天津市河北区2026-2027学年高二上学期期中统考数学试卷

高二数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分27分． 1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．A 9．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 10．（答案不唯一） 11． 12． 13．6， 14．0，55 15．①③④⑤ 三、解答题：本大题共5小题，共49分． 16．本小题满分12分 （I）由， 所以得边所在的直线方程为： 化简得：； （II）设与边平行的直线方程为： 因为过点，代入得解得 所以过点且与边平行的直线方程为：； （III）设与边垂直的直线方程为： 因为的中点为，代入得解得 边的垂直平分线的方程为． 17．本小题满分12分 （I）设圆心的坐标为，因为圆心在直线上，所以① 因为，是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有 即② 由①②可得，．所以圆心的坐标为． 圆的半径． 所以，所求圆的标准方程为． （II）1°直线的斜率不存在时：因为直线经过点，所以直线的方程为， 此时圆心到直线：的距离为， 所以直线：是圆的切线． 2°直线的斜率存在时：设斜率为k，此时直线的方程为 即， 所以此时圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相切，所以，即，化简得， 解得，所以直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 18．本小题满分12分 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 由，，可得：，，，，． 因为在上且，所以． （I）．平面内两向量：，． 设平面的法向量为，则 令，得．因为，所以． 又因为直线平面，所以直线平面CEF． （II）由（I）知，平面的一个法向量为． ，．设平面的法向量为，则 设平面与平面的夹角为，则： 因为故所求夹角为． （III）由（I）知，平面的法向量为，且过点． 点到平面的距离为： ，， 所以．则． 所以． 所以三棱锥的体积为． 19．本小题满分13分 （I）由题意知，椭圆的短轴长，解得，所以． 因为离心率，所以． 又根据椭圆的基本关系，代入可得： 所以．故椭圆的标准方程为：． （II）由（I）可知，椭圆的上顶点为． 设直线的方程为：， 令，解得（因为），所以点的坐标为． 代入椭圆方程中，得：，化简为． 故点的横坐标为：， 题目已知，的横坐标为；的横坐标为． 因此有：，化简得：，即：， 因为，即：， 且．所以，即：， 所以直线的斜率的取值范围是：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第I卷1至2页，第II卷3至6页． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的斜率为，则的倾斜角为 A． B． C． D． 2．平行六面体中，记，，，则 A． B． C． D． 3．已知空间向量，，若，则 A． B． C．2 D．6 4．若直线与直线相互垂直，则实数 A． B． C． D．1 5．椭圆的一个焦点为 A． B． C． D． 6．已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 7．已知直线与直线，若与关于直线对称，则 A．， B．， C．， D．， 8．如图天津市某生态公园规划了一个平面横截面为椭圆形的人工湖，为增强景观互动性，设计师在椭圆的两个焦点，处分别建有一座水上雕塑，为方便游客近距离打卡，公园修建了一条穿过雕塑且与主轴（两雕塑连线）垂直的直线型水上木栈道，该栈道延伸至椭圆湖岸边，交于最佳观景台．经规划测量，从观景台望向远端雕塑的直线距离，恰好是两座雕塑之间距离的1.25倍，则该椭圆人工湖的离心率为 A． B． C． D． 9．在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且．点为底面正方形内部（含边界）的一动点，若直线与底面所成角的正切值为，则线段长度的取值范围是 A． B． C． D． II卷 注意事项：本卷共10题，共73分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10．直线的方向向量为：_______（写出一个即可） 11．已知平面上两个定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为_______． 12．正方体的棱长为2，点为底面的中心，则点到平面的距离为_______． 13．直线与圆交于，两点，则_______．点是圆上一点，则面积的最大值为_______． 14．在三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，且，，，则_______；设为平面的一个法向量，且满足，若点为平面内的一点，则_______． 15．已知圆与轴交于，两点（点在点左侧）．点是圆上异于，两点的动点，直线交直线于点，直线交直线于点．以下说法正确的有_______． ①，两点纵坐标之积恒为定值； ②线段长度的最小值为8； ③以为直径的圆被轴截得的弦长为定值； ④直线与直线的交点恒在圆上； ⑤的外接圆恒过不同于原点的定点． 三、解答题：本大题共4小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知的三个顶点分别为，，． （I）求边所在的直线方程； （II）求过点且与边平行的直线方程； （III）求边的垂直平分线的方程． 17．（本小题满分12分） 已知圆心在直线上的圆经过点和点． （I）求圆的标准方程； （II）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程． 18．（本小题满分12分） 在长方体中，，．点在棱上，且，点为棱的中点，点在棱上，且． （I）求证：直线平面； （II）求平面与平面的夹角； （III）求三棱锥的体积． 19．（本小题满分13分） 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （I）求椭圆的标准方程； （II）设为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线交轴于点，交椭圆于点（与点不重合）．若，且，求直线的斜率的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $