3.2.2 双曲线的简单几何性质导学案（第1课时）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）（学生版） 导学案 班级： 姓名： 得分： 人教A版(2019)选择性必修第一册·第三章圆锥曲线的方程 班级： 姓名： 学号：一 评价： 一、学习目标 读得出：由之，直接读出范围X之Q、顶点坐标、实釉长与虚扭 ·画得准：能先画渐近线、再描项点和顶点外的点，画出双曲线的草图而不画成抛物线。 ·算得对：能由方程求渐近线与离心率，也能由e或渐近线反求a、b,并写出标准方程。 重点：把定义翻译成方程，并能由方程读出关键参数。 难点：化简过程中的同解变形，以及参数关系的辨析。 学习提示：四个性质加一条渐近线，今天一次讲透。 本节在章节中的位置：椭圆的几何性质从“范围、对称、顶点、离心率”四个词展开；双曲线要在这四个词上再 加一个一渐近线。它决定了双曲线的开口往哪里走。 二、课前预习 1.回顾上一课时的方法链条：定轴一算参数→描特征→求e。 2.阅读教材本节内容，完成下面的填空（不会的先留空，课上补）。 (1)双曲线 合=1的范围是 ,顶点是。 (2)实轴长为，虚轴长为。 (3)渐近线方程是 (4)离心率e=一，取值范围是 (⑤)在下面的空白处画出本节的曲线草图，并标出焦点、顶点（或准线）。 第1页 3.我的疑问（写出两个上课想弄明白的问题）： ① ② 三、新课探究 医究一起答6变形为y。X9,当x越来越大时，y与了×有什么关系 先不动笔，想一想：两者之差会越来越小，最后等于0。 再想：两者之差会一直保持不变。 还想：既然曲线与直线不相交，距离就不可能趋于0。 探究二三位同学的思路： 算差值：由y2=16(X2-9)得.再与 9 ×迟项版 ·放缩判断：因为√X-9<x,所以飞，曲线始终落在渐近线的内侧。 x2-9 ·看趋势：当X无限增大时， 无限接近1，差值趋于0，但永远取不到0。 我的选择：我准备先 理由是 探究三归纳求轨迹方程的通法： (I)第一步：把方程解成y的表达式，把双曲线看成两条函数的图象。 (2)第二步：与渐近线比较，用放缩判断曲线在直线的哪一侧。 第2页 (3)第三步：看x无限增大时的趋势，说明“无限接近但不相交”。 用自己的话说一遍： 定义与方程（课上填写） 定义：双曲线的两支向外无限延伸时，都无限接近两条确定的直线，这两条直线叫做双曲线的渐近 线：渐近线与双曲线永不相交。 标准方程： x_y ≥=1>y=±名岁七 a1y= Q b b 注意：焦点在X轴时斜率取。焦点在y轴时斜率取：正项决定焦点轴，也决定斜率怎么取。 a 四、例题精讲 例1求双曲线 y-父=1的顶点坐标、实轴长、渐近线方程和离心率。 45 审题提示：正项在哪一项，焦点在哪条轴？；Q、b、C各是多少？：焦点在y轴，渐近线的斜率是 号还呢 b a 1 例2已知双曲线的渐近线为y=±x,且经过点（4,3)，求它的标准方程。 6 审题提示：渐近线斜率与一是什么关系？；设方程前要先确定焦点在哪条轴吗？；把点代入后，未 a 知量剩下几个？ 第3页 五、当堂检测（限时8分钟） 1.双曲线 义-上=1的渐近线方程是(） 169 2.双曲线 上-又-1的离心率是（） 916 3.若双曲线 =1的渐近线为y=±2x,则离心率e为() 六、归纳小结 本节知识链：方程： 京京1一范围：x2a,对称于两轴与原点·顶点与轴：实轴20， 虚轴2b→ 渐近线与e:y=± x,e>1 a 一句话概括：双曲线的“长相”由Q、b、C决定：实轴给顶点，虚轴给渐近线，C与Q的比给离心 率。渐近线是它区别于椭圆的签名。 请把本节知识结构画在下面的方框内（定义一方程一参数一图形）。 我还想追问： 第4页 七、分层作业 A组基础（必做） 1.求双曲线 x_y 916 =1的渐近线方程。 2.求双曲线 X-=1的实轴长与虚轴长。 169 3.求双曲线 =1的离心率。 412 B组·提升（选做） 双典线的渐近线为y=士X,Q=4,求6与 2.求双曲线 y-父=1的顶点与渐近线。 45 3.等轴双曲线的离心率是多少？ C组拓展（挑战） 第5页 1.双曲线e=2,Q=2,焦点在X轴上，求其方程与渐近线。 x 2.双曲线 a- b2 =1的两条渐近线互相垂直，求e。 3.双曲线 父兰=1上任一点到两条渐近线距离之积是多少？ 9-16 第6页 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第 1 课时）（教师版） 导 学 案 人教A版（2019）选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿　评价：＿＿＿＿ 一、学习目标 ▸ 读得出：由 直接读出范围 、顶点坐标、实轴长与虚轴长。 ▸ 画得准：能先画渐近线、再描顶点和顶点外的点，画出双曲线的草图而不画成抛物线。 ▸ 算得对：能由方程求渐近线与离心率，也能由 或渐近线反求 、，并写出标准方程。 重点：把定义翻译成方程，并能由方程读出关键参数。 难点：化简过程中的同解变形，以及参数关系的辨析。 学习提示：四个性质加一条渐近线，今天一次讲透。 本节在章节中的位置：椭圆的几何性质从“范围、对称、顶点、离心率”四个词展开；双曲线要在这四个词上再加一个——渐近线。它决定了双曲线的开口往哪里走。 二、课前预习 1. 回顾上一课时的方法链条：定轴 → 算参数 → 描特征 → 求 。 2. 阅读教材本节内容，完成下面的填空（不会的先留空，课上补）。 (1) 双曲线 的范围是＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿。 (2) 实轴长为＿＿，虚轴长为＿＿。 (3) 渐近线方程是＿＿＿＿＿＿。 (4) 离心率 ＿＿，取值范围是＿＿＿。 (5) 在下面的空白处画出本节的曲线草图，并标出焦点、顶点（或准线）。 3. 我的疑问（写出两个上课想弄明白的问题）： ① ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ② ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、新课探究 探究一　把 变形为 ，当 越来越大时， 与 有什么关系？ 先不动笔，想一想：两者之差会越来越小，最后等于 。 再想：两者之差会一直保持不变。 还想：既然曲线与直线不相交，距离就不可能趋于 。 探究二　三位同学的思路： 　· 算差值：由 得 ，再与 逐项比较。 　· 放缩判断：因为 ，所以 ，曲线始终落在渐近线的内侧。 　· 看趋势：当 无限增大时， 无限接近 ，差值趋于 ，但永远取不到 。 我的选择：我准备先＿＿＿＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 探究三　归纳求轨迹方程的通法： 　(1) 第一步：把方程解成 的表达式，把双曲线看成两条函数的图象。 　(2) 第二步：与渐近线比较，用放缩判断曲线在直线的哪一侧。 　(3) 第三步：看 无限增大时的趋势，说明“无限接近但不相交”。 结论：结论： 越大， 与 的差越小，双曲线无限接近渐近线，却永不与之相交。 用自己的话说一遍：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 定义与方程（课上填写） 定义：双曲线的两支向外无限延伸时，都无限接近两条确定的直线，这两条直线叫做双曲线的渐近线；渐近线与双曲线永不相交。 标准方程：； 注意：焦点在 轴时斜率取 ，焦点在 轴时斜率取 ；正项决定焦点轴，也决定斜率怎么取。 四、例题精讲 例 1　求双曲线 的顶点坐标、实轴长、渐近线方程和离心率。 审题提示：正项在哪一项，焦点在哪条轴？；、、 各是多少？；焦点在 轴，渐近线的斜率是 还是 ？ 分析： 解答： 答案：顶点 ，实轴长 ，渐近线 ， 解题反思：这道题的破题点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 例 2　已知双曲线的渐近线为 ，且经过点 ，求它的标准方程。 审题提示：渐近线斜率与 是什么关系？；设方程前要先确定焦点在哪条轴吗？；把点代入后，未知量剩下几个？ 分析： 解答： 答案： 解题反思：这道题的破题点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 变式训练（先口答思路，再写过程） 1. 求双曲线 的顶点、实轴长、渐近线与离心率。 【答案】，，；顶点 ，实轴长 ，渐近线 ，。 2. 已知双曲线焦点在 轴上，，渐近线为 ，求它的标准方程。 【答案】由 得 ，方程为 。 五、当堂检测（限时 8 分钟） 1. 双曲线 的渐近线方程是（　　） 2. 双曲线 的离心率是（　　） 3. 若双曲线 的渐近线为 ，则离心率 为（　　） 六、归纳小结 本节知识链：方程： → 范围：，对称于两轴与原点 → 顶点与轴：实轴 、虚轴 → 渐近线与 ：， 一句话概括：双曲线的“长相”由 、、 决定：实轴给顶点，虚轴给渐近线， 与 的比给离心率。渐近线是它区别于椭圆的签名。 请把本节知识结构画在下面的方框内（定义—方程—参数—图形）。 我还想追问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 七、分层作业 A 组·基础（必做） 1. 求双曲线 的渐近线方程。 2. 求双曲线 的实轴长与虚轴长。 3. 求双曲线 的离心率。 B 组·提升（选做） 1. 双曲线的渐近线为 ，，求 与 。 2. 求双曲线 的顶点与渐近线。 3. 等轴双曲线的离心率是多少？ C 组·拓展（挑战） 1. 双曲线 ，，焦点在 轴上，求其方程与渐近线。 2. 双曲线 的两条渐近线互相垂直，求 。 3. 双曲线 上任一点到两条渐近线距离之积是多少？ 参考答案 A 组： 　1. 。 　2. 实轴 ，虚轴 。 　3. ，。 B 组： 　1. ，，。 　2. 顶点 ，渐近线 。 　3. 。 C 组： 　1. ，，方程为 ，渐近线 。 　2. ，，。 　3. 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $