5.3 二次函数的应用-3第1课时 确定二次函数的表达式 课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦九年级二次函数表达式的确定，核心知识点为用待定系数法求二次函数表达式。课堂导入通过回顾一次函数待定系数法的条件、方法及步骤，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，帮助学生实现知识迁移。 其亮点在于以铅球运动、投篮等情境化问题培养数学眼光，通过一般式、顶点式、交点式的多方法对比发展数学思维，结构化小结表格明确表达式类型与使用情况强化数学语言。实例丰富如表格数据多方法求解，助力学生提升灵活应用能力，教师教学更高效。

九年级上│BS 第五章 二次函数 5.3 二次函数的应用 第1课时 确定二次函数表达式 1. 体会确定二次函数表达式所需要的条件. 2. 会用待定系数法求二次函数的表达式. 3. 能够根据实际问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，进行二次函数表达式的计算. 学习目标 回 顾 1.一次函数 y＝kx＋b(k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2个 2个 2.求一次函数表达式的方法是什么？ 待定系数法 四还原 一 设 二 代 三 解 3.它的一般步骤是什么？ 新课引入 问 题1 一名学生推铅球时， 铅球向上运动的高度y(单位：m)是向前运动的高度x(单位：m)的二次函数，其中(4，3)为图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 分析：已知图象的顶点和图象上另一点的坐标可以设顶点式进行求解. 图象顶点(4，3) 图象过点(10，0) 解：设二次函数的表达式为 y＝a(x－h)2＋k(a≠0). 由题意可知，图象顶点坐标为(4，3)， 因此二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋3. 新知学习 问 题1 一名学生推铅球时， 铅球向上运动的高度y(单位：m)是向前运动的高度x(单位：m)的二次函数，其中(4，3)为图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 图象顶点(4，3) 图象过点(10，0) ∴a(10－4)2＋3＝0， 又∵图象过点(10，0)， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为 新知学习 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫作顶点式法. 归纳总结 当已知顶点坐标、 最值、对称轴时，可 设顶点式. 其步骤是： ①设函数表达式为 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) ； ②代入顶点坐标，得到关于a的方程或方程组； ③将另一点的坐标代入②中的式子求出a值； ④确定函数表达式. 新知学习 例1 某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心 B.已知球出手的位置 A 到地面的距离为2.25 m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为 3.05 m.建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线y＝ ax2＋c(－3≤x≤1).求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度. 新知学习 解：由题意可知，抛物线经过点A(－3，2.25)，B(1，3.05).将这两个 点的坐标分别代入表达式y＝ ax2＋c，得 2.25＝9a＋c， 3.05＝a＋c. 解这个方程组得，得 a＝－0.1， c＝3.15. 所以，这条抛物线的表达式为y＝ ax2＋c. 当x＝0时，y取得最大值，y最大＝3.15. 因此，球运动的最大高度是3.15 m. 新知学习 思考·交流 (1)二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(－2，13)，求这个二次函数的表达式. 解：设所求二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意可得，c＝1，所以 y＝ax2＋bx＋1. 将点(2，5)和(－2，13)分别代入表达式y＝ax2＋bx＋1得， c＝1. 5＝4a＋2b＋1， 13＝4a－2b＋1. 解这个方程组，得 a＝2， b＝－2. ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－2x＋1. 新知学习 思考·交流 (2)确定二次函数的表达式需要几个条件？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c可化成： y＝a(x－h)2＋k，顶点是(h，k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 新知学习 探 究 (1)只知道一个二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，能求这个函数的表达式吗？ 解：设所求的二次函数为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将点(－1，10)和(1，4)分别代入表达式y＝ax2＋bx＋c得， 4a＋2b＋c＝10， a－b＋c＝4. 三个未知数，两个等量关系，这个方程组不能解. 新知学习 探 究 (2)如果这个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的表达式吗？ ∴所求二次函数表达式为 y＝2x2－3x＋5. 解：设所求二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 的坐标分别代入表达式，得 解得 确定函数表达式. 待定系数法 设：表达式 代：坐标代入 解：方程 (组) 新知学习 这种已知三点坐标求二次函数表达式的方法叫作一般式法. 归纳总结 步骤为： ① 设函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ② 代入图象上三个点的坐标得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 确定函数表达式. 新知学习 例1 已知二次函数的图象分别与 x 轴交于点A(1，0)，B(5，0)，且过点 C(0，－5)，求抛物线的表达式. A( 1，0 )， B( 5，0 ) 图象的对称性 对称轴为直线x＝3 y＝ax2－6ax＋3 代入A( 1，0 )，B( 5，0 ) 求出a，b y＝a(x－3)2＋k 代入 A( 1，0 )， B( 5，0 ) 求出a，k 化为一般式 新知学习 例1 已知二次函数的图象分别与 x 轴交于点A(1，0)，B(5，0)，且过点 C(0，－5)，求抛物线的表达式. 注意:这道题我们除了可以设一般式外，还可以设交点式. 交点式: y＝a(x－x1)(x－x2)→x1、x2分别是函数图象与x轴交点的横坐标 解：∵抛物线与x轴分别交于点 A(1，0)，B(5，0)， ∴可设抛物线表达式为 y＝a(x－1)(x－5)(a≠0) 把(0，－5)代入得：5a＝－5，解得：a＝－1， 故抛物线的表达式为y＝－(x－1)(x－5)， 即y＝－x2＋6x－5. 新知学习 这种知道抛物线与x轴的两个交点坐标和抛物线上除这两交点以外的任意一点的坐标，求表达式的方法叫作交点式法. 归纳总结 其步骤是： ① 设函数表达式是 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)； ② 先代入交点坐标，得到关于a的方程或方程组； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④ a用数值替换，写出函数表达式. 新知学习 例2 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，求二次函数的表达式. x ... －1 0 1 ... y＝ax2＋bx＋c ... －2 －2 0 ... 方法一： 解：设这个二次函数的表达式是 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 代入表中任意三点 ，可得 新知学习 方法一： 解：设这个二次函数的表达式是 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 任意代入表中 这三点，可得 解得 故所求二次函数的表达式是 y＝x2＋x－2. 新知学习 x ... －1 0 1 ... y＝ax2＋bx＋c ... －2 －2 0 ... 方法二： 解：设这个二次函数的表达式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由已知可得，二次函数过点(0，－2)，得 c＝－2，所以y＝ax2＋bx－2. 代入表中任意两点(－1，－2)，(1，0)，可得 解得 故所求二次函数的表达式是 y＝x2＋x－2. 新知学习 x ... －1 0 1 ... y＝ax2＋bx＋c ... －2 －2 0 ... 方法三： 解：设这个二次函数的表达式是y＝a(x－h)2＋k， 两点对称，对称轴为直线 顶点坐标为 把顶点的坐标 代入 y＝a(x－h)2＋k ，得 . 再把点(1，0)代入上式，得 ，解得a＝1. 故所求二次函数的表达式是 . 新知学习 1.一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为( ) A. y＝－2(x＋2)2＋4 B. y＝2(x＋2)2－4 C. y＝－2(x－2)2＋4 D. y＝2(x－2)2－4 C 随堂练习 2.已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(－3，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，6)，则该二次函数表达式为_______________． y＝－x2－x＋6 3.(2024 辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为(3，0)，若点C(2，3)在抛物线上，则AB的长为____. 4 随堂练习 B 4.如图，抛物线对称轴为直线x＝1，且抛物线与直线 y＝x＋1 交于A，B两点，A在坐标轴上，B点的纵坐标为3，求抛物线的表达式. 解：由已知可得A的坐标为(－1，0)，B(2，3) ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴设函数表达式为 y ＝ a(x－1)2＋k(a≠0). 代入(2，3)，(－1，0)，得 ∴二次函数的表达式是y ＝ －(x－1)2＋4. 解得 随堂练习 5.(2025 福建节选)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点A(1，t)，B(2，t) (1)求 的值. 解：∵二次函数y＝ax2＋bx－2的图象的对称轴为直线 ，点A(1，t)，B(2，t)在该函数的图象上， ∴ ∴ ∴ 随堂练习 二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点A(1，t)，B(2，t)， (2)已知二次函数 y＝ax2＋bx－2的最大值为 .求该二次函数的表达式. 解：由(1)可得，b＝－3a， ∴该二次函数的表达式为y＝ax2－3ax－2＝ ， ∴函数图象的顶点坐标为 ∵函数的最大值为 ∴ 解得a＝－1或a＝4(舍去)， 所以该二次函数的表达式为y＝－x2＋3x－2. 随堂练习 1.用待定系数法求二次函数表达式的步骤： (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式，如 y ＝ ax2＋bx＋c、y ＝ a(x－h)2＋k 或 y＝a(x－x1)(x－x2)，其中 a ≠ 0； (2)代：把点 (有几个未知数代入几个点) 坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程 (组)； (3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值； (4)还原：将待定系数的值还原到表达式中，求得表达式. 课堂小结 2.选择恰当的方法求二次函数的表达式： 表达式类型 函数表达式 使用情况 一般式 顶点式 交点式 y ＝ ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，且a≠0) 已知图象上任意三个点的坐标 y ＝ a(x－h)2＋k (a，h，k为常数，且a≠0) 已知图象的顶点坐标或对称轴或最值，又知道一个或两个点的坐标 y ＝ a(x－x1)(x－x2) (a，x1，x2为常数，且a≠0) 已知图象与x轴的两个交点(x1，0)(x2，0)，又知道另一个点的坐标 课堂小结 $