山西太原市部分学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026~2027学年第一学期九年级阶段学业诊断 数 学 (考试时间：上午8：00一9：30) 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器.答题时间90分钟 题目 选择题 填空题 解答题 总分 总评 得分 :如 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑， 的 1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0的根是 A.x1=-1,x2=2 B.x1=1,x2=-2 长 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2 2.美术课上，小思计划用一块原材料雕刻一枚印章，这块原材料可以看作是由圆柱和长方体 组成的几何体.如图是它的示意图及俯视图，其左视图为 个正面俯视图 (第2题图) 3.已知一元二次方程2x2+6x+5=0的两个根是m,n,则m+n+mn的值是 A号 B C、 2 D.l 4.如图，已知菱形ABCD,在对角线AC上取一点E,使得AE=AD,连接 D DE.若∠ABC=108°，则∠AED的度数为 A.54° B.72° C.67.5° D.36° (第4题图) 5.若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是 A.4 B.2.5 C.1 D.-3 九年级数学 第1页（共8页） 批 6.摄影中常采用黄金分割构图法，用来突出画面主体，如图的摄影作品 中，花朵的中心B恰好是构图参考线AC的黄金分割点(BC>AB),若 A AC的长为10cm,则BC的长为 (第6题图) A.(5√5-5)cm B.(15-5V5)cm C.(5V5+5)cm D.(15+5V5)cm 7.如图，在△ABC中，点0是BC的中点.将△ABC绕点O旋转180°，得到 △A'CB,其中点A的对应点为点A'.要使四边形ABA'C成为矩形，则 △ABC满足的条件是 A.AB=AC A B.∠ABC=30° (第7题图) C.AB=BC D.∠BAC=90° 8.近年来，多地推进旧厂房改造，将老旧工业遗存打造为文旅打卡地.某 厂房改造成的景点，今年4月份接待游客2万人次，6月份接待游客 2.88万人次.设该景点这两个月接待游客量的月平均增长率为x,则下 面所列方程正确的是 A.2(1+x)=2.88 B.2(1+2x)=2.88 C.2(1+x)2=2.88 D.2.88(1-x)2=2 9.如图，在平面直角坐标系中，以原点0为位似中心，将第三象限内的 五角星放大，其中点A的对应点为点A'.若点A的坐标为(-2,1)， -则嘴三案限内点的坐标为 (第9题图) A.(-3,-6） B.(-6,-3) C.(-3,-1) D.(-1,-3) 10.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,以对角线BD为一边，作矩形FBDE,使得 矩形FBDE∽矩形ABCD.若AB=1,BC=2,则DE的长为 A.V5 B.V3 c D.3 2 (第10题图) 九年级数学第2页（共8页） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置： 11.将一元二次方程x(x-3)=6化成一般形式为▲ 12.如图，为了测量一段河道的宽度，位于河道一侧的小明先通过观察找 到对面河岸上一个特别明显的标志点O,然后在他所在的这一侧选 点A,B,D,使得AB⊥AO于点A,DB⊥AB于点B,再确定DO和AB的交 点C(图中各点都在同一水平面内)，现已测得AC=20m,BC=8m,为 (第12题图) 计算河道的宽AO,还需要测量线段▲的长度（写出一种即可）. 13.如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四 个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌 于这个正方形.如图，正八边形EFGHIJKL内嵌于正方形ABCD,且 点E,G,L,K分别为正方形各边中点，则∠AGF的度数为▲·， (第13题图) 14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，将△ABD沿 射线AC方向平移得到△A'B'D',其中点A,B,D的对应点为点A', B,D,当线段A'B经过点D时，线段A'D交边BC于点E,则ME B (第14题图) 的值为▲。 15.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E是边CB延长线上一点，且BE=2, 连接AE,点F是线段AE的中点，线段CF交边AB于点G,则CG的长 为▲， (第15题图) 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程 16.（每小题4分，共8分)用适当的方法解下列一元二次方程 (1)x2-2x-5=0; (2)(x+1)2-(2x+2)=0. 九年级数学第3页（共8页） 17.(本题6分)如图，在梯形纸片ABCD中，ADBC,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C与点A 重合，折痕交BC于点E.请判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论 18.(本题5分)晋祠宋代壁画是山西经典文化瑰宝.现有一幅矩形壁画临摹作品，长为60cm, 宽为40cm,在临摹画四周外围加装宽度相等的仿古木框，制成一幅矩形挂图，加装完成后 挂图整体面积为3500cm2.求仿古木框的宽度. .40cm 九年级数学第4页（共8页） 19.(本题6分)小区门口有一盏垂直于地面的路灯AB,小容运用所学的数学知识进行了如下 实践活动： (1)如图，小睿在阳光下借助标杆MN测量路灯AB的高度，线段PN表示垂直于地面的标 杆MN在地面上的影子.他测得MN=1m,PN=1.5m. ①请画出此刻路灯AB在阳光下的影子（用线段BC表示）； ②若此时路灯的影长BC=6m,求路灯AB的高度； (2)夜晚开启该路灯，垂直于地面的标杆MN在该路灯下的影子为线段NQ.在(1)中标 杆长度及所得路灯高度不变的条件下，若NQ与MW相等，则标杆底部N到路灯底 部B的距离为▲m. 的 N A 备用图 九年级数学第5页（共8页） 20.(本题5分)阅读与思考 阅读材料： 如果关于x的两个多项式相等，那么它们对应同类项的系数一定相等，我们利用这样 的思路研究了一元二次方程根与系数的关系，该推导过程不需要借助求根公式 问题解决： (1)已知x1,x,是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根，则x2+px+g=(x-x)(x-x). 请运用材料中的思路，求两根之和x,+x2与两根之积xx,(用含P,9的代数式表示)； (2)类比上述研究方法，已知x1,2,x是关于x的一元三次方程3x3+bx2+cx+1=0的 三个实数根，则3x2+bx2+cx+1=3(x-x)(x-x2)(x-x),由此可得x,x2x3的值 为▲一 21.(本题5分)项目学习小组计划在秋假期间开展文创用品义卖，将获得的利润捐给某公益 项目.试销过程中发现，此次义卖中的一款化学元素周期表摆件，日平均销量为20件，每 件可获得利润24元；在每件售价降幅不超过8元的情况下，每降价1元，则平均每天可多 卖出2件。 (1)若设这款摆件每件降价x元，则日平均销量为▲件（用含x的代数式表示）： (2)若项目学习小组销售此款摆件，平均每天能获得560元的利润，每件应降价多少元？ 九年级数学第6页（共8页） 22.(本题8分)综合与探究 下面是某数学小组研究笔记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务」】 运用特殊化策略解决问题 特殊化是重要的问题解决策略：研究不确定、具有一般性的问题时，常常先 选取特殊情形展开探究，便于形成猜想、发现结论、提炼思路，再推广到一般情 形，最后运用得到的一般结论解决具体问题、 【问题提出】 E 如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1,点D是 BC边上的一个动，点，过点D作BC的垂线，交线段AB于点E. 图1 ,点F在线段BE上，点G在线段AC上，且FD⊥DG于点D. 设8吧S,线段B郎，CG之间有念样的氯量关系？ n. A(E 【探究过程】小颗先从特殊情形开始研究， 情形1：如图2，当n=1时，点E与，点A重合.她发现此时 无论点F的位置如何变化，都能得到△ADF与△CDG全等， 图2 则BF+CG的值始终为定值. 情形2：如图3，当=2时，她发现BF+一CG的值也始终 E 2 为定值！ … 图3 任务： (1)【特例分析①图2中BF+CG的值为▲； ②类比“情形1'的思路，借助图3，求当n=2时，求BF+CG的值； (2)【一般结论】直接写出线段BF,CG之间的数量关系（用含n的等式表示）： (3)川结论应用】当n=3,且CG=)时，线段BF的长为▲ D 备用图 九年级数学第7页（共8页） 23.(本题12分)综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题.已知矩 形ABCD中，AD>AB.将其绕点C顺时针旋转得到矩形FGCE,其中点A,B,D的 对应点分别为点F,G,E. 猜想证明：(1)如图1，当点E落在线段BC的延张线上时，延长AD交EF于点H,猜想四边形CDHE 的形状，并说明理由； 深入探究：(2)在旋转过程中，直线BE与直线CG交于点P. ①如图2，当点G落在边AD上时，猜想线段PB与PE的数量关系，并说明 奥 理由； ②若AB=3,BC=4,当A,G,C三点共线时，请直接写出 器的值， 学 图2 备用图 烟 九年级数学第8页（共8页）2026-2027学年第一学期九年级阶段学业诊断 数学参考答案与评分建议 一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D A D C B C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.x2-3x-6=0 12.BD或CD 13.22.5 14. 15. 3V73 8 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16.(本题2个小题，每小题4分，共8分) 解：（1)移项，得x2-2x=5. 配方，得(X一1)2=6.…2分 两边开平方，得X一1=士6…3分 即x-1=V6或x-1=-6. 所以，x1=1+6,x2=1-V6. … …4分 (2)方程左边分解因式，得（x+1)(x+1一2)=0.…2分 所以，X十1=0或X-1=0.…3分 所以，X1=-1,X2=1.…4分 17.(本题6分) 四边形ADCE是菱形. …1分 证明：由折叠可知，AD=CD,AE=CE,∠ADE=∠CDE. …2分 ,AD∥BC ∴.∠ADE=∠CED. …3分 .∴.∠CDE=∠CED. …4分 ∴.CD=CE. …5分 .∴.AD=CD=CE=AE ∴.四边形ADCE是菱形 …6分 18.(本题5分) 解：设仿古木框的宽度为xcm.… …1分 根据题意，得(60+2x)(40+2x)=3500.…3分 解，得x1=5,X2=-55（不合题意，舍去).…4分 答：仿古木框的宽度为5Cm.…5分 19.(本题6分) 解：(1)① …1分 如图，线段BC即为所求， ②.AC∥MP,点C,B,P,N在同一直线上， ∴.∠ACB=∠MPN.… …2分 .'AB⊥CN,MN⊥CN, ∴.∠ABC=90°=∠MNP=90°. …3分 .∴.△ABC∽△MNP. 。。 AB=BC MN NP …4分 .MW=1,PN=1.5,BC=6, ,B=6 11.5 解，得AB=4. 答：路灯AB的高度为4m.… 5分 （2)3.… 6分 20.(本题5分) 解：(1)由题意，得x2+px+q=(x-x)x-x2). )(x-2)=x2=x2-)x+2...... .x2+px+q=x2-(x1+x2)x+xx2: …2分 .p=-(x1+X2),9=Xx2… 3分 ∴.X1+X2=-卫，XX2=4. 4分 1 (2) …5分 3 21.(本题5分) 解：（1)20叶2x.…1分 (2)根据题意，得(24-x)(20+2x)=560.…2分 解，得X1=4,x2=10.… …3分 .10>8, .x=10不合题意，舍去.… 4分 答：每件应该降价4元. 5分 22.（本题8分) 解： (1)①1. …1分 ②当m=2时， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1, ·∠B=∠C-2×90-45°，BC-=VAB2+AC=V2, .'BD+CD =BC, ·BD=BC= 3 …2分 .DE⊥BC, ∴.∠EDC=∠2+∠3=90° ,DF⊥DG, ∴.∠FDG=∠1+∠3=90°. .∠1=∠2. 3分 在Rt△BDE中，∠BDE=90°， .∠BED=90°-∠B=45°. ∴.∠DEF=∠C ∴.△DEF∽△DCG. EF DE …4分 CG DC :∠B=∠DEB, ∴DE=BD=号 “在Rt△BDE中，BE=VBD2+DE=号 ∴.EF=5CG.… 5分 ∴BF+CG=BF+EF=BE= 即，BF+CG= …6分 (2)BF+-CG=2 …7分 n+1 (3) …8分 3 23.（本题12分) 解：(1)四边形CDHE是正方形. 1分 理由如下： .四边形ABCD和四边形CEFG是矩形， ∴.∠ADC=∠BCD=90°，∠E=90°.… …2分 ∴.∠CDH=180°-∠ADC=90° ∴.∠DCE=180°-∠BCD=90°. .四边形CDHE是矩形.… …3分 由旋转可得，CD=CE. ∴.矩形CDHE是正方形.… 4分 (2)①PB=PE.理由如下： …………… 5分 连接BG,过点B作BML CG于点M, 则∠BMP=90°. …6分 四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AD∥BC,∠A=∠BCD=90° ∴.∠AGB=∠CBG,BA⊥AG.… …7分 由旋转得，CD=CE,BC=GC,∠GCE=∠BCD=90°， ∴.AB=CE,∠BMP=∠ECP=90° .BC=GC, ∴.∠CGB=∠CBG. .∠AGB=∠CGB. ∴.BA=BM.… …8分 ∴.BM=CE. ∠BMP=∠ECP,∠BPM=∠EPC, .△BMP≌△ECP. ∴.PB=PE. … …9分 ②或4 …12分 评分说明：只写出一个正确答案得2分，全部正确得3分. 【说明】以上解答题的其他解法，请参照此评分标准。