x²·x²)=36x⁴; 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底 数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为 积的一个因式. · 实质上是转化为有理数的乘法与同底数幂 的乘法 (1)单项式乘以单项式的结果仍是单项式； (2)不要漏乘只在一个单项式里含有的字母 法则 单项式与单 项式相乘 注意 1.下列计算中，正确的是( B ) A.5a³·3 a²=15a⁶ B.2x².5x³=10x⁵ C.3x²·2x²=6x² D.5y³.3y⁵=15y¹5 2.下列各式正确的是( D ) A.2x+3x=5x² B.b³.b³=2b³ 基础 基础 3. 计算： (1)(3x)².2x= 18x ³ □; (2)(2x²)³.3x²= 24x⁸ □; (3)(一2a²)³.(—4a)= 32a⁷ □; (4)(-3a²b)².(一2a²)= - 18a⁶b² 基础 (2)(2a²b)³—a⁴b·(-3 ab)² . 解：原式=8a⁶b³—a⁴b·9a²b² =8a⁶b³—9a⁶b³ =-a⁶b³. 4.计算： (1)(一2x²y³)²+x³y⁴ . (一3xy²); 解：原式=4x⁴y⁶ —3x⁴y⁶ = x⁴y⁶. A.(x—y)⁷ B.2(x—y)⁷ C v 一) D.4-x) 5.若单项式-8xay和 的积为-2x⁵y⁶, 则ab 的值为( D) A.2 B.30 C.—15 D.15 6.化简[一2(x-y)]4. 的结果是( B ) 提升 “ “ 第 十 六 章 整 式 的 乘 法 16.2整式的乘法 课时2单项式与多项式相乘 02 能够灵活地进行单项式与多项式相乘的运算. 01 能根据乘法分配律探究单项式与多项式相乘的运算法则. 学习目标 任务：单项式与多项式相乘的运算法则. 活动1: 为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长pm, 宽 bm 的长 方形绿地，向两边分别加宽a m和cm, 如图所示.请你根据图中所给的条件求 出大草坪的面积. 方法一 : 如果把它看成三个小长方形,那 么它们的面积可分别表示为 pa 、pb、 pc . 那么大草坪的面积的面积可表示为: pa+pb+pc_. 方法二: 如果把它看成一个大长方形,那 么它的面积可表示为 p (a+b+c). 思考2: 如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系? 这是一个单项式与多项式相乘的问题，可以用乘法对加法 的分配律进行计算. p(a+b+c)=pa+pb+pc 试一试：根据乘法的分配律完成下列计算步骤. ab(a²+b³+ac)= ab·a² +ab·b³+ ab·ac. =a³b+ab⁴+ a²bc 属于哪种相乘 的形式? 单项式乘单项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 注意：非零单项式乘以多项式的结果仍是多项式. 转化 乘法分配律 单项式乘多项式的法则： 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 注意系数符号 注意：有乘方运算，先算乘方，再乘除，最后加减. 解：(1)原式=(-4x²)(3x)+(-4x²)×1 =(-4×3)(x²·x)+(-4x²) =-12x³-4x² 例计算：(1)(-4x²)·(3x+1); (3)(x-3y)·(xy²)²; (4)x(y-z)-y(z-x)+z(x-y). 典型例题 (2)原 ② 例计算：(1)(-4x²)·(3x+1); (3)(x-3y)·(xy²)²; (3)原式=(x-3y)·x²y⁴ =x·x²y⁴+(-3y)·x²y⁴ =x³y⁴-3x²y⁵ (4)x(y-z)-y(z-x)+z(x-y). (4)原式= xy+x(-2)+(-y)z +(-y)(-x) +zx+z(-y) =xy-XZ-yz+yx+zx-zy ② 固 练 习 计算： (1)(一4x)·(2x²+3x—1); (2) 解：(1)原式=(一4x) · (2x²)+(一4x) ·3x +(一4x) ·(一1) =—8x³—12x²+4x; 巩 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项 式的每一项，再把所得的积相加. · 实质上是转化为单项式乘单项式 (1)非零单项式乘以多项式的结果是多项式； (2)有乘方运算，先算乘方，再乘除，最后加减. 法则 单项式与多 项式相乘 注意 基础 1.计算 (1)4(a-b+1)= 4a-4b+4 (2)3x(2x—y²)= 6x²—3xy² ; (3)(2x-5y+6z)(一3x)= —6x²+15xy-18xz; 2.计算：—2x²·(xy+y²)—5x(x²y-xy²). 解：原式=(一2x²) ·xy+(一2x²)·y²+(一5x) ·x²y+(一5x) · (—xy²) =—2x³y+(一2x²y²)+(一5x³y)+5x²y² =—7x³y+3x²y². 基础 提升 3.已 知x²—4x-1=0, 则代数式x(x—4)+1的值为( A ) A.2 B.1 C.0 D.—1 4.如果m²+m=5, 那么代数式m(m—2)+(m+2)² 的值为( A ) A.14 B.9 k— 3a+2b 2a-b 人民广场 4a 住宅用地 商业用地 随堂小练 提升 5.如图，一块长方形地用来建造住宅，广场和商厦，求这块地的面积. 解 ：4a[(3a+2b)+(2a—b)] =4a(5a+b) =4a-·5a+4a·b =20a²+4ab 答：这块地的面积为20a²+4ab. 3a “ “ 第 十 六 章 整 式 的 乘 法 16.2整式的乘法 课时3多项式与多项式相乘 02 能运用多项式与多项式相乘的法则进行简单的运算. 探索并掌握多项式乘以多项式的运算法则. 学习目标 01 任务一：多项式乘以多项式的运算法则 . 活动：为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长am, 宽pm 的长方 形绿地，加长了bm, 加宽了qm. 你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?和 同伴交流. ①扩大后的绿地可以看成四个小的长方形. ap+aq+bp+bq q 下 aq bq ②扩大后的绿地可以看成两个稍大的长方形. p ap bp 沿紫线分开： p(a+b)+q(a+b) 沿红线分开： a(p+q)+b(p+q) a b ap+aq+ bp+bq p(a+b)+q(a+b) a(p+q)+b(p+q) (a+b)(p+q) (p+q)看成一个整体 (a+b)(p+q ) 多项式乘多项式 a(p+q )+b(p+q) p(a+b)+q(a+ b) ap+aq+bp+bq 单项式乘单项式 探究学习 想一想：下面四个式子都是扩大后的绿地面积，根据上节课积累的探究 经验，说说四种不同的表示方法之间有什么关系? 单项式乘多项式 转化 多项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘 乘法分配律 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加. 探究学习 多项式乘多项式的法则： 任务二：多项式与多项式相乘的法则的简单运算. 活动：如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小 区准备在一个长为(4a+3b)米，宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b 米的通道.和同伴交流，完成以下问题. 问题1: 用字母a 和b表示剩余草坪的面积. 解：(4a+3b)(2a+3b)-b(2a+3b)-b(4a+3b) =8a²+6ab+12ab+9b²-2ab-3b²-4ab-3b²+b² =8a²+12ab+4b² ( 平 方 米 ) 2a+3b 4a+3b b 问题2: 有没有别的方法计算更简单呢? 2a+3b b (4a+3b-b)(2a+3b-b) =(4a+2b)(2a+2b) =8a²+12ab+4b ² (平方米) 问题3:当 u2,b=1 时，剩余草坪的面积是多少? 当a=2, b=1, 8n²412ab+4b²-8×412×2×1+4×1=m ( 平 方 米 ) 4a+3b b 4a+3b 活动：如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小 区准备在一个长为(4a+3b)米，宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b 米的通道.和同伴交流，完成以下问题. 2a+36 例 完成以下计算，说说多项式与多项式相乘应该注意什么? (1)(a+3)(a-2); (2)(3x+1)(x+2); (3)(x-8y)(x-y); (4)(a+b)(a ²-ab+b²). 解：(1)原式=a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2)=a²-2a+3a-6=a²+a-6; (2)原式=3xx+3x·2+1·x+1×2=3x²+6x+x+ 2=3x²+7x+2; (3)原式=x²=xy-8xy+8y²=x²-9xy+8y²; (4)原式=a-a²-acab+ab²+ba²-b-ab+b-b²=a²-a²b+ab²+a²b-ab²+b³=a³+b³. 自 归 纳 多项式与多项式相乘应注意的几个问题： (1)必须做到不重复，不漏乘； (2)符号问题：确定积中每一项的符号； (3)最后结果应化成最简形式. 巩固练习 已知ax²+2bx+2(a≠0) 与x—1的积不含x²项，也不含x项，求系数a 、b的值. 解：(ax ²+2bx +2)(x-1) =ax³—ax²+2bx²—2bx+2x-2, ∵ 积不含x²的项，也不含x的项， 解得 多项式与多项式相乘，先用一个多项 式的每一项分别乘以另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加. · 实质上是转化为单项式乘单项式 (1)不要漏 乘； (2)正确确认各部分的符号； (3)结果需要化为最简形式. 运算法则 多项式乘 多项式 注意事项 基础 1.下列多项式相乘的结果为x²+3x-18 的是( D) A.(x-2)(x+9) B.(x+2)(x-9) C.(x+3(x-6) D.(x-3(x+6) 2.有一长方形耕地，其中长为a, 宽为b, 现要在该耕地上种植两块防风带， 如图所示的绿色部分，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四 边形，则剩余耕地面积为 ( B) C A、bc-ab+ac+c² B 、ab-bc-ac +c² C 、a² +ab+bc-ac D 、b²-bc+a²-ab C b 基础 3.化简求值：(2x+5y)(2x-5y) 一(x+5y)(4x-5y),其 中x=3,y=-1. 解：(2x+5y)(2x-5y) 一( x+5y)(4x-5y) =4x²-10xy+10xy—25y²—(4x²-5xy+20xy—25y²) =4x²-10xy+10xy—25y²—4x²+5xy-20xy+25y²) 提升 计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像. (1)求绿化的面积是多少平方米? (2)若a=3,b=2, 请求出绿化面积. 解：(1)绿化的面积是 一 4.如图，某市有一块长为(2a+b) 米，宽为(a+b) 米的长方形地块，规划部门 (2a+b)(a+b)—a²=2a²+3ab+b²—a²=a²+3ab+b² . 提升 “ 第 十 六 章 整 式 的 乘 法 16.2整式的乘法 课时4整式的除法 ```markdown ``` 01 理解同底数幂的除法法则及零指数幂的性质. 02 理解单项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则. 学习目标 我国研制的第一台“银河”巨型计算机，它的运算速度为108次/秒.而最先 进的光子计算机，它的运算速度将达到1011次/秒，那么光子计算机运算速度 是“银河”计算机运算速度的多少倍呢? 任务一：同底数幂的除法法则及其运算. 活动1: 计算下列各式，对比并思考两边等式之间的关系，你能发现什 么规律?和同伴交流. 1.根据同底数幂的乘法法则填空： 2.根据除法是乘法的逆运算填空： (1)2¹⁴÷28=( 26) (2)5⁵÷5³=( 52) (1)2( 6 ).2⁸=214 (2)5( 2 ).5³=55 探究学习 问题1: 试猜想：am÷an=?(m, n都是正整数，且m>n) 验证 一 ：因为am-n·a"=am-n+n=am,所 以am÷ a"=am-n. 验证二： 问题2: 完成下列填空，你有什么发现? am÷ a"=am-n (a≠0, m,n 都是正整数，且m>n) 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 自 归 纳 同底数幂相除的法则： 规定：a⁰=1(a≠ 0) 即：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 巩固练习 计算： (1) x⁸÷x²; (2)a⁴÷a; (3)(ab)⁵÷(ab)²; (4)(-a)⁷÷(-a)⁵ (5)(-b)⁵÷(-b)² . 解 ：(1) x⁸÷ x²=x⁸-2=x⁶; (2)a⁴÷a=a⁴-¹=a³; (3)(ab)⁵÷(ab)²=(ab)⁵-2=(ab)³=a³b³; 探究学习 活动2: 根据同底数幂相除的法则解答下列问题. (1)计算下列各式，你能得出什么结论?和同伴交流. 小结：由同底数幂相除的法则，可以推出： am÷a"÷a⁹=am-- 4(a≠0, m,n,q 都是正整数，并且m>n+q). (-x)⁹÷(-x)⁵÷(-x)⁴ 原式=(-x)⁹-5÷(-x)⁴ =(-x)9-5-4 =(-x)⁰ =1 a⁸÷a²÷a³ 解：原式=a⁸-2÷a³ =a⁸-2-3 =a³ 小结：可逆用同底数幂相除的法则进行求值： ,m,n 都是正整数，并且m>n). 探 究 学 习 活动2:根据同底数幂相除的法则解答下列问题. (2)已知：xa=4,xb=9, 求：①xa-b;② x³a-2b. 分析：因为xa÷xb=xa-b, 所以xa-b=xa÷xb. ②∵xa=4,xb=9, ∴x³a=(xa)³=64,x²b=(xb)²=81 解：①∵xa=4, x⁶=9 ∴x3a-2b=x³a÷ . 巩固练习 已知x⁴=2,xb=3, 求x²a-b的值. 解：∵xa=2, ∴x²a=(xa)²=4. 又∵xb=3, ∴ x²a-b=x²a÷xb 任务二：单项式除以单项式的法则及其运算. 活动1: 观察并计算下列两个算式，你发现了什么?和同伴交流. (1) 4a²x³.3ab² = 12a³b²x³; (2)12a³b²x³÷3ab²= 4a²x³ 解法1: 计算12a³b²x³÷3ab² 相当于求( ). 3ab²=12a³b²x³. 由(1)可知括号里应填4a²x³ . 解法2: 原式=4a²x³ · 3ab²÷3ab²=4a²x³. 理解：上面的商式4a²x³的系数4=12÷3; a 的指数2=3-1,b的指 数0=2-2,而b⁰=1,x 的指数3=3-0. 思考：仔细观察上述单项式除以单项式计算过程，回答以下几个问题： 12a³b²x³ ÷3ab²= 4a²x ³ 1.单项式除以单项式，其结果(商式)仍是 一个单项式；. 2.商式的系数=(被除式的系数)÷(除式的系数) 3. (同底数幂)商的指数= (被除式的指数)-(除式的指数); 4.被除式里单独有的幂= 写在商里面作因式 你能用语言描述单项式与单项式相除的运算法则吗? 单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于 只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. 商 式 =系数 · 同底的幂 · 被除式里单独有的幂 自 归 纳 单项式除以单项式的法则： 被除式的系数 除式的系数 保留在商里 作为因式 底数不变， 指数相减. (1)4a⁸÷2a²=2a⁴ (2)10a³÷5a²=5a (3)(-9x⁵)÷(-3x)==3x⁴ (4) 12a³b÷4a²=3 a (× ) ( × ) (× ) ( ×) 2a ⁶ 2a 3x⁴ 3a b 巩固练习 下列计算是否正确?错误的应怎样改正? 指数应相减 系数应相除 负负得正 不要遗漏被除数 单独出现的字母 活动2: 已知一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m, 和同伴交流，回答 以下问题. 问题1: 求这幅油画的面积. (a+b)m=am+bm 问题2: 若已知油画的面积为(am+bm),宽为m, 如何求它的长? 探究学习 问题3: 如何计算(am+bm)÷m? 你能发现什么规律? · 计算(am+bm)÷m 就是相当于求( ) · m=am+bm, 因此不难想到括里应填a+ b . · 又知am÷m+bm÷m =a+b, 即(am+bm) ÷ m= a+b. 即 (am+bm )÷ m=am÷ m+bm÷ m 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加. 自 归 纳 多项式除以单项式的法则： (2)(72x³y⁴—36x²y³+9xy²)÷(一9xy²). 解：(1)原式=6x³y⁴z÷2xy³—4x²y³z÷2xy³+2xy³÷2xy³ =3x²yz—2xz+1; (2)原式=72x³y⁴÷(一9xy²)+(一36x²y³)÷( 一9xy²)+9xy²÷(一9xy²) 巩 固 练 习 计算： (1)(6x³y⁴z—4x²y³z+2xy³)÷2xy³; 同底数幂相除，底数不变，指数相减. am÷ a"=am-n (a≠0,m,n 都是正整数，且m>n) 1.系数相除；2.同底数的幂相除；3.只在被 除数里出现的因式照搬. 把这个多项式的每一项除以这个单项式，再 把所得的商相加. 转化为单项式除以单项式 同底数幂 的除法 单项式除 以单项式 多项式除 以单项式 整式的 除法 基础 1.下列计算正确的是( B ) A.a².a³=a⁶ B.(ab)²=a²b² C.(a²)³=a⁵ D.a¹²÷a³=a⁴ 2.一个长方形的面积为(6ab²—4a²b), 一边长为2ab, 则它的另一边 长为( B ) A.3b²-2a B.3b—2a C.3b²—4a² D.3b—2a² 随堂小练 基础 3.计算. (1)(xy)⁷÷(xy)⁶ (2)a⁹÷a²÷a⁵ (3)-5a⁵b³c÷15a⁴b (4)(15x²y-10xy²)÷5xy. 解：(1)原式=(xy)⁷-⁶=xy (2)原式=a⁹-2-5=a² (3)原式=(-5÷15) a⁵-4-b³-1. 解：(1)∵10x=3,10=2, ∴102x+3y=10²x.10³y =(10x)²·(10)³ =9×8=72. 4.已知10x=3,10v=2. (1)求102x+3y的值； (2)求10³x-4y的值. (2)∵10x=3,10=2, ∴10³x-4y=10³x÷10⁴y =(10x)³÷(10v)⁴ 提升 $