26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第2课时课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

【新教材】人教版 ·九年级上册 第二十六章二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=a(x-h)² 的图象和性质 (第2课时) 1 学 习 目 标 掌握二次函数y=a(x-h)² 的图象特征和性质. 2 理解二次函数y=a(x-h)² 图象之间的平移关系。 3 通过观察、对比、归纳y=a(x-h)² 与y=ax² 的异同，培 养学生分析问题和归纳总结的能力. 学习目标 会用描点法画出二次函数y=a(x-h)² 的图象. 通过图象了解二次函数y=a(x-h)² 的图象特征和性质，进一 步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想. 1.①相同点 都是抛物线，二者的对称轴，开口方向、 大小以及增减性完全一致. ②不同点 y=ax²+k 顶点坐标(0,k),y=ax² 顶点 坐标(0,0) 2.y=ax²+k 可由y=ax² 平移得到. 1.二次函数y=ax²+k 与y=ax² 的图象与性质有什么异同? 2.y =ax²+k 与y=ax² 有什么关系? 当k>0 时 ，把抛物线y=ax² 向上平移k 个单位长度； 当k<0 时 ，把抛物线y=ax² 向下平移|k| 个单位长度. 新课引入 复习引入 合作探究 典例分析 3 布置作业 课堂小结 当堂检测 目录 巩固练习 新课引入 探究 上节课我们研究的是再来讨论当h=0,k≠0 时的情况，那么当h≠0, k=0 时，二次函数y=a(x-h)² 的图象和性质是怎样的呢? 猜想： ①二次函数y=a(x-h)² 的图象 可 由y=ax² 左右平移得到的 ②h 影响的是对称轴 ③开口方向、大小以及增减性与y=ax² 下面我们一起学习，看看当h≠0,k=0 想 一 想 k值影响二次函数的最值 以及上下平移关系，那 么h影响的是什么呢? 一致 时，关于二 次函数y=a(x-h)² 的图象和性质的猜想是否正确. 二次函数 y=ax²+k(a>0) y=ax²+k(a<0) 图象与性质 形状 抛物线 抛物线 开口方向 向上 向下 开口大小 a越大，开口越小 a越小，开口越小 对称轴 y轴 y轴 顶点 (0,k) (0,k) 最值 当x=0时，y取得最小值k 当x=0时，y取得最大值k 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小 当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而减小 ① 复习引入 1.说一说二次函数y=ax²+k的图象与性质. 探究1 按照列表、描点、连线的步骤， 分 X … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -4.5 -2 -0.5 0 —0.5 -2 -4.5 … X … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … ①列表 二次函数y=ax²+bx+c 二次函数y=ax² 二次函数y=ax ²+k 二次函数y=a(x- h)²+k 二次函数y=a(x-h)² h≠0,k≠0 二次函数y=a(x-h)²+k h=0,k=0 h=0,k≠0 h≠0,k=0 1 复习引入 从 特 殊 到 一 配方 般 1.开口向下 2.对称轴分别为x=1 与x=-1 3.顶点坐标分别为(- 1,0),(1,0) 新知探究 ②描点 ③连线 绘制过程——动态演示 X -2 -1 0 1 2 ·· y=-(x+1)² … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 X · -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y=-(x-1)² … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … ② 合作探究 探究(1)在同一平面直角坐标系中，画出二次函 1)²的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 2.描点： 3.连线： 1.列表： 我们可以从形状和开口方向、对称轴、顶点坐标、 位置关系四个角度来分析它们的关系. ①形状和开口方向： 三条抛物线的形状相同， 开口方向都向下(因为 ②对称轴： 的对称轴是y 轴 的对称轴是x =-1 的对称轴是x=1 思考 以上绘制出的抛物 与与抛物线y=- 有什么关系? 新知探究 ④位置关系：把抛物线 向左平移1个单位长度， 就得到抛物 把抛物 向右平移1个单位长度，就得到抛 ③坐标： 的顶点是(0,0); 的顶点是(-1,0); 的顶点是(1,0) 新 知 探 究 位置关系 把抛物 平移_ 个单位长度， 就得到抛物 把抛物 向 平移 个单位长度， 就得到抛物 合 作 探 究 探究(2)抛物 与抛物 有什么关系? 新知探究 一般函数y =a(x-h)²的平移规律 探究2 观察动态演示：保持a的值不变，改变h的值观察抛物线y=a(x-h)² 的位 当h>0 时，把抛物线y=ax² 向右平移h 个单位长度； 当h<0 时，把抛物线y=ax² 向左平移|h| 个单位长度. 置变化. 抛物线y=a(x-h)² 可以由抛物线y=ax ²平移得到. 平移规律可以简记为“左加右减”,这里的“加” 和“减”是针对x本身而言的。 提示：放映状态下点击图象 动态演示器 信息技术验证 随着h的变化，二次函数y=a(x-h)² 的图象向左或向右平移，即把抛 物线y=ax² 向左(h<0)或向右(h>0) 平移| h 个单位长度，就可以得到 抛物线y=a( x-h)² . ② 合作探究 向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 ; y=2(x-3)² . 是由抛物 移 二个单位长度得 解： (1)向右平移3个单位，因此在X上减去3, 得到y=2(x-3)² . (2)先将解析式变形为顶点式的标准形式： 新 知 巩 固 二次函数y=ax 的平移规律 【分析】本题考查二 次函数图象左右平移 的核心规律“左加右 减”, 加减操作仅针 对自变量X本身。 对比y=a(x-h)² ,可得h=-4 因此向左平移|-4|=4个单位长度。 (1)将抛物线y=2x² (2)抛物 到的。 二次函数 y=a(xh)²(a>0) y=a(xh)²(a<0) 图象与性质 形状 抛物线 抛物线 开口方向 向上 向下 开口大小 a越大，开口越小 a越小，开口越小 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点 (h,0) (h,0) 最值 当x=h时，y取得最小值0 当x=h时，y取得最大值0 增减性 当x<h时，y随x的增大而减小 当x>h时，y随x的增大而增大 当x<h时，y随x的增大而增大 当x>h时，y随x的增大而减小 合作探究 思考你能归纳出二次函数y=a(x-h)²的图象特征和性质吗?与同学交流一下. 新知探究 y=a(x-h)² 的性质 探究3 你能归纳出二次函数y=a(x-h)²的图象特征和性质吗?与同学交流一下. 函数y=a(x-h)² 1.开口方向： a> 0 时 ，开口向上； a< 0 时 ，开口向下 2.对称轴直线x=h 3.顶点坐标( h,O) 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和 顶点，以及随着x的增大，y 的变化情况. ③典例分析 例在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： a<0, y 有最大值0 当x<h 时，y 随x的增大而增大 当x>h 时 ，y 随x 的增大而减 a>0,y 有最小值0 当x<h 时，y 随x的增大而减小 当x>h 时 ，y 随x的增大而增大 新知探究 4.增减性与最值 位置关系 把抛物 左平移 2 个单位长度， 就得到抛物 ; 把抛物 个单位长度， 就得到抛物 ③ 典例分析 关于二次函 的图象，下列说法中正确的是( ) A. 开口向下 B. 经过原点 C. 当X>-1 时 ，y 随x的增大而增大 D. 与x 轴的交点坐标为(1,0) 得X =- 1, 二抛物线x轴的交点坐标为(-1,0), B,D 选项错误； 新知巩固二次函数乡= a(x-6)² 的性质 ∴抛物线开口向上，A选项错误； ∴X>-1 时，y随x增大而增大，C选项正确； 【分析】由抛物线解析 式可得抛物线开口方向 及顶点坐标，进而求 解. 二次函数 y=(x+2)² y=x² y=(x-2)² 图象与性质 开口方向 向上 对称轴 直线x=-2 直线x=0 直线x=2 顶点 (-2,0) (0,0) (2,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小 当x>0时，y随x的增大而增大 ③ 典例分析 B.y₁<y₃<y₂ D.y₂<y₃<y₁ 解：∵函数的解析式是y=2(x-1)² ∴对称轴是直线x=1 ∴点A(-3, y₁ )的对称点为(5,y₁) ∴对称轴左边y随X的增大而减小，对 称轴右边y随X的增大而增大 又∵1<4<5 y₂,y₃ 大小关系是() A.y₁<y₂<y₃ C.y₂<y₁<y₃ 【分析】根据二次函 数的对称性，再利用 二次函数的增减性可 判断y值的大小. 巩 固 训 练 1 二次函数y=a(x-h) 的 增 减 抛物线y=2(x-1)² 的图像经过点A(-3, y₁),B(1, y₂),C(4, y₃), 则y₁, ④ 巩固练习 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=(x+1)²的图象可能是 ( D) 在抛物线y=2(x-m)² 上，当X>3 时 ，y 随X的增大而增大，则m 的取 值范围是( ) A.m=3 B.m>3 C.m≤3 D.m≥3 解：抛物线y=2(x-m)² 上，开口向上，对称轴为x =m, ∴在对称轴右侧，y 随X的增大而增大， 当X>3 时，y 随X的增大而增大， ∴m≤3, 故选： C. 巩 固 训 练 1二次函数y=a(x-h) 的 增 减 变式题 ④巩固练习 2.已知二次函数y=(x-5)² , 那么该二次函数图象的对称轴是 ( C) A. 直线x=1 B. 直线x=- 5 C. 直线x=5 D. 直线x=-1 巩 固 训 练 2y=a( x-h)² 的图象问题 已知二次函数y=(a-5)(x-1)² 的图象如图所示，则a可 能 是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解：∵二次函数y=(a-5)(x-1)² 的图象如图所示， .a - 5< 0, .a<5, 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A. 【分析】根据二次函数 的性质“对于二次函数 y=a(x-h)², 开 口 向 上a>0, 开口向下a< 0”, 据此求解即可. ④巩固练习 3.已知二次函数y=-(x-4)², 如果函数值y随自变量x的增大而减小， 那么x的取值范围是 ( A) A.x≥4 B.x≤4 C.x≥-4 D. x≤-4 巩 固 训 练 2 y=a(x-h)² 的图象问题 变式题 如图，二次函 的大致图象是() ∴抛物线开口向上，对称轴为直线X=1, 故C符合题意； 故选：C. 解：∵二次函 D. B. A. ④巩固练习 4.将抛物线y=-(x+1)²向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标 是 ( A ) A. (-2,0) B.(0, O) C.(-1,-1) D.(-2,1) 的最大值是() C.2 D.3 解：∵二次函数的解析式是y=-2(x-3)², ∴该抛物线开口方向向下，且顶点坐标是(3,0), ∴二次函数y =-2(x-3)²的最大值为0, 故选：B ①【分析】本题考查 二次函数的最值问 题，解答时根据二 次函数的图象的顶 点坐标和开口方向 进行解答. 巩 固 训 练 3y=a( x-h) 的基本性质 二次函数y=-2(x-3)² A.-2 ④ 巩固练习 5.已知抛物线y=a(x-h)²的对称轴为直线x=-1, 且过点(1,-4),求抛 物线的解析式. 解：∵抛物线y=a(x-h)² 的对称轴是直线x=-1, . ∴.h=-1, ∴抛物线解析式为y=a(x+1)², ∵抛物线经过点(1,-4), ∴- 4=4a, 解得a=- 1, ∴抛物线解析式为y=-(x+1)² . 变式题 关于二次函数y=(x-1)², 下列说法正确的是() A. 函数图象的开口向下 B. 对称轴为直线x=1 C.该函数有最大值，最大值是0 D.当 X>1 时，y 随X的增大而减小 解：对于y=(x-1)², ∵a= 1>0, 故抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线X=1, 故B正确； 该函数有最小值，最小值是0,故C错误； 当X>1 时，y 随X的增大而增大， 故D错误。 巩 固 训 练 3y=a( x-h) 的基本性质 5 当堂检测 1.关于抛物线y=(x-1)², 下列说法错误的是 ( B) A. 开口向上 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x=1时，函数值最小 D. 将抛物线向左平移1个单位长度得到y=x² h>0 : 向右平移h 个单位 h<0 : 向左平移|h| 个单位 与y=ax ²完全一致 对称轴：直 线x =h 顶点坐标： (h, 0) a > 0 时 ，Y 最小值 a<0 时 ，y 最大值 本节课你学到了什么? 图象由y=ax ²平移得到 开口方向、大小及增减性 对称轴及顶点坐标 课堂总结 y = a(x -h)² 的图象和性质 最值 5当堂检测 2.顶点为(6,0),开口向上，形状与函 的图象相同的抛物线对 应的解析式为 (A) A. B. C. D. 5 当堂检测 3.已知抛物线y=a(x+4)²经过点M(-3,2), 解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； 解：(1)把M(-3,2) 代入解析式得： a(-3+4)²=2, 解得 a=2, ∴ 此抛物线的解析式为：y=2(x+4)²; 5 当堂检测 y=2(x+4)2 (2)填空： ①此抛物线的开口 向上 ; 顶点坐标是 (-4,0) ; 对称轴是 直线x=-4 ; ②当x <-4 时，y随x的增大而减小； ③ 当x =-4 时，函数有最 小 值为0 ; 分析：由y=(x-a)² 可得抛物线的对称轴为直线x=a, 顶点坐标为(a,O), 当对称轴在点P 左侧时，a<3, 把P(3,1) 代入y=(x-a)² 得1=(3-a)², 解得a=2或a=4(舍去), 当对称轴在点P 右侧时，a>9, 把Q(9,1), 代入y=(x-a)²得1=(9-a)², 解得a=10或a=8(舍去), ∴ 当2≤a≤10时，抛物线y=(x-a)² 与线段PQ有交点. 5 当堂检测 4.在平面直角坐标系内有线段PQ, 已知P(3,1) 、Q(9,1), 若 抛物线y=(x-a)² 与线段PQ有交点，则a的取值范围是 2≤a≤10. 当h>0 时， 把抛物线y=ax²向右平移h个单位，就得到抛物线y=a(x-h)²; 当h<0 时， 把抛物线y=ax² 向左平移|h|个单位，就得到抛物线y=a(x-h)². 6 课堂小结 1.说一说二次函数y=a(x-h)²的图象与性质. 2.谈一谈二次函数y=a(x-h)² 与二次函数y=ax²2的关系. 【新教材】人教版 ·九年级上册 感谢聆听! $