5.3二次函数的应用第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

经历对用待定系数法求二次函数表达式的探究， 掌握待定系数法求表达式的方法. 能灵活地根据条件恰当选取表达式，体会二次函 数表达式之间的转化. 经历探究过程，培养学生数学运算的核心素 养，并养成良好的运算习惯. 在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提 高对数学学习的兴趣. 难点 能力提升 素养培养 学习目标 02 01 03 ?问题Z 一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数? 通常需要已知几个点 的坐标求出它的表达式? 两个待定系数k和b.通常需要知道两个点的坐标. 问题1 求一次函数表达式的方法是什么? 待定系数法. 情境导入 二次函数的表达式 该如何确定呢? 问 题 3 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是什么? 一设→二代→三解→ 四还原. 情境导入 其中(4,3)是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 山 分析 顶点式为： y=a(x-h)²+k y=a(x- 4)²+3 思考一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位：m) 是向前 运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们的关系如图所示， 需要再知道一个点的坐标 把点(10,O 代入计算即可. 活动：确定二次函数的表达式 探究新知 (10,O) 其中(4,3)是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 由题意可知，图象顶点坐标为(4,3), 设二次函数的表达式为y=a(x-4)²+3(a≠0). 又∵图象过点(10,0), ∴a(10-4)²+3=0 , 解得 7 ∴二次函数的表达式 探究新知 活动：确定二次函数的表达式 思 考一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位： m)是向前 运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们的关系如图所示， 探究新知 活动：确定二次函数的表达式 顶点式法： 已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫作顶点式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=a( x-h)²+k(a≠0); ②代入顶点坐标，得到关于a 的方程； ③将另一点的坐标代入②中的式子求出a值； ④确定函数表达式. 根据顶点所在的位置不同，可以设不同形式的表达式，达 到简化计算的目的，如： 顶点在坐标原点处，可设二次函数的表达式为y=ax² . 顶点在y轴上，可设二次函数的表达式为y=ax²+k. 顶点在x轴上，可设二次函数的表达式为y=a(x-h)² . 顶点不在坐标轴上，可设二次函数的表达式为y=a(x-h)²+k. 活动：确定二次函数的表达式 探究新知 技巧点拨 和(-2,13),求这个二次函数的表达式. 图象与y轴交点的纵坐标为1 二次函数y=ax²+bx+c 中c的值为1 还有a 、b两个未知数未知 再把点(2,5)和(-2,13)代入计算即可 想一想(1)二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5) 活动：确定二次函数的表达式 探究新知 和(-2,13),求这个二次函数的表达式. 解：∵二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,∴c=1. ∴设二次函数的表达式为y=ax²+bx+1. 将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax²+bx+1中，得 解得 ∴这个二次函数的表达式为y=2x²—2x+1. 探究新知 活动：确定二次函数的表达式 想一 想(1)二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5) 想 一想(2)确定二次函数的表达式需要几个条件?与同伴进行交流. 二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c, 有a,b,c 三个待定系数，需 转化为三元一次方程组，所以需要图象上的三个点. 通常，二次函数的表达式中，有几个未知数就需要几个点的坐标. 什么情况下只需要 两个点呢? 活动：确定二次函数的表达式 探究新知 ①二次函数y=ax²+bx+c可化成y=a(x-h)²+k, 顶点是(h,k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以 确定这个二次函数的表达式. ②已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐 思考 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定 它的表达式? 活动：确定二次函数的表达式 探究新知 已知三点坐标求二次函数表达式的方法叫作一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax²+bx+c(a≠0); ②代入图象上三个点的坐标得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a, b,c 的值； ④确定函数表达式. 活动：确定二次函数的表达式 一般式法： 探究新知 总结 探究新知 活动：确定二次函数的表达式 总 结 如何求二次函数的表达式： 根据题目条件用待定系数法选择合适的形式求解. 具体步骤： ①根据已知条件设出合适的抛物线表达式； ②把相关点的坐标代入抛物线表达式中； ③列方程(组); ④解方程(组),求出待定系数； ⑤写出二次函数的表达式. 心B的水平距离为4m, 篮圈中心B到 地 面 的距离为3.05m. 建立如图所示的平面直角 坐标系后，这位球员所投球的运动路线 是抛物线y=ax²+c(-3≤x≤1). 求这条抛物线 的表达式和球运动的最大高度 . 到 篮 圈 中 y/m B x/m 例 题 1如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经 过篮圈中心B.已知球出手的位置A到地面的距离为2.25m, 教 材 例 题 -3.05 3 - 0 例 题 1求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度. 由题意可知，这条抛物线经过点 A(—3,2.25),B(1,3.05). 将这两个点的坐标分别代入表达 式y=ax ²+c , 得 解 这 个 方 程 组 ， 得 y/m B 0 x/m 应用新知 教材例题 ·3.05 -2.25- 3 - y=- 0. 1x²+3.15. 当x=0时 ，y 取得最大值， Y 最 大 = 3 .15. 因此，球运动的最大高度是3.15m. 例 题 1求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度. 解所以，这条抛物线的表达式为 y/m B 3 - 应用新知 教材例题 ·3.05 -2.25- x/m 0 解设二次函数表达式为：y=ax²+bx+c,∵ 与y轴交点的纵坐标为2,即 c=2. 二次函数表达式为y=ax²+bx+2. 还有别的设法吗? ∵图象的对称轴为x=-2,∴ , 即b=4a,① ∵二次函数的图象经过点(-3,-1),∴9 a-3b+2=-1,② 由①②,得a=1,b=4.. 二次函数表达式为y=x²+4x+2. 皆例题2已知一个二次函数的对称轴为x=-2, 与y轴交点的纵坐标为 2,且经过点(-3,-1),试确定这个二次函数的表达式. 山 分析 由已知，函数图象的对称轴为x=-2, 可设所求二次 函数为y=a(x+2)²+k.与y轴交点的纵坐标为2,且经过点(-3, - 1), 得关于a,k 的方程组， 可得 二次函数表达式为y=(x+2)²-2=x²+4x+2. 旨 例 题 2已知一个二次函数的对称轴为x=-2, 与 y 轴交点的纵坐标为 2,且经过点(-3,-1),试确定这个二次函数的表达式. 应用新知 2, 且经过点(-3,-1), 试确定这个二次函数的表达式. 解 ∵二次函数的图象的对称轴为x=-2, ∴设二次函数表达式为y=a(x+2)²+k. 皆 例题Z 已知一个二次函数的对称轴为x=-2, 与y轴交点的纵坐标为 由题意可得 解得 ∴二次函数表达式为y=x²+4x+2. 应用新知 已知二次函数的表达式为：y=a(x-1)²+4, 顶点式 (2)题目中有几个待定系数?需要代入几个点的坐标? 将点(-1,O)代入表达式， 解方程 代回 4a+4=0 求出a的值 y=a(x-1)²+4 例 题3 已知二次函数y=a(x-1)²+4 的图象经过点(-1,0), 求这个 二次函数的表达式 . 山 分析(1)本题已知函数的表达式为什么形式? 应用新知 二次函数的表达式. 把(-1,0)代入二次函数表达式得： 4a+4=0 , 即a=- 1. 则函数表达式为y=-(x-1)²+4, 即y=- x²+ 2x+3. 已知二次函数y=a(x-1)²+4的图象经过点(-1,0),求这个 应用新知 例题4如果知道二次函数的顶点坐标为A(-1,-6), 且过B(2,3) 点，请求出表达式. 设所求二次函数为y=a(x+1)²-6(a≠0). 由已知，函数图象经过点B(2,3), 代入上式得：3=a(2+1)²—6, 解 得 ：a= 1. 二次函数表达式为y=(x+1)²-6=x²+2x-5. 应用新知 课堂练习 教材习题 1.已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,1),且经过点(1,-3),求这 个二次函数的表达式. 解∵二次函数图象的顶点坐标是(-1,1), ∴设二次函数的表达式为y=a(x+1)²+1. 且经过点(1,-3),可得-3=a(1+1)²+1, 解得a=-1. ∴二次函数的表达式为y=—(x+1)²+1, 即y=—x²-2x. 2. (1)已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(1,1)和(2,3),求这个二次 函数的表达式. (2)请你更换第(1)题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数 y=x²+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与第(1)题相同. 解(1)将点(1,1)和(2,3)代入y=x²+bx+c, 得 解得 因此，二次函数的表达式为y=x²—x+1. 课堂练习 教材习题 解(2)新题目：已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(0,1),且 对称轴为. ,求这个二次函数的表达式. 因为对称轴为. , 且 a=1 , 可 得b=-1. 2. (1)已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(1,1)和(2,3),求这个二次 函数的表达式. (2)请你更换第(1)题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数 y=x²+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与第(1)题相同. 课堂练习 教材习题 2. (1)已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(1,1)和(2,3),求这个二次 函数的表达式. (2)请你更换第(1)题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数 y=x²+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与第(1)题相同. 解(2)又因为图象过点(0,1),代入y=x²+bx+c可得c=1. 因此，二次函数的表达式为y=x²—x+1. 课堂练习 教材习题 解∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9), ∴可设其表达式为y=a(x-8)²+9. 由其图象经过点(0,1),可得1=a(0-8)²+9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式： 3.一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求这个二 次函数的表达式. 课堂练习 4.已知一个二次函数有最大值4,当x>5时 ，y随x的增大而减小；当x<5 时 ，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2,1),求该函数的表 达式. 解由题意得该二次函数图象的顶点坐标为(5,4), 设表达式为y=a(x-5)²+4, 把(2,1)代入，得1=9a+4, 解得 ∴二次函数的表达式： 课堂练习 ▲ 注意 y=ax² 、y=ax²+k 、 y=a(x- h)² 与 y=a(x-h)²+k 一样都是顶点式，只不过前三 者是顶点式的特殊形式. 5.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 课堂练习 解由图可知，二次函数的顶点坐标是(1,2), 并且过点(2,0),因此设二次函数的表达式 为y=a(x-1)²+2, 代入，得0=a(2-1)²+2, 解得a=-2, 故表达式为y=-2(x-1)²+2; 化为一般式为：y=-2x²+4x. 6.二次函数的图象如图，则它的表达式正确的是( D) A.y=2x²-4x B.y=-x(x-2) C.y=—(x-1)²+2 D.y=-2x²+4x 课堂练习 已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫作 顶点式法.其步骤是： ①设函数表达式为y=a(x-h)²+k(a≠0); ②代入顶点坐标，得到关于a的方程； ③将另一点的坐标代入②中的式子求出a值； ④确定函数表达式. 已知三点坐标求二次函数表达式的方法叫作 一般式法.其步骤是： ①设函数表达式为y=ax²+bx+c(a≠0); ②代入图象上三个点的坐标得到一个三元一次 方程组； ③解方程组得到a,b,c 的值； ④确定函数表达式. 二 次 函 数 的 应 用 般式法求二 函数有最值 人生无止境 $