精品解析：天津市河北区2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷

河北区2025—2026学年度第一学期期中高二年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 2. 如图，直线、、、中，斜率最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 3. 圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程. 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 4. 若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用结合已知条件：焦距是短轴长的2倍，带入离心率计算公式可求解 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，则， 所以，， 所以椭圆的离心率. 故选：B 5. 如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用空间向量基本定理即可. 【详解】由题意知，，， ，，， 所以． 故选：D 6. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 7. 已知直线：，直线：，则下列结论错误的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：C 8. 已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 9. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 详解】由题意可得，， 以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 因此异面直线与所成角的余弦值等于. 故选：D. 10. 如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（ ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. P到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线C关于直线，均对称 D. 曲线C所围区域面积必小于36 【答案】B 【解析】 【分析】求出椭圆的离心率判断A；利用椭圆的定义判断B；利用椭圆的对称性判断C；利用椭圆的顶点构成图形判断D. 【详解】对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率 ，，A正确； 对于B，为椭圆的左右焦点，为 椭圆的两个焦点，当点为两个椭圆交点时，点到四点距离的和为20； 当点时，点到四点距离的和为，因此距离之和不为定值，B错误； 对于C，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，C正确； 对于D，椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的 左、右顶点分别为，曲线在两组平行直线所围正方形及内部， 该正方形边长为6，因此曲线C所围区域面积必小于36，D正确. 故选：B 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分答案填在题中横线上. 11. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程变为斜截式，可得斜率k，根据斜率与倾斜角的关系，即可得答案. 【详解】由直线，变形可得， 即直线的斜率为， 设倾斜角为，则， 因，则， 即该直线的倾斜角为. 故答案为：. 12. 若直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得，再结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线与直线平行，可得，解得， 所以直线的方程为与直线， 由两平行线间的距离公式，可得. 故答案为：. 13. 已知直线与圆M：相切，则圆M和圆N：的位置关系是_______（外离、相交、外切、内切、内含） 【答案】相交 【解析】 【分析】将圆M变为标准方程，可得圆心和半径，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得a值，可得圆M的方程，求出圆M和圆N的圆心距，分析即可得答案. 【详解】圆M：，整理可得， 圆心，半径， 因为直线与圆M：相切， 所以圆心到直线的距离，即， 解得或（舍）， 所以圆M：，圆心， 圆N：，圆心， 则圆M与圆N的圆心距 因为，所以圆M和圆N相交. 故答案为：相交 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与平面所成角的正弦值为_______；点A到直线的距离为________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解；利用点到直线距离公式求解. 【详解】依题意，， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则； 点A到直线的距离. 故答案为：； 15. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据椭圆性质和已知条件确定线段长度，，然后利用向量关系和已知条件求出，进而在中利用余弦定理建立等式，最后化简等式并求解离心率. 【详解】如图所示，设，由已知得，则有． 因为为线段的中点，所以，则由，可知，即，则． 在中，由余弦定理得，则，整理得． 故椭圆的离心率． 故答案为：. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16. 已知的三个顶点为，，，D为的中点. （1）求边上中线所在直线的方程； （2）求边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1）； （2）； （3）17. 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标及直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解. （2）求出直线的斜率，再利用垂直关系及直线的点斜式方程求解. （3）求出点到直线的距离及边长，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 依题意，点，直线斜率，方程为， 所以边上中线所在直线的方程为. 【小问2详解】 直线的斜率，边的垂直平分线斜率为， 直线方程为，即， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为. 小问3详解】 由（2）得直线的方程为，即， 点到直线的距离，而， 所以的面积. 17. 已知圆C经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，求弦长的值； （3）过点引圆C的切线，求切线的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）和. 【解析】 【分析】（1）根据圆心和圆过原点，求出半径，即可得答案. （2）先求出圆心到直线的距离d，代入弦长公式，计算即可得答案. （3）当切线垂直x轴时，分析可得，满足题意；当切线不垂直x轴时，设斜率为k，求出直线方程，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案. 【小问1详解】 因为圆心为，且过原点， 所以半径，则圆C的标准方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 小问3详解】 当切线垂直x轴时，即方程为， 此时圆心到的距离为，故圆C与相切，符合题意； 当切线不垂直x轴时，设斜率为k，则方程为，即， 所以圆心到切线的距离，即， 平方可得，解得， 则切线方程为，即， 综上，切线方程为和. 18. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率定义和三角形面积公式列方程组求解可得； （2）①直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理求解即可；②利用韦达定理代入化简即可得证. 【小问1详解】 因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 证明：①将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ②由①知，， 所以 ， 故为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025—2026学年度第一学期期中高二年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 2. 如图，直线、、、中，斜率最小是（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：，直线：，则下列结论错误的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 8. 已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点圆外 D. 无法确定 9. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（ ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. P到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线C关于直线，均对称 D. 曲线C所围区域面积必小于36 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分答案填在题中横线上. 11. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为_____. 12. 若直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为______. 13. 已知直线与圆M：相切，则圆M和圆N：的位置关系是_______（外离、相交、外切、内切、内含） 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与平面所成角的正弦值为_______；点A到直线的距离为________. 15. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为______． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16. 已知的三个顶点为，，，D为的中点. （1）求边上中线所在直线的方程； （2）求边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）求的面积. 17. 已知圆C经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，求弦长的值； （3）过点引圆C的切线，求切线的方程. 18. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C方程； （2）已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $