3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 [教材知识——一遍过] 1.A　2.B　3.BD 4.A　由双曲线－＝1的离心率为，得＝，解得＝， 而双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x， 所以该双曲线的渐近线方程为x±y＝0.故选A. 5.B　由已知可得双曲线的一条渐近线方程为y＝x，又渐近线过点（3，4）， 所以一条渐近线的方程为y＝x， 得＝，设b＝3t，a＝4t（t＞0）， 则c＝＝5t， 所以该双曲线的离心率e＝＝. 6.（1）3　（2）　解析：（1）若焦点在x轴上，则a2＝k－2＞0，b2＝11－k＞0，得2＜k＜11， 则e2＝＝1＋＝1＋＝9，得k＝3，满足题意； 若焦点在y轴上，则a2＝k－11＞0，b2＝2－k＞0，无解. 综上，k＝3. （2）由双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）可知渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且F（c，0）.由题意可知点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为a， 则＝a，且c2＝a2＋b2，可得b＝a， 所以双曲线C的离心率为e＝＝＝＝. 7.A　由椭圆方程＋＝1可知椭圆的焦点为（0，±），上、下顶点为（0，±4）， 所以双曲线的顶点为（0，±），则a＝，焦点为（0，±4），c＝4，b2＝c2－a2＝9， 所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A. 8.－＝1　解析：设所求的双曲线方程为－＝λ（λ≠0）. 因为双曲线过点（2，2），所以－＝λ，解得λ＝－， 所以－＝－，化为标准方程得－＝1，即－＝1. 9.解：（1）设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）， 由题设可得a2＋b2＝4，故b2＝3，a＝1，故双曲线的标准方程为x2－＝1. （2）设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）， 由题设可得半焦距c＝3，＝3，故a＝1，所以b2＝8， 所以双曲线的标准方程为y2－＝1. （3）根据渐近线方程设双曲线的标准方程为－＝λ（λ≠0）， 代入（1，－1），则有－＝λ，故λ＝－， 所以－＝－，即双曲线的标准方程为－＝1. [综合素养——全提升] 1.C　由0＜k＜9，得9－k＞0，16－k＞0，所以两双曲线的焦点均在x轴上. 因为16＋（9－k）＝（16－k）＋9＝25－k＝c2，所以两双曲线的焦距相等，故C正确； 而实轴长前者为8，后者为2，虚轴长前者为2，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，故A、B、D错误. 2.AD　对于A，令（4－m）（m＋5）＞0，解得－5＜m＜4，则A正确； 对于B，由于4－m＞0，m＋5＞0，故该双曲线的焦点在x轴上， 而c2＝（4－m）＋（m＋5）＝9，得c＝3，所以焦点坐标为（±3，0），则B错误； 对于C，当m＝1时，双曲线C的标准方程为－＝1，易知渐近线方程为y＝±x. 若双曲线C的两条渐近线的夹角为，则渐近线的斜率为±或±，则C错误； 对于D，当双曲线C为等轴双曲线时，4－m＝m＋5，解得m＝－，则D正确.故选A、D. 3.D　如图， 令｜AB｜＝x，由＝，得｜AF1｜＝｜AF2｜＝2x. 又∵AB⊥BF2，则｜BF2｜＝x，｜BF1｜＝3x，｜BF1｜－｜BF2｜＝（3－）x＝2a， 即a＝x，又由｜F1F2｜＝2c＝＝2x，得c＝x， ∴e＝＝＝＋1. 故选D. 4.D　不妨设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n（m＞n），椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，如图所示， 根据椭圆定义可知m＋n＝2a1，由离心率定义可得e1＝＝， 解得m＋n＝2a1＝12. 又∠F1PF2＝，可得cos∠F1PF2＝＝＝， 解得mn＝32. 由m－n＝＝4＝2a2，可得a2＝2. 又c2＝2，可得b2＝＝2， 因此可得双曲线C2的方程为－＝1.故选D. 5.＋1　解析：如图，设双曲线M的左焦点为F1，连接BF，BF1， 因为四边形OFAB是菱形，所以｜OB｜＝｜FF1｜，所以BF1⊥BF， 并且根据对称性可知△OBF1是等边三角形，所以∠BF1O＝60°，｜BF｜＝c. 根据双曲线定义可知｜BF｜－｜BF1｜＝2a，即c－c＝2a， 解得＝＝＋1，所以双曲线M的离心率为＋1. 6.　解析：由已知，a＝1，渐近线AB的方程为y＝bx. 由又1＋b2＝c2，故解得或 因此有A（－1，－b），设AF的中点为D， 点D在渐近线y＝－bx上，则－＝－，解得c＝2，所以b＝＝＝. 7.解：（1）因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点（－，2），且离心率为. 所以解得 所以双曲线C的方程为x2－＝1. （2）不存在，理由如下： 由（1）知，双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 设P（x0，y0），则4－＝4，｜x0｜≥1， 所以点P（x0，y0）到渐近线y＝2x的距离为d1＝； 点P（x0，y0）到渐近线y＝－2x的距离为d2＝， 所以d1＋d2＝＋， 所以（d1＋d2）＝｜2x0－y0｜＋｜2x0＋y0｜， 两边平方得5＝＋＋2｜2x0－y0｜｜2x0＋y0｜ ＝8＋2＋2｜4－｜＝8＋2（4－4）＋8＝16≥16， 当且仅当x0＝±1时等号成立， 所以d1＋d2＝＋≥＝， 由于d1＋d2≥＞，所以d1＋d2＝无解， 所以不存在点P到C的两条渐近线的距离之和等于. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　 双曲线的简单几何性质 　 由双曲线的方程研究性质 1.（2026·广东佛山七校联考）双曲线－＝1的虚轴长为（　　） A.4 B.2 C.8 D.4 2.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的上焦点为F（0，2），渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线的实半轴长为（　　） A.　　　B. C.1　　　D. 3.（多选）已知双曲线C：－＝1，则下列说法正确的是（　　） A.双曲线C的实轴长为2 B.若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝6 C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为m D.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2 双曲线的渐近线与离心率 4.（2026·山东临沂期末） 已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±2y＝0 D.2x±y＝0 5.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，4），则该双曲线的离心率为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 6.（1）若双曲线－＝1的离心率为3，则k＝　　　　； （2）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为　　　　. 由双曲线的性质求方程 7.以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 8.与双曲线－＝1有公共渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为　　　　　　. 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点F1（－2，0），F2（2，0），一个顶点为（1，0）； （2）一个焦点为（0，3），离心率为3； （3）一条渐近线的方程为2x－3y＝0，且双曲线过点（1，－1）. 　 1.（2026·重庆质检）若实数k满足0＜k＜9，则双曲线－＝1与－＝1的（　　） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 2.（多选）已知双曲线C：－＝1，则（　　） A.m的取值范围为（－5，4） B.双曲线C的焦点坐标为（0，±3） C.当m＝1时，双曲线C的两条渐近线的夹角为 D.当双曲线C为等轴双曲线时，m＝－ 3.（2026·浙江宁波五校联考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A在y轴上，点B在双曲线C上，⊥，＝，则双曲线C的离心率为（　　） A. B.＋ C.2 D.＋1 4.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1（－2，0），F2（2，0），离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e1＝，则双曲线C2的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5.已知双曲线M：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A，B为双曲线上的两点，O为坐标原点，且四边形OFAB为菱形，则双曲线M的离心率为　　　　. 6.已知双曲线x2－＝1（b＞0）的右焦点为F（c，0），圆x2＋y2＝c2与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点落在另一条渐近线上，则b的值为　　　　. 7.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点（－，2），且离心率为. （1）求双曲线C的方程； （2）在双曲线C上是否存在点P，使得点P到C的两条渐近线的距离之和等于？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $