精品解析：上海市川沙中学2026-2027学年高一第一学期期中考试数学试题

上海市川沙中学2026学年第一学期高一数学期中考试 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（满分36分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的运算规律，计算即可 【详解】. 故答案为： 2. 化简________． 【答案】 【解析】 【详解】由根式与分数指数幂的互化法则，得， 又， 根据同底数幂的乘法运算法则，代入原式计算：. 3. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 4 【解析】 【详解】因为，所以，，满足基本不等式的正数要求. 根据基本不等式：对任意正实数，有， 令，，可得： . 将代入上式计算： ，当且仅当时等号成立， 联立，解得，，符合的条件， 故的最小值为. 4. 若幂函数在上是增函数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 5. 已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设得到，接着分和求出B结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，满足； 当时，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 6. 设全集为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解函数的值域与函数的定义域，再结合集合交集运算求解即可. 【详解】由于对任意实数，，即； 令，解得，即； 所以. 7. 已知，则方程的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分，，，四类讨论即可. 【详解】当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，方程即为，等式恒成立，所以； 当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，方程的解集为. 故答案为： 8. 设，试用a，b表示_________． 【答案】 【解析】 【分析】应用换底公式把对数的底数都换成2，再应用对数的运算性质运算即可. 【详解】， 所以， 故答案为： 9. 已知是不等式成立的充分非必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式得到对应解集，再根据充分非必要条件对应的真子集关系，列不等式组求解参数的取值范围. 【详解】解绝对值不等式：对去绝对值，可得，整理得. 由题意，是成立的充分非必要条件，说明是集合的真子集， 因此区间端点满足：，解得 所以的取值范围是. 10. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论二次项系数符合题意，，结合二次函数判别式求解 【详解】∵关于x的不等式的解集为， ∴时，，不等式无解，满足题意； 时，，不等式的解集不为空集，不满足题意； 时，，当时， 即， 解得：，满足题意； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查二次不等式的解集，考查二次不等式图像及性质，考查分类讨论思想，是基础题 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理和基本不等式求解. 【详解】因为有两个不相等的实数根， 所以，即：，所以， 根据韦达定理得：，， 所以 ， 由基本不等式得：， 当且仅当，即：时等号成立，此时最大值为. 12. 若使集合中的元素个数最少，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分情况讨论，根据一元二次不等式解的特征可得当时，中的整数个数最少，结合基本不等式即可求解. 【详解】时，不等式解得，有无数个整数解； 时，则不等式变形为， 当时，，仅当时等号成立， 此时不等式解得或，有无数个整数解； 当时，，仅当时等号成立， 此时不等式解得， 由，，要使集合A中的元素最少，则， 即，解得， 故实数的取值范围是. 二、选择题（满分12分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值可对A、B判断求解；令可对C判断求解；由，可得，可对D求解判断. 【详解】A：令，，此时，故A错误； B：令，，，，此时，故B错误； C：由，当时，，故C错误； D：由，则，所以可得，故D正确. 故选：D. 14. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 15. 中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ） A. 5000 B. 6000 C. 7000 D. 8000 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 16. 对于，设非空集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，使得 C. 不存在实数，使得 D. 恰存在1个实数，使得 【答案】D 【解析】 【分析】本题解题核心是分式为 0 需满足分子为 0 且分母不为 0，要剔除增根.结合根与系数的关系得到二次方程两根的和与积，根据增根是否出现分情况确定集合元素，再对各选项逐一验证，容易忽略增根带来的集合元素变化，造成和、积计算错误. 【详解】分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0，分子的根为以及二次方程的两根，由根与系数的关系得，分母限制，需要剔除等于的根. 对于选项 A，取为增根舍去，集合，元素之和，故 A 正确； 对于选项 B，当无增根时，令得，验证无增根，存在这样的，B 正确； 对于选项 C，若，则，代入分子得，但时分母，为增根，0 不能属于集合，故不存在使，C 正确； 对于选项 D，当无增根时令得；当时舍去，集合，，得到两个满足条件的； 当是二次方程的根且不等于52时，令，解得，验证符合条件，因此存在3个满足条件的，D 错误. 【点睛】分式方程求根务必注意分母不为 0 带来的增根剔除，集合元素具有互异性，分类讨论不能遗漏增根情形. 三、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. 已知全集，集合，． （1）当时，求、； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或，； （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式得到集合A，代入解二次不等式得集合B，求补集后与A取交集； （2）将转化为，结合二次不等式的解集区间，根据子集的端点关系列不等式组求解． 【小问1详解】 解不等式，等价于，解得，故， 时，集合的不等式为，解得，故， ，故或， ． 【小问2详解】 由得， 对应方程的两根，则， 故， 要使，则，解得， 故实数a的取值范围为． 18. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 19. 已知，．请选择适当的方法证明． （1）若，证明：； （2）若，证明：与不能同时成立． 【答案】（1）证明：因为 ， 因为，且，，所以， 所以，得证． （2）证明：假设与同时成立， 由可得，由可得， 由不等式的性质可得，这与矛盾，假设不成立. 所以，与不能同时成立. 【解析】 【分析】（1）利用作差法可证得结论成立； （2）假设与同时成立，由解出的取值范围，同理解出的取值范围，再结合不等式的基本性质推出矛盾，由此可证得结论成立. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略. 20. 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在最小值，最小值为9，此时 【解析】 【分析】（1）公式法解绝对值不等式即可求解； （2）利用三角不等式即可求解； （3）利用绝对值不等式的几何意义即可求解 【小问1详解】 因为，则不等式可化为，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为对一切实数恒成立，又， 故，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为 ， 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和，要想距离之和最小， 其中当时，取得最小值， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值， 综上，当时，取得最小值， 最小值为， 故存在最小值，最小值为9. 21. 已知集合（，，）具有性质：对任意，，与至少有一个属于集合； （1）判断集合与是否具有性质，并说明理由； （2）已知具有性质，当时，求集合； （3）已知具有性质，求的值； 【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由如下： 集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义判断即可； （2）由定义知,，可得，再由，，可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到一般结论，进而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而， 所以，故. 【小问3详解】 解：先证明一般结论： 具有性质，则. 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以具有性质，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2026学年第一学期高一数学期中考试 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（满分36分） 1. 已知集合，则__________. 2. 化简________． 3. 已知，，且，则的最小值为________． 4. 若幂函数在上是增函数，则实数________． 5. 已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为__________. 6. 设全集为，，，则________． 7. 已知，则方程的解集为__________． 8. 设，试用a，b表示_________． 9. 已知是不等式成立的充分非必要条件，则的取值范围是________． 10. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是________. 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为______． 12. 若使集合中的元素个数最少，则实数k的取值范围是__________． 二、选择题（满分12分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ） A. 5000 B. 6000 C. 7000 D. 8000 16. 对于，设非空集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，使得 C. 不存在实数，使得 D. 恰存在1个实数，使得 三、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. 已知全集，集合，． （1）当时，求、； （2）若，求实数a的取值范围． 18. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 19. 已知，．请选择适当的方法证明． （1）若，证明：； （2）若，证明：与不能同时成立． 20. 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数． （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由． 21. 已知集合（，，）具有性质：对任意，，与至少有一个属于集合； （1）判断集合与是否具有性质，并说明理由； （2）已知具有性质，当时，求集合； （3）已知具有性质，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $