26.3.2用待定系数求二次函数的解析式 -课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.3.2用待定系数法求二次函数的 解析式 授课教师： · 班 级 ： 9年级( ) 班 时 间 ： 2026/11/4 . 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现 在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的 自己。 一 人教版(新教材)数学九年级上册 第二十六章二次函数 1.会用待定系数法求二次函数的解析式. 2.灵活选择一般式、顶点式解决关于二次函数的相关问题. 1.二次函数的两种常用表达式是? 一般式：y=ax²+bx+C 顶点式：y=a(x-h)²+k, 顶点为(h,k) 思 考 ：确定二次函数的表达式需要几个条件? 3个待定系数，3 个条件 1.如图，下列二次函数的图象与X 轴有公共点吗? 2.如果有，公共点的横坐标是多少? 3.当X 取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1)y=x²+x-2; ①与X 轴有两个公共点，它们的横坐标分别 是 - 2, 1. ②当x 取公共点的横坐标时，函数值是0. 坯 空 新 知 二次函数图象与x 轴的公共点和一元二次方程根的关系 ③由此可知，方程x²+x-2=0 有两个不 相等的实数根 -2,1. 探究1 探究新知 ①与X 轴只有一个公共点，这个点的横坐 标是4. ②当x=4 时 ，函数值是0. ③方程x²-8x+16=0 有两个相等的实 数根4。 ①与x 轴没有公共点。 ②方程x²-x+1=0 没有实数根。 (2)y=x²-8x+16; y=x²-x+1 y=x²+x-2\ 4- 2 0 2 4 反过来，由一元二次方 程的根的情况，也可以 确定相应二次函数的图 象与X 轴的公共点的情 况。 (3)y=x²-x+1. yA 2 y= ax²+bx+c 与X 轴的公共点 公共点的横坐标是Xo 当X=Xo 时，函数值是0. -2 因此x=xo 是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的一个根。-3 即可以通过二次函数图象直接得出一元二次方程的解. 探究新知 讨论 结合以上分析，小组交流讨论二次函数图象与X 轴的公共点和一元二次方 程根的关系. 一般地，从二次函数y=ax²+bx+C 的图象，可得如下结论： y=ax²+bx+c 2 二次函数y=ax²+ b x + c ( a ≠ 0 ) 的 图 象与x轴的公共点 一元二次方程ax²+ bx+c=0(a≠0) 的根 判别式△=b²-4ac 两个公共点 一个公共点 没有公共点 思考 二次函数图象与x轴的公共点与一元二次方程的根有什么对应关系? 探究新知 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一 个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m 处达到 最高，高度为3m, 水柱落地处离池中心3.6m, 水管的长应为多少? 【分析】以池中心为 原点建立平面直角坐 标系，将水柱轨迹设 为顶点式抛物线，代 入落地点坐标反推水 管高度. 解：如图，以水管与地面交点为原 点，原点与水柱落地处所在直线为 X 轴，水管所在直线为y 轴，建立 平面直角坐标系。 点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点，因 此可设这段抛物线对应的函数解析式为 探究新知 二次函数的图象与一元二次方往的解 教材例题 y=a(x-1.6)²+3 (0≤x≤3.6). 由这段抛物线经过点(3.6,0),可得 探究新知 二次函数的图象与一元二次方桂的解 教材例题 时 ，y=1.08, 也就是说，水管的长应为1.08m。 解得 因此 当x=0 0=a(3.6-1.6)²+3, 探究新知 二次函数与坐标抽的交点同题 已知抛物 轴没有交点，则C的取值范围是 C >4. 【分析】本题考查 抛物线与x轴的交 点问题，抛物线与 x轴没有交点，则 △<0, 进而求解. 解得c>4, ∴C的取值范围是c>4. 故答案为：C >4. 【详解】解：∵抛物 与X轴没有交点， 解：画出函数y=x²-2x-2 的图象 它与X 轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. 所以方程x²-2x-2=0 的实数根为 X₁≈ -0.7,X₂ ≈2.7. 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求 得的相应方程的根， 一般是近似的. 利用函数图象求方程x²-2x-2=0 的根的近似值(结果保留小数点后一位) 利用函数图象求一元二次方程的近似根 探究2 ① 观察图象，确定根所在的大致范围： 2 <x<3 ②继续观察图象可知，根在2.5 <x<3 之间 ③ 取2.5和3的平均数2.75 二分法动态演示 计算得y=2.75²-2×2.75-2=0.0625>0 放映状态下点击图象即可 与x=2.5 时的函数值异号，所以根在2.5 < x<2.75 之间。 不断缩小根所在的范围，直到达到要求的精确度. 为了得到更精确的近似根，你还能想到什么办法吗? 探究新知 二分法 利用函数图象求一元二次方程近似根的步骤： (1)画出相应二次函数的图象，确定方程根的大 致范围。 (2)用二分法不断缩小根所在的范围，直到达到 要求的精确度。 (3)写出方程的近似根。 探究新知 解：根据表格中的数据可知： 当X=-1 时，y= 0且当x=0 一元二次方程ax²+bx+c=0 的范围是-1< X₁ < 0 故答案为： -1< X₁ <0. X .. -3 -2 -1 0 1 .. y … 13 6 1 -2 -3 … 围是-1<X₁<Q 【分析】根据表 格中的数据计算 即可. 已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的变量x,y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程ax²+bx+c=0 的一个近似解x₁ 的范 时，y=-2 的一个近似解X₁ 探究新知 y=a(x-h)²+K 的 平 物 娩 解：令x²- 2x-3=0, 即(x-3) (x+1)=0, 解得一元二次方程的根为：X₁=3, X₂ =-1; 则抛物线y=x²-2x-3 与x轴的两个交点分别为 (3,0)和(-1,0); 故答案选：A. 探究新知 二次函数与坐棕抽的交点同题 抛物线y=x²-2x-3 与x 轴的两个交点分别为( ) A. (3,0)和(-1,0) B. (-3,0)和(1,0) C. (2,0)和(-4,0) D.(4, 0)和(-2,0) 【分析】求出一元二 次方程x²-2x-3= 0的两个根X1, X₂, 即 可得出抛物线y= x² -2 x-3 与x 轴的两 个交点(x1,0), (x₂,0). 2.抛物线的对称轴为直线x=1,且过点(2,-3),(-1,0), 求抛物 线的解析式. y=a(x-1)²+k y=(x-1)²-4 -8, 求抛物线的解析式. 顶点坐标(-1,-4) 1.一个二次函数，当x=-1时， y有最大值为-4,当x=1时 ，y为 当堂检测 练一练 y=-(x+1)²-4 y=x²-2x-3 解：设这个二次函数的解析式为y=ax²+bx+c. 把点(0,-1),(-2,0), ,0)代入可得 你还有其他的 方法吗? 解得 1 ∴抛物线的解析式为 x-1. 3.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1, 当x=-2与 时 ，y=0, 求这个二次函数的解析式. 当堂检测 当堂检测 当抛物线y=ax²+bx+c与x轴有交点 A(x₁,O,B(x₂,O), 显然，x₁,x₂ 是方程ax²+bx+c=0的两根. =a[x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂] →二次函数的交点式 A 0 B =a(x-x₁)(x-x₂) 则 x 3.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1, 当x=-2与 时 ，y=0, 求这个二次函数的解析式. 方法二： 解：设这个二次函数的解析式为 把点(0,-1)代入可得 解得a=1. 二抛物线的解析式为 当堂检测 举一反三 知识点1 抛物线和x轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之 间的关系 1.一元二次方程x² +2x-8= 0的根是x₁=2,x₂=-4 , 所以抛物 线y=x²+2x- 8与x轴的公共点坐标是(2,0),(-4,0). 2.如图，抛物线y=ax²+bx+c 的对称轴是直线x=1. 关于x的方程 ax² + bx+c=0 的一个根为x=4, 则另一个根为 x=-2. 3.已知二次函数y=ax²+bx+c 的图象如图 所示，利用图象解答下列各题： (1) 方程ax²+bx+c= 0的根是 x₁=-1, X2=3 ; (2)方程ax²+bx+C=- 3的根是X1=0,X2=2 ; (3)方程ax²+ bx+c= 5的根是x1= - 2,x2=4 ; (4)方程ax²+bx+C=- 4的根是x₁=x₂=1; (5)方程ax²+bx+C=- 6的根的情况是什么? 解：此方程无实数根. 知识点2 抛物线和x轴的公共点个数与对应的一元二次方程根的判 别式之间的关系 4.二次函数y =ax²+bx+ c的图象如图所示，则对应 的一元二次方程ax²+bx+c= 0的根的情况是( B ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 举一反三 5.抛物线y=x²+2x- 2与x轴的交点个数是( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.若二次函数y =kx²+2x+ 1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ( B ) A.k>1 B.k ≤1且k ≠0 C.k≤ 1 D.k < 1且k ≠0 7.新视角条件开放题若抛物线y =x²-x+c (c是常数)与x轴没有交点， 则c的值可以是1(答案不唯 一 ) . 举一反三 知识点3 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 8.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y (单位：m)与飞行时间x(单位：s)的关系式为 +10x. (1) 炮弹的飞行高度能否达到120m?如果能，需要多长时间? 解：能. , 整理，得x²-50x+600=0, 解得 x₁=20, x₂=30.. 当炮弹飞行20 s或30 s时，它的飞行高度达到 120 m. (2) 炮弹的飞行高度能否达到150m?如果能，需要多长时间? 解：不能. +10x=150, 整理，得x² -50x+750=0, ∵△=(-50)²- 4×1×750=-500<0 ,∴ 方程无解，∴炮弹的飞 行高度不能达到150 m. (3) 从炮弹飞出到落地，需要多长时间? 解： ,整理，得x²- 50x=0, 解得x₁=0, X₂=50. ∴ 从炮弹飞出到落地，需要50 s. 举一反三 抛物线y=ax²+bx+c 与x轴公共点的横坐标台方程ax²+bx+c=0 两个公共点⇔两个不相等实数根⇔△>0 一个公共点⇔两个相等实数根⇔△=0 没有公共点⇔没有实数根⇔△<0 图象法+二分法 基本关系 对应情况 求近似根 本节课你学到了什么? 课堂小结 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 的根 谢谢观看 THANKS $