3.2.2双曲线的简单几何性质 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 导学案 课　题 双曲线的简单几何性质 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴与虚轴、渐近线、离心率等几何性质。 2．理解渐近线的几何意义，会根据双曲线的方程求渐近线，也会由渐近线求双曲线的方程。 3．理解双曲线离心率对开口大小的影响，体会代数方法研究几何性质的思想。 二、学习重难点 重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率。 难点：渐近线的几何意义及其应用；实轴、虚轴的理解；离心率对双曲线开口的影响。 三、知识链接 1．双曲线的定义：到两定点距离的差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹。 2．双曲线的标准方程：焦点在 轴上为 ；焦点在 轴上为 ，且 。 四、探究新知 本节以焦点在 轴上的双曲线为例进行研究： 探究一：双曲线的范围 由方程得 ，所以 或 ；而 可以取任意实数。 即双曲线在直线 的左侧和直线 的右侧，夹在两条平行线之外，向左、右两个方向无限延伸。 探究二：对称性 在方程中把 换成 或把 换成 ，方程都不变，所以双曲线关于 轴、 轴和原点都对称。坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心（双曲线的中心）。 探究三：顶点、实轴与虚轴 令 ，得 ，双曲线与 轴的交点为 、，叫做双曲线的顶点。线段 叫做双曲线的实轴，长为 ， 为实半轴长。 令 ，得 ，无实数解。我们习惯上把点 、 的连线叫做双曲线的虚轴，长为 ， 为虚半轴长——注意 、 不在双曲线上。 图1　双曲线及其渐近线 探究四：渐近线 把双曲线方程写成 。当 越来越大时， 越来越接近 ，于是双曲线越来越接近直线 ，但永远不相交。 直线 叫做双曲线的渐近线。在图中，渐近线就是虚线矩形（由直线 、 围成）的两条对角线所在的直线。 双曲线向外延伸时与它的渐近线无限接近，永不相交；且与双曲线 有共同的渐近线（ 时焦点在 轴， 时焦点在 轴）。 探究五：离心率 双曲线的离心率 越大， 越大，渐近线的倾斜程度越大，双曲线的开口越大； 越接近 ，开口越窄。 图2　离心率对双曲线开口的影响 探究六：焦点在 轴上的双曲线 焦点在 轴上的双曲线方程为 ，性质对比： 性质 焦点在 轴 焦点在 轴 标准方程 ​ ​ 范围 ， ， 顶点 ​ ​ 焦点 ​ ​ 实轴 在 轴上，长 在 轴上，长 渐近线 ​ ​ 离心率 ​ ​ 图3　焦点在 轴上的双曲线 五、典例精析 例 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。 解　由方程知 ，，故 ，。由 ，得 。 实轴长 ，虚轴长 ；顶点为 ；焦点为 ；渐近线方程为 ；离心率 。 例 2 已知双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，求双曲线的标准方程。 解　若焦点在 轴上，设方程为 。由渐近线方程知 ，即 。又 ，，由 得 故 ，，所求方程为 。 若焦点在 轴上，同理可得方程为 。 综上，所求双曲线的标准方程为 或 。 例 3（共渐近线的双曲线） 求与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程。 解　设所求双曲线方程为 。把点 代入，得 故所求双曲线的标准方程为 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．双曲线 的渐近线方程为__________，离心率为__________。 2．双曲线 的顶点坐标为__________，焦点坐标为__________，渐近线方程为__________。 3．求渐近线方程为 ，焦点在 轴上，焦距为 的双曲线的标准方程。 4．判断：在双曲线 中， 是实半轴长， 是虚半轴长，且 。（　　） 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且焦点在 轴上，求双曲线的离心率。 七、课堂小结 1．范围： 上的点满足 ，，向左右两侧无限延伸。 2．对称性：关于 轴、 轴、原点对称，原点是双曲线的中心。 3．顶点与轴：顶点 ，实轴长 ，虚轴长 （虚轴端点不在曲线上），。 4．渐近线：，双曲线与渐近线无限接近、永不相交； 共渐近线。 5．离心率 ： 越大，开口越大； 越接近 ，开口越窄。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 导学案 课　题 双曲线的简单几何性质 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴与虚轴、渐近线、离心率等几何性质。 2．理解渐近线的几何意义，会根据双曲线的方程求渐近线，也会由渐近线求双曲线的方程。 3．理解双曲线离心率对开口大小的影响，体会代数方法研究几何性质的思想。 二、学习重难点 重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率。 难点：渐近线的几何意义及其应用；实轴、虚轴的理解；离心率对双曲线开口的影响。 三、知识链接 1．双曲线的定义：到两定点距离的差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹。 2．双曲线的标准方程：焦点在 轴上为 ；焦点在 轴上为 ，且 。 四、探究新知 本节以焦点在 轴上的双曲线为例进行研究： 探究一：双曲线的范围 由方程得 ，所以 或 ；而 可以取任意实数。 即双曲线在直线 的左侧和直线 的右侧，夹在两条平行线之外，向左、右两个方向无限延伸。 探究二：对称性 在方程中把 换成 或把 换成 ，方程都不变，所以双曲线关于 轴、 轴和原点都对称。坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心（双曲线的中心）。 探究三：顶点、实轴与虚轴 令 ，得 ，双曲线与 轴的交点为 、，叫做双曲线的顶点。线段 叫做双曲线的实轴，长为 ， 为实半轴长。 令 ，得 ，无实数解。我们习惯上把点 、 的连线叫做双曲线的虚轴，长为 ， 为虚半轴长——注意 、 不在双曲线上。 图1　双曲线及其渐近线 探究四：渐近线 把双曲线方程写成 。当 越来越大时， 越来越接近 ，于是双曲线越来越接近直线 ，但永远不相交。 直线 叫做双曲线的渐近线。在图中，渐近线就是虚线矩形（由直线 、 围成）的两条对角线所在的直线。 双曲线向外延伸时与它的渐近线无限接近，永不相交；且与双曲线 有共同的渐近线（ 时焦点在 轴， 时焦点在 轴）。 探究五：离心率 双曲线的离心率 越大， 越大，渐近线的倾斜程度越大，双曲线的开口越大； 越接近 ，开口越窄。 图2　离心率对双曲线开口的影响 探究六：焦点在 轴上的双曲线 焦点在 轴上的双曲线方程为 ，性质对比如下： 性质 焦点在 轴 焦点在 轴 标准方程 ​ ​ 范围 ， ， 顶点 ​ ​ 焦点 ​ ​ 实轴 在 轴上，长 在 轴上，长 渐近线 ​ ​ 离心率 ​ ​ 图3　焦点在 轴上的双曲线 五、典例精析 例 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。 解　由方程知 ，，故 ，。由 ，得 。 实轴长 ，虚轴长 ；顶点为 ；焦点为 ；渐近线方程为 ；离心率 。 例 2 已知双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，求双曲线的标准方程。 解　若焦点在 轴上，设方程为 。由渐近线方程知 ，即 。又 ，，由 得 故 ，，所求方程为 。 若焦点在 轴上，同理可得方程为 。 综上，所求双曲线的标准方程为 或 。 例 3（共渐近线的双曲线） 求与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程。 解　设所求双曲线方程为 。把点 代入，得 故所求双曲线的标准方程为 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．双曲线 的渐近线方程为__________，离心率为__________。 2．双曲线 的顶点坐标为__________，焦点坐标为__________，渐近线方程为__________。 3．求渐近线方程为 ，焦点在 轴上，焦距为 的双曲线的标准方程。 4．判断：在双曲线 中， 是实半轴长， 是虚半轴长，且 。（　　） 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且焦点在 轴上，求双曲线的离心率。 七、课堂小结 1．范围： 上的点满足 ，，向左右两侧无限延伸。 2．对称性：关于 轴、 轴、原点对称，原点是双曲线的中心。 3．顶点与轴：顶点 ，实轴长 ，虚轴长 （虚轴端点不在曲线上），。 4．渐近线：，双曲线与渐近线无限接近、永不相交； 共渐近线。 5．离心率 ： 越大，开口越大； 越接近 ，开口越窄。 参考答案与解析 1．【答案】　； 【解析】　由 、，得渐近线为 ；由 得 ，离心率 。 2．【答案】　顶点 ；焦点 ；渐近线 【解析】　方程 中 、，焦点在 轴上，。顶点为 ，焦点为 ，渐近线为 。 3．【解】　因焦点在 轴上，设双曲线方程为 。由渐近线 ，得 。又 ，，由 得 ，即 ，。 所求双曲线的标准方程为 。 4．【答案】　正确（√） 【解析】　在双曲线中， 为实半轴长， 为虚半轴长， 为半焦距，且满足 （与椭圆中 不同），说法正确。 5．【解】　设双曲线方程为 ，由渐近线 知 。设 、，则 故离心率 。 学科网（北京）股份有限公司 $