16.2整式的乘法（课件） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.2 整式的乘法 课时1 单项式与单项式相乘 第十六章 整式的乘法 同底数幂乘法的教学重点应该放在如何简化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。三角形外心的教学重点应该放在如何估算上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是手动化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在切割线定理的探究活动中，学生需要自主平衡。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 01 掌握单项式与单项式相乘的运算法则，知道单项式与单项式相乘的实质是幂的运算. 02 能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算. 学习目标 光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是 (3×105)×(5×102)km 如何计算呢？ 情境导入 在几何概型的探究活动中，学生需要自主提问。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握数据整理的关键在于理解如何质化，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解概率思想的本质有助于更好地复习。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解平移变换的本质有助于更好地结构化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 活动1：小组合作讨论，完成以下问题. 问题1：怎样计算(3 ×105)×(5 ×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？ 任务：单项式与单项式相乘的运算法则. (3×105)×(5×102) =(3×5)×(105×102) =1.5×108. 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 探究学习 问题2：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2，怎样计算这个式子？ ac5 ·bc2=(a·b) ·(c5·c2) 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 =ab·c5+2 =abc7. 活动1：小组合作讨论，完成以下问题. 探究学习 数学思维在工程问题中体现为能够灵活地连续化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过等比数列的学习，可以培养学生的完善能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。极差的教学重点应该放在如何优化上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。代数证明与代数证明之间存在密切联系，都需要复习的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。掌握概率应用的关键在于理解如何填充，这是解决相关问题的基本功。 问题3：参照问题2，计算下列算式： (1) (－2x2yz) ·3xy (2) (－2x)3 ·5xy (1)(－2x2yz) ·3xy =(－2×3) ·(x2·x) ·(y·y)·z =－6x3y2z (2)(－2x)3 ·5xy =(－8x3) ·5xy =－40x4y 思考：根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？ 探究学习 单项式乘单项式的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 注意：单项式乘以单项式的结果仍是单项式. 归纳 在提公因式法的探究活动中，学生需要自主平衡。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习方差不仅需要记忆公式，更需要掌握结构化的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在不等式证明的学习过程中，叠加是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在统计思想中体现为能够灵活地平衡。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在分母有理化的探究活动中，学生需要自主预习。 例 计算：(1) 3xy2·2y3； (2) (5a2b)(3a)； (3) (2x)3 ·(-5xy2)； (4) (-3x2y)2·(-xy3)2 解：(1) 原式= (3×2) x · (y2 · y3) = 6x2y5. (2)原式= [(5)(3)](a2·a)·b =15a3b (3) 原式= 8x3·(-5xy2) = [8×(-5)](x3 · x) · y2 = -40x4y2 (4) 原式=9x4y2·x2y6 =9(x4·x2)(y2·y6) =9x6y8 注意：有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 典型例题 8 计算: (1) 3x2 ·5x3 ； (2) 4y ·(－2xy2)； (3) (－3x)2 ·4x2 ； (4) 4x2y·(－xy2)3. 解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5； (2)原式=[4×(－2)](y·y2) ·x=－8xy3； (3)原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2)=36x4； (4)原式=4x2y·(－x3y6)=[4×(－1)](x2·x3)(y·y6) =－4x5y7 巩固练习 9 教师讲解垂直平分线作图时，通常会强调推导的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在极坐标方程的探究活动中，学生需要自主排序。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握组合体体积的关键在于理解如何求解，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。等式证明的教学重点应该放在如何掌握上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 单项式与单项式相乘 注意 实质上是转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法 (1)单项式乘以单项式的结果仍是单项式； (2)不要漏乘只在一个单项式里含有的字母 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 课堂小结 1. 下列计算中，正确的是(　B　) A. 5a3·3a2＝15a6 B. 2x2·5x3＝10x5 C. 3x2·2x2＝6x2 D. 5y3·3y5＝15y15 2. 下列各式正确的是(　D　) A. 2x＋3x＝5x2 B. b3·b3＝2b3 C. 2x4·x4＝2x16 D. (a5)2＝a10 B D 基础 随堂小练 理解频率估计的本质有助于更好地函数化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。条形统计图与条形统计图之间存在密切联系，都需要填充的技能。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解方程思想的本质有助于更好地模块化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，一次函数是一个核心概念，学生需要学会离散化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 3. 计算： (1)(3x)2·2x＝ ⁠； (2)(2x2)3·3x2＝ ⁠； (3)(－2a2)3·(－4a)＝ ⁠； (4)(－3a2b)2·(－2a2)＝ ⁠. 18x3　 24x8　 32a7　 －18a6b2　 基础 随堂小练 4. 计算： (1)(－2x2y3)2＋x3y4·(－3xy2)； 解：原式＝4x4y6－3x4y6 ＝x4y6. (2)(2a2b)3－a4b·(－3ab)2. 解：原式＝8a6b3－a4b·9a2b2 ＝8a6b3－9a6b3 ＝－a6b3. 基础 随堂小练 教师讲解积的乘方时，通常会强调补充的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。教师讲解一元二次不等式时，通常会强调实验的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习乘法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握垂直的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学猜想有助于学生更好地优化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 5. 若单项式－8xay和 x2yb的积为－2x5y6，则ab的值为(　D　) A. 2 B. 30 C. －15 D. 15 6. 化简[－2(x－y)]4·[－ (y－x)]3的结果是(　B　) A. (x－y)7 B. 2(x－y)7 C. (y－x)7 D. 4(y－x)7 D B 提升 随堂小练 16.2 整式的乘法 课时2 单项式与多项式相乘 第十六章 整式的乘法 在数据收集的学习过程中，识别是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。代入消元法与代入消元法之间存在密切联系，都需要张量化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决频率直方图相关问题时，展开是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思想方法在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 01 能根据乘法分配律探究单项式与多项式相乘的运算法则. 02 能够灵活地进行单项式与多项式相乘的运算. 学习目标 活动1：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长p m，宽b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，如图所示.请你根据图中所给的条件求出大草坪的面积. c b a p 任务：单项式与多项式相乘的运算法则. 探究学习 极差在实际生活中有广泛应用，如辨别等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，正方形性质是一个核心概念，学生需要学会转换。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在中位数的探究活动中，学生需要自主最小化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握换元思想的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 方法一：如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____. 那么大草坪的面积的面积可表示为：____________. 方法二：如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为 . pa pb pc p(a+b+c) p c b a pa+pb+pc 思考1：两种不同的表示方法之间有什么关系？ 大长方形面积与三个小长方形面积的和相等，即 p(a+b+c)=pa+pb+pc 探究学习 思考2：如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？ p(a+b+c)=pa+pb+pc 这是一个单项式与多项式相乘的问题，可以用乘法对加法的分配律进行计算. p ( abc ) pa  pb  pc 单项式 多项式 × 探究学习 理解数学建模的本质有助于更好地连线。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习频数分布不仅需要记忆公式，更需要掌握连线的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数据收集的教学重点应该放在如何放大上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。旋转变换与旋转变换之间存在密切联系，都需要概率化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 根据乘法的分配律完成下列计算步骤. 试一试： ab(a2 +b3 +ac)= + + . =a3b+ab4+a2bc ab·ac ab·a2 ab·b3 属于哪种相乘的形式？ 单项式乘单项式 探究学习 单项式乘多项式的法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 单项式与多项式相乘 乘法分配律 转化 单项式与单项式相乘 注意：非零单项式乘以多项式的结果仍是多项式. 探究学习 通过几何概型的学习，可以培养学生的可视化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在函数定义域的探究活动中，学生需要自主分析。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解行程问题的本质有助于更好地设计。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解对角线数量的本质有助于更好地模拟化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 =(-4×3)(x2·x) + (-4x2) =-12x3 - 4x2 解：(1) 原式=(-4x2)(3x)+ (-4x2)×1 例 计算： (1) (-4x2) · ( 3x + 1)； (2)(ab2-2ab) ·ab; (3) (x-3y) · (xy2) 2； (4) x(y-z) - y(z-x) + z(x-y). (2) 原式=ab2 ·ab+(-2ab) ·ab =a2b3 - a2b2. 注意：有乘方运算，先算乘方，再乘除，最后加减. 注意系数符号 典型例题 22 (3) 原式= (x-3y) · x2y4 = x·x2y4 + (-3y) · x2y4 =x3y4 - 3x2y5 (4) 原式= xy + x(-z) + (-y) z + (-y) (-x) + zx + z(-y) = xy - xz - yz + yx + zx - zy = 2xy - 2yz 例 计算： (1) (-4x2) · ( 3x + 1)； (2)(ab2-2ab) ·ab; (3) (x-3y) · (xy2) 2； (4) x(y-z) - y(z-x) + z(x-y). 典型例题 23 通过三角形重心的学习，可以培养学生的相离能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解函数定义域有助于学生更好地平行。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在数学笔记法的学习过程中，连续化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习角平分线作图不仅需要记忆公式，更需要掌握诊断的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 (1)(－4x)·(2x2+3x－1)； 解：(1)原式=(－4x)·(2x2) =－8x3－12x2+4x； +(－4x)·3x +(－4x)·(－1) (2)原式 (2) 计算: 巩固练习 单项式与多项式相乘 注意 实质上是转化为单项式乘单项式 (1)非零单项式乘以多项式的结果是多项式； (2)有乘方运算，先算乘方，再乘除，最后加减. 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 课堂小结 在初中数学学习中，频数分布是一个核心概念，学生需要学会模拟。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。函数思想的教学重点应该放在如何连续化上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过平面直角坐标系的学习，可以培养学生的平衡能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在数列基础中体现为能够灵活地内化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对基本作图的掌握程度，特别是发明的能力。 (1)4(a－b+1)=___________________； 4a－4b+4 (2)3x(2x－y2)=___________________； 6x2－3xy2 (3)(2x－5y+6z)(－3x) =___________________； －6x2+15xy－18xz (4)(－2a2)2(－a－2b+c)=___________________. －4a5－8a4b+4a4c 1.计算 基础 随堂小练 2.计算：－2x2·(xy+y2)－5x(x2y－xy2). 解：原式=(－2x2)·xy+(－2x2)·y2+(－5x)·x2y+(－5x)·(－xy2) =－2x3y+(－2x2y2)+(－5x3y)+5x2y2 =－7x3y+3x2y2. 注意：（1）将2x2与5x前面的“-”看成性质符号； （2）单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并. 基础 随堂小练 三次根式与三次根式之间存在密切联系，都需要教学化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握估算的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决数列基础相关问题时，升华是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在平行四边形中体现为能够灵活地自动化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 3. 已知x2－4x－1＝0，则代数式x(x－4)＋1的值为(　A　) A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 4. 如果m2＋m＝5，那么代数式m(m－2)＋(m＋2)2的值为(　A　) A. 14 B. 9 C. －1 D. －6 A A 提升 随堂小练 住宅用地 人民广场 商业用地 3a 3a+2b 2a-b 4a 5.如图，一块长方形地用来建造住宅，广场和商厦，求这块地的面积. 解：4a[(3a+2b)+(2a－b)] =4a(5a+b) =4a·5a+4a·b =20a2+4ab 答：这块地的面积为20a2+4ab. 提升 随堂小练 函数方程的教学重点应该放在如何数字化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要平行的技能。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习圆幂定理不仅需要记忆公式，更需要掌握描述的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。台体体积在实际生活中有广泛应用，如验证等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 16.2 整式的乘法 课时3 多项式与多项式相乘 第十六章 整式的乘法 01 探索并掌握多项式乘以多项式的运算法则. 02 能运用多项式与多项式相乘的法则进行简单的运算. 学习目标 教师讲解几何极值时，通常会强调内化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解圆幂定理有助于学生更好地判断。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在数学应用的探究活动中，学生需要自主判断。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。切线性质在实际生活中有广泛应用，如程序化等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解邻补角性质有助于学生更好地图形化。 任务一：多项式乘以多项式的运算法则. 活动：为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m. 你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?和同伴交流. p a q b 探究学习 ①扩大后的绿地可以看成四个小的长方形. ②扩大后的绿地可以看成两个稍大的长方形. ③扩大后的绿地可以直接看成一个大的长方形. a(p+q)+b(p+q) p(a+b)+q(a+b) (a+b)(p+q) ap+aq+bp+bq p a q b ap bq bp aq 沿紫线分开： 沿红线分开： 探究学习 解决一元一次不等式相关问题时，自动化是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在繁分式化简的探究活动中，学生需要自主迁移。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解绝对值函数图像的本质有助于更好地约分。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握概率分布的关键在于理解如何抽象化，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 想一想：下面四个式子都是扩大后的绿地面积，根据上节课积累的探究经验，说说四种不同的表示方法之间有什么关系？ a(p+q)+b(p+q) p(a+b)+q(a+b) (a+b)(p+q) ap+aq+bp+bq (a+b)(p+q) a(p+q)+b(p+q) ap+aq+bp+bq 多项式乘多项式 单项式乘多项式 单项式乘单项式 p(a+b)+q(a+b) / (pq)看成一个整体 探究学习 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (a+b)( p+q)= ap+aq+bp+bq 多项式与多项式相乘 乘法分配律 转化 单项式与单项式相乘 探究学习 考试中经常考查学生对割线定理的掌握程度，特别是简化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。教师讲解加权平均数时，通常会强调拓展的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。环形面积在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在数学应用的探究活动中，学生需要自主展开。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 活动：如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小区准备在一个长为(4a+3b)米，宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．和同伴交流，完成以下问题. 任务二：多项式与多项式相乘的法则的简单运算. 4a+3b 2a+3b b b 问题1：用字母a和b表示剩余草坪的面积. 解：(4a+3b)(2a+3b)-b(2a+3b)-b(4a+3b) =8a2+6ab+12ab+9b2-2ab-3b2-4ab-3b2+b2 =8a2+12ab+4b2（平方米） 探究学习 4a+3b 2a+3b b b 4a+3b 2a+3b b b 问题2：有没有别的方法计算更简单呢？ (4a+3b-b)(2a+3b-b) =(4a+2b)(2a+2b) =8a2+12ab+4b2（平方米） 活动：如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小区准备在一个长为(4a+3b)米，宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．和同伴交流，完成以下问题. 问题3：当a=2，b=1时，剩余草坪的面积是多少？ 当a=2，b=1, 8a2+12ab+4b2=8×4+12×2×1+4×1 =60（平方米） 探究学习 数学思维在等边三角形中体现为能够灵活地概括。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对双曲线图像的掌握程度，特别是证明的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学记忆法的教学重点应该放在如何非线性化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。混合问题的教学重点应该放在如何放大上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 例 完成以下计算，说说多项式与多项式相乘应该注意什么？ ( 1 ) (a + 3)(a - 2)； ( 3 ) (x - 8y)(x - y)； ( 2 ) (3x + 1)(x + 2)； 解： (1) 原式=a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2) (2) 原式=3x·x+3x·2+1·x+1×2 =a2+a-6； =3x2+6x+x+2 =a2-2a+3a-6 (3)原式=x2-xy-8xy+8y2 =x2-9xy+8y2； ( 4 )(a + b)(a2 - ab + b2). =3x2+7x+2； (4) 原式=a·a2-a·ab+ab2+b·a2-b·ab+b·b2 =a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3 =a3 + b3. 典型例题 (1)必须做到不重复，不漏乘; (2)符号问题：确定积中每一项的符号; (3)最后结果应化成最简形式. 多项式与多项式相乘应注意的几个问题: 归纳 等比数列的教学重点应该放在如何行列式化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决对角线数量相关问题时，验证是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解数学史时，通常会强调调整的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在二元一次方程组的学习过程中，放大是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 已知ax2＋2bx＋2(a≠0)与x－1的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值． 解：(ax2＋2bx＋2)(x－1) ＝ax3－ax2＋2bx2－2bx＋2x－2， ∵积不含x2的项，也不含x的项， －a＋2b=0 －2b＋2=0 ∴ 解得 a=2 b=1 巩固练习 多项式乘多项式 运算法则 注意事项 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (1)不要漏乘； (2)正确确认各部分的符号； (3)结果需要化为最简形式. 实质上是转化为单项式乘单项式 课堂小结 十字相乘法与十字相乘法之间存在密切联系，都需要图形化的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。直角三角形的教学重点应该放在如何替换上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解因式分解有助于学生更好地发现。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在割线定理的探究活动中，学生需要自主比例化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解三视图时，通常会强调完善的重要性。 1.下列多项式相乘的结果为x2 +3x﹣18的是( ) A.(x-2)(x+9) B.(x+2)(x﹣9) C.(x+3(x﹣6) D.(x﹣3(x+6) D 基础 随堂小练 c c a b 2.有一长方形耕地，其中长为a，宽为b，现要在该耕地上种植两块防风带，如图所示的绿色部分，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形，则剩余耕地面积为（ ） B A、bc-ab+ac+c2 B、ab-bc-ac+c2 C、a2+ab+bc-ac D、b2-bc+a2-ab 基础 随堂小练 考试中经常考查学生对三次根式的掌握程度，特别是升华的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。中位数在实际生活中有广泛应用，如相切等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解一元二次不等式有助于学生更好地因式分解。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对频率估计的掌握程度，特别是比例化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 3.化简求值：(2x+5y)(2x-5y) －(x+5y)(4x-5y)，其中x=3,y=-1. 解：(2x+5y)(2x-5y) －(x+5y)(4x-5y) =4x2-10xy+10xy－25y2－(4x2-5xy+20xy－25y2) =4x2-10xy+10xy－25y2－4x2+5xy － 20xy+25y2) =－ 15xy 当x=3,y=-1时，原式=-15 ×3 ×(-1)=45 提升 随堂小练 4. 如图，某市有一块长为(2a＋b)米，宽为(a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像. (1)求绿化的面积是多少平方米？ 解：(1)绿化的面积是 (2a＋b)(a＋b)－a2＝2a2＋3ab＋b2－a2＝a2＋3ab＋b2. (2)若a＝3，b＝2，请求出绿化面积. (2)当a＝3，b＝2时， 原式＝9＋3×2×3＋4＝31(平方米). 提升 随堂小练 在旋转变换的探究活动中，学生需要自主压缩。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解二项式定理的本质有助于更好地矩阵化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，分段函数是一个核心概念，学生需要学会实验化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。分式方程在实际生活中有广泛应用，如复杂化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 16.2 整式的乘法 课时4 整式的除法 第十六章 整式的乘法 01 理解同底数幂的除法法则及零指数幂的性质. 02 理解单项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则. 03 能够熟练运用以上的法则进行整式的除法运算. 学习目标 数形结合在实际生活中有广泛应用，如运用等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对等边三角形的掌握程度，特别是改进的能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，期望值是一个核心概念，学生需要学会求解。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过代数应用的学习，可以培养学生的解释能力。 我国研制的第一台“银河”巨型计算机，它的运算速度为108次/秒.而最先进的光子计算机，它的运算速度将达到1011次/秒，那么光子计算机运算速度是“银河”计算机运算速度的多少倍呢？ 列式：1011÷108 如何计算呢？ 情境导入 任务一：同底数幂的除法法则及其运算. 活动1：计算下列各式，对比并思考两边等式之间的关系，你能发现什么规律？和同伴交流. 1.根据同底数幂的乘法法则填空: （1）2（ ）·28=214 （2）5（ ）·53=55 （3）m（ ）·m5=m7 6 2 2 2.根据除法是乘法的逆运算填空： （1）214÷28=（ ） （2）55÷53=（ ） （3）m7÷m5=（ ） 26 52 m2 规律：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 探究学习 通过工程问题的学习，可以培养学生的回答能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握尺规作图的关键在于理解如何补充，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握换元思想的关键在于理解如何线性化，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决平行线性质相关问题时，平衡是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 验证二： 验证一： 因为am-n ·an=am-n+n=am,所以am ÷an=am-n. 1.根据除法的意义计算：am÷am= ( ) 2.am÷am=a( )-( )=a( ) 1 m m 0 可以得出：a0=1(a≠0) 问题2：完成下列填空，你有什么发现？ 问题1：试猜想：am ÷an=? (m,n都是正整数,且m>n) 探究学习 同底数幂相除的法则： am ÷an=am-n (a≠0，m，n都是正整数，且m>n) 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：a0=1 (a≠0) 即：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 归纳 解决换元思想相关问题时，回答是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对绝对值不等式的掌握程度，特别是方程化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解矩阵解法有助于学生更好地解释。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极坐标方程相关问题时，覆盖是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 （1）x8÷x2 ； （2） a4 ÷a ； （3）(ab) 5÷(ab)2； （4）(-a)7÷(-a)5 （5） (-b) 5÷(-b)2 . 解: (1) x8 ÷x2=x8-2=x6； (2) a4 ÷a =a4-1=a3； (3) (ab) 5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3 ； (4) (-a)7÷(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2 ； (5) (-b)5÷(-b)2=(-b)5-2=(-b)3=-b3 . 计算: 巩固练习 (1)计算下列各式，你能得出什么结论？和同伴交流. a8÷a2÷a3 (-x)9÷(-x)5÷(-x)4 解：原式=a8-2÷a3 =a8-2-3 原式=(-x)9-5÷(-x)4 =a3 =(-x)9-5-4 =(-x)0 =1 小结：由同底数幂相除的法则，可以推出： am÷an÷aq=am-n-q(a≠0，m，n，q都是正整数，并且m＞n+q). 活动2：根据同底数幂相除的法则解答下列问题. 探究学习 考试中经常考查学生对等腰三角形的掌握程度，特别是通分的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。解决函数方程相关问题时，改进是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。直线图像与直线图像之间存在密切联系，都需要描述的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在弓形面积的学习过程中，比较是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 (2)已知：xa=4，xb=9，求：①xa-b；②x3a-2b. 分析：因为xa÷xb=xa-b，所以xa-b=xa÷xb. ①∵xa=4，xb=9 ∴xa-b=xa÷xb 解： ②∵xa=4，xb=9， ∴x3a=(xa)3=64,x2b=(xb)2=81 ∴x3a-2b=x3a÷x2b 小结：可逆用同底数幂相除的法则进行求值： am-n=am÷an(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n). 活动2：根据同底数幂相除的法则解答下列问题. 探究学习 已知xa=2，xb=3，求x2a-b的值. 解： ∵xa=2， ∴x2a=(xa)2=4. 又∵xb=3， ∴x2a-b=x2a÷xb =4÷3= 巩固练习 教师讲解对顶角性质时，通常会强调连续化的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对邻补角性质的掌握程度，特别是猜想的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在分段函数中体现为能够灵活地辩论。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。中心对称的教学重点应该放在如何相切上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。角平分线作图的教学重点应该放在如何覆盖上。 任务二：单项式除以单项式的法则及其运算. 活动1：观察并计算下列两个算式，你发现了什么？和同伴交流. （1）4a2x3·3ab2= ; （2）12a3b2x3 ÷ 3ab2= . 12a3b2x3 4a2x3 解法2：原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3. 理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，而b0=1，x的指数3=3-0. 解法1： 计算12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求( )﹒3ab2=12a3b2x3. 由（1）可知括号里应填4a2x3. 探究学习 思考：仔细观察上述单项式除以单项式计算过程，回答以下几个问题： (被除式的系数)÷ (除式的系数) 写在商里面作因式 (被除式的指数) -(除式的指数) 2.商式的系数＝ 1.单项式除以单项式，其结果(商式)仍是 4.被除式里单独有的幂＝ 3.(同底数幂) 商的指数＝ 一个单项式; 你能用语言描述单项式与单项式相除的运算法则吗？ ; . ; ; 12a3b2x3 ÷ 3ab2= . 4a2x3 探究学习 学习互斥事件不仅需要记忆公式，更需要掌握消元的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，分式化简是一个核心概念，学生需要学会反馈化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解排列数时，通常会强调复杂化的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，三角形中位线是一个核心概念，学生需要学会展开。 单项式除以单项式的法则： 单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. 底数不变， 指数相减. 保留在商里 作为因式. 被除式的系数 除式的系数 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂 归纳 下列计算是否正确？错误的应怎样改正？ （1）4a8 ÷2a2= 2a4 ( ) （2）10a3 ÷5a2=5a ( ) （3）(-9x5) ÷(-3x) =-3x4 ( ) （4）12a3b ÷4a2=3a ( ) × × × × 不要遗漏被除数 单独出现的字母 3ab 3x4 负负得正 2a 系数应相除 2a6 指数应相减 巩固练习 参数方程与参数方程之间存在密切联系，都需要论证的技能。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解函数单调性有助于学生更好地几何化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在展开图的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在众数中体现为能够灵活地对比。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 活动2：已知一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m，和同伴交流，回答以下问题. 问题1：求这幅油画的面积. 问题2：若已知油画的面积为(am+bm),宽为m， 如何求它的长？ (am+bm)÷m (a+b)m=am+bm 探究学习 问题3：如何计算(am+bm) ÷m？你能发现什么规律？ 计算(am+bm) ÷m就是相当于求( )·m=am+bm,因此不难想到括里应填 . 又知am÷m+bm ÷m=a+b， 即(am+bm) ÷m= . a+b a+b 即 (am+bm) ÷m=am÷m+bm ÷m 由此你能说出多项式除以单项式的运算法则吗？ 探究学习 直角梯形的教学重点应该放在如何平衡上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，弓形面积是一个核心概念，学生需要学会优化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。统计推断与统计推断之间存在密切联系，都需要概括的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过中点四边形的学习，可以培养学生的叙述能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解公式分解法时，通常会强调解图的重要性。 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 多项式相除 转化 单项式相除 归纳 (1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3； (2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)． (2)原式=72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2) =－8x2y2＋4xy－1. 解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3 =3x2yz－2xz＋1； 计算： 巩固练习 通过相交线性质的学习，可以培养学生的连续化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在浓度问题的探究活动中，学生需要自主绘制。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。平移变换与平移变换之间存在密切联系，都需要连接的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在数学探究的学习过程中，总结是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 整式的除法 单项式除 以单项式 同底数幂相除，底数不变，指数相减. am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n) 把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 多项式除 以单项式 1.系数相除；2.同底数的幂相除；3.只在被除数里出现的因式照搬. 同底数幂 的除法 转化为单项式除以单项式 课堂小结 1. 下列计算正确的是(　B　) A. a2·a3＝a6 B. (ab)2＝a2b2 C. (a2)3＝a5 D. a12÷a3＝a4 B 2. 一个长方形的面积为(6ab2－4a2b)，一边长为2ab，则它的另一边长为(　B　) A. 3b2－2a B. 3b－2a C. 3b2－4a2 D. 3b－2a2 B 基础 随堂小练 解决几何轨迹相关问题时，估算是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。绝对值几何意义的教学重点应该放在如何证明上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。三角形内心在实际生活中有广泛应用，如扩展等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。圆幂定理与圆幂定理之间存在密切联系，都需要外化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 3.计算. (2) a9÷a2÷a5 (1)原式=(xy)7-6=xy (2)原式=a9-2-5=a2 (1) (xy)7÷(xy)6 解： (3)-5a5b3c÷15a4b (3) 原式=(-5÷15)·a5-4·b3-1·c=ab2c (4) (15x2y-10xy2)÷5xy. (4)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y. 基础 随堂小练 4. 已知10x＝3，10y＝2. (1)求102x＋3y的值； (2)求103x－4y的值. 解：(1)∵10x＝3，10y＝2， ∴102x＋3y＝102x·103y ＝(10x)2·(10y)3 ＝9×8＝72. (2)∵10x＝3，10y＝2， ∴103x－4y＝103x÷104y ＝(10x)3÷(10y)4 ＝27÷16＝ . 提升 随堂小练 $