专题11 二次函数中特殊三角形存在性的综合问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版九年级上册
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内容正文：
专题11二次函数中特殊三角形存在性的综合问题
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中等腰三角形存在性问题
题型二、二次函数中直角三角形存在性问题
题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题
题型四、二次函数中相似三角形存在性问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
二次函数中特殊三角形存在性问题是初中代数与几何综合的压轴核心，涵盖等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形及相似三角形四大类存在性探究，所有问题均围绕动点坐标的代数表示、三角形几何特征的方程转化、多解情形的分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动点位置、线段长度、角度关系必须用含参代数式准确表达，二是涉及等腰的“两两相等”、直角的“三顶点轮换”、相似的“对应顶点不确定”时必须穷尽所有分类情形，所有求得的参数值最终均需检验是否满足动点运动范围及三角形构成条件。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中等腰三角形存在性问题
典例1 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)轴上是否能找到一点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出的值．
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置两个定点和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使三点构成等腰三角形，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
二、通用解题流程
第一步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 （如 ）。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第二步：表示三边长的平方
用两点间距离公式的平方形式： 。
分别写出 、 、 （ 通常为定值）。
第三步：分类讨论
情况 1： ，即 ，列方程求解。
情况 2： ，即 ，列方程求解。
情况 3： ，即 ，列方程求解。
第四步：解方程求坐标
解每种情况下的方程，得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第五步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
第六步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式1-1已知：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求，两点的坐标；
(2)抛物线的对称轴上有一点，使周长最小，求点坐标；
(3)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值；
(4)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出点坐标．
变式1-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
(3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
典例2如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的负半轴交于点，且，是直线上方抛物线上一点，连接、、，与交于点，设点横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求面积的最大值，并求出此时的值；
(3)是否存在的值，使是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式，设置两个定点和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使三点构成直角三角形，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
核心标志词：直角三角形、存在性、动点、抛物线上一点、直角顶点、两直角边垂直、勾股定理。
三、通用解题流程
第一步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第二步：表示三边长的平方
用两点间距离公式的平方形式： 。
分别写出 、 、 （ 通常为定值）。
第三步：分类讨论
情况 1：，列方程求解。
情况 2： ，列方程求解。
情况 3：，列方程求解。
第四步：解方程求坐标
解每种情况下的方程，得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第五步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
斜率不存在检验：若用斜率法，需单独讨论斜率不存在的情况。
第六步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式2-1如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2-2如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)=______．抛物线顶点的坐标是______．
(2)在轴下方的抛物线上是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线上求点，使得是以为直角边的直角三角形．
变式2-3 如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标．
题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题
典例3 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标；
(4)点在线段上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式，设置两个定点和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使三点构成等腰直角三角形，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
核心标志词：等腰直角三角形、存在性、动点、抛物线上一点、直角顶点、两腰相等且垂直、45°角。
二、通用解题流程
第一步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第二步：表示三边长的平方
用两点间距离公式的平方形式： 。
分别写出 、 、 （ 通常为定值）。
第三步：分类讨论
情况 1：∠P = 90° 且 。
列方程组： 且 。
或简化为： ，即 。
情况 2：∠A = 90° 且 。
列方程组： 且 。
或简化为： 且 ，即 且 。
情况 3：∠B = 90° 且 。
列方程组： 且 。
或简化为： 且 ，即 且 。
第四步：解方程求坐标
解每种情况下的方程组，得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第五步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
第六步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式3-1如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标；
(3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标．
变式3-2如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系；
(3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
典例 4如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．若有一点P在这个二次函数的图象上，过点P作轴，垂足为D，连接．若与相似，求符合条件的点P的坐标．
、
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式，通常设置一个已知三角形（三个顶点多为定点）和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使动点与已知两点构成的三角形与已知三角形相似，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
二、通用解题流程
第一步：分析已知三角形
计算 的三边长 、 、 。
判断 的形状：是否为直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
若有特殊角（如 90°、45°、60°），标注出来。
第二步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第三步：表示动点三角形三边长
用两点间距离公式表示 、 、 （ 通常为定值）。
第四步：分类讨论对应关系
根据已知三角形的形状，列出所有可能的对应关系。
对每种对应关系，列比例方程：
若用三边成比例：
若用两边成比例且夹角相等：先找相等的角，再列夹边比例方程。
第五步：解方程求坐标
解每种情况下的方程（组），得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第六步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
比例一致性检验：若用两组比例求解，需检验第三组比例是否也成立。
第七步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式4-1如图，抛物线过点、，点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N．
(1)求直线和抛物线的表达式．
(2)当的面积最大时，求此时m的值．
(3)如果点P是的中点，那么求此时点N的坐标．
(4)当与相似时，求点M的坐标．
变式4-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式（关系式）．
(2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由．
(3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标．
变式4-3如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M．
(1)求a、c的值；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点．
①如果，求的值；
②如果与相似，求的值．
2．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若以为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
3．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），直线：经过点，且直线与轴交于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点分别作轴，轴的垂线，分别与直线交于点、，是否存在点，使得与相似，且与的相似比为：，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线的对称轴为_____；
(3)当与的面积相等时，求m的值；
(4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值；
(3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过，
(1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由．
(4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由．
7．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点．
(1)试求a，b所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值；
(3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．
(1)求点D的坐标；
(2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于．
(1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积．
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由．
(3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形．
11．抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线上一点，若以B，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标；
(3)如图2，N是抛物线顶点，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
12．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
13．如图，抛物线的顶点坐标是，且经过原点，并与轴相交于另一点，连接、．
(1)求抛物线的解析式与点的坐标；
(2)若点是抛物线上的一个动点，当运动到何处时，是以为直角边的直角三角形？
(3)在线段上有两动点、，且点在点的左边，在上有一点，线段上有一点，并且四边形是矩形，问当点位于何处时，四边形的面积最大，最大面积是多少？
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点．
(1)求a、b、c的值；
(2)连接、 、，求面积的最大值；
(3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由．
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专题11二次函数中特殊三角形存在性的综合问题
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中等腰三角形存在性问题
题型二、二次函数中直角三角形存在性问题
题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题
题型四、二次函数中相似三角形存在性问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
二次函数中特殊三角形存在性问题是初中代数与几何综合的压轴核心，涵盖等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形及相似三角形四大类存在性探究，所有问题均围绕动点坐标的代数表示、三角形几何特征的方程转化、多解情形的分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动点位置、线段长度、角度关系必须用含参代数式准确表达，二是涉及等腰的“两两相等”、直角的“三顶点轮换”、相似的“对应顶点不确定”时必须穷尽所有分类情形，所有求得的参数值最终均需检验是否满足动点运动范围及三角形构成条件。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中等腰三角形存在性问题
典例1 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)轴上是否能找到一点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为，
(2)或或
(3)
【分析】（1）把代入解析式求出的值，然后配成顶点式即可求出顶点的坐标；
（2）求、的坐标，进而可得，然后分类讨论求解即可；
（3）作出点关于轴的对称点，则，连接，，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的值最小，利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线解析式即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线图象过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点；
（2）解：存在点，使得是以为腰的等腰三角形，
由抛物线得，令，得，
∴，
令，得，
解得或，
∴，
∴，
当时，则或，
当时，关于轴对称，此时，
综上，点的坐标为或或；
（3）解：如图，作出点关于轴的对称点，则，连接，，
则，，当且仅当、、三点共线时取等，如图，即当为直线与轴交点时，有最小值，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
即的值为．
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置两个定点和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使三点构成等腰三角形，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
二、通用解题流程
第一步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 （如 ）。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第二步：表示三边长的平方
用两点间距离公式的平方形式： 。
分别写出 、 、 （ 通常为定值）。
第三步：分类讨论
情况 1： ，即 ，列方程求解。
情况 2： ，即 ，列方程求解。
情况 3： ，即 ，列方程求解。
第四步：解方程求坐标
解每种情况下的方程，得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第五步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
第六步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式1-1已知：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求，两点的坐标；
(2)抛物线的对称轴上有一点，使周长最小，求点坐标；
(3)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值；
(4)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出点坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】（1）令函数，解一元二次方程，即可得到抛物线与轴的交点、的坐标；
（2）利用，两点关于对称轴对称，将转化为，连接与对称轴的交点即为点，求出直线的解析式，再令即可求出点坐标；
（3）过点作轴，交于点，根据直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，表示出，然后求出最大值即可；
（4）设点的坐标为，表示出、，然后分、两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：对于，
令，可得，
可得，
解得，，
故点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，
对于抛物线，
其对称轴为，
，，
可得，
已知点和点关于对称，
则，
可得的周长为，
当点为直线与直线的交点时，最小，即，
设直线的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故周长最小时，点的坐标为．
（3）解：如图，过点作轴，交于点，
据（2）可知直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
点在下方，
则，
可得，
故当时，面积的最大值为．
（4）解：∵动点位于对称轴上，，
设点的坐标为，则
，
，
当时，则，
解得或，
此时点的坐标为或；
当时，则，
解得或，
此时点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或或．
变式1-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
(3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)P点坐标为，最大值为；
(3)存在，满足条件的M点坐标为，，，．
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）过点P作轴于点F，交于点E，根据题意得出，利用待定系数法确定直线解析式为，设，，确定，结合图象利用，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意得出对称轴为，，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图象利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
，
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）过点P作轴于点F，交于点E，
∵，
∴当时，，
∴，
设直线解析式为，
∵，
，
解得，
∴
根据题意设，，
∴，
由图象得：，
∴，
整理得：，
，
∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为；
（3）存在，
由（1）得，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴分三种情况分析：
①当时，如图，设对称轴l与交于点E，
∴，
，
，
解得：，
∴M点的坐标为或，
②当时，则为的垂直平分线，
∴M与E重合，
∴M点的坐标为；
③当时，如图，设M点的坐标为，
则，
，
解得：，
∴M点的坐标为，
综上可知，满足条件的M点共四个，其坐标为，，，．
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
典例2如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的负半轴交于点，且，是直线上方抛物线上一点，连接、、，与交于点，设点横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求面积的最大值，并求出此时的值；
(3)是否存在的值，使是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为，此时
(3)存在；
理由如下：过点作轴垂线，垂足为点，过点，作延长线的垂线，垂足为点，如图：
第一种情况：当，即时，
由题意可得，
∴
∴，
∴，
∴，即
∵轴，，点为，点为，点为，
∴，
∴，，，
∴，
整理得：
解得：（舍）
∴．
第二种情况：当，即时，延长，交轴于点，如图：
∵，点坐标为，点坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴点坐标为，
设直线的解析式为：，
将，分别代入上式，即，
解得：，
∴直线的解析式为，
当直线与抛物线相交时，，
解得：（舍），，
∴，
综上可得：或时，是直角三角形．
【分析】（1）分别将，代入中，求解可得点坐标为，点坐标为，结合，可得坐标为，利用待定系数法即可求得抛物线的表达式．
（2）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，即轴，可得点坐标为，点坐标为，求得，代入数据到中， 即可
当时，最大值为，结合相似三角形的性质可得此时．
（3）根据题意分成当，即和当，即时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：将，代入中，即，
将，代入中，即，
解得：
∴点坐标为，点坐标为，
∴，
∴，即坐标为，
将，，分别代入中，即，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，即轴，如图：
设点横坐标为，即点坐标为，
∵轴，
∴点横坐标为，即点坐标为，
∴，
∴，
∴当最大时，取最大值，
当时，最大值为，即取最大值，
∵，
∴，
∴，
∵轴，点坐标为，
∴点横坐标为，
将代入中，即，
∴点坐标为，
∴，
∴当时， ，
综上可得，面积的最大值为，此时．
（3） 略
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式，设置两个定点和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使三点构成直角三角形，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
核心标志词：直角三角形、存在性、动点、抛物线上一点、直角顶点、两直角边垂直、勾股定理。
三、通用解题流程
第一步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第二步：表示三边长的平方
用两点间距离公式的平方形式： 。
分别写出 、 、 （ 通常为定值）。
第三步：分类讨论
情况 1：，列方程求解。
情况 2： ，列方程求解。
情况 3：，列方程求解。
第四步：解方程求坐标
解每种情况下的方程，得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第五步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
斜率不存在检验：若用斜率法，需单独讨论斜率不存在的情况。
第六步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式2-1如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）通过待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴，过点作，设，求出直线的解析式，从而求出点坐标，即可求出线段长度，利用割补法用表示面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最大值；
（3）根据抛物线的解析式求出抛物线对称轴，设，分三种情况讨论①；②；③；根据勾股定理分别将用表示出，代入每种情况对应的勾股定理逆定理的公式中，即可求出值，从而求出点坐标．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点、点，
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：过点作轴于点，交于点，过点作于点，如图，
由题意得，设，则，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为；
（3）解： ，
对称轴为，
设，
∵，，
∴，，，
①当时，如图，
∴，
∴，
，
；
②当时，如图，
∴，
，
或，
或；
③当时，如图，
∴，
，
，
；
综上所述，点P的坐标为或或或．
变式2-2如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)=______．抛物线顶点的坐标是______．
(2)在轴下方的抛物线上是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线上求点，使得是以为直角边的直角三角形．
【答案】(1)，
(2)存在点，使四边形的面积最大，
(3)或
【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式求出，再将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点的坐标；
（2）先求出、两点坐标，设点横坐标，用割补法表示四边形的面积，构造二次函数，利用二次函数性质求面积最大时的坐标；
（3）先证明，分，两种情况，时，设交轴于点，时，设交轴于点，求出、的坐标，用待定系数法求直线解析式，联立抛物线方程求得点坐标．
【详解】（1）解：在上，
，
解得．
．
顶点．
（2）解：如图，连接，
，令，
，
解得，
，．
设，，
，
，对称轴，
当时，面积最大．此时，
．
（3）解：，
．
，
．
当时，设直线交轴于点，
，，
．
，
为等腰直角三角形，
．
．
设直线解析式：，
代入，，得
，
解得，
直线解析式：．
联立，
，
解得，．
当时，对应点，舍去；
当时，，
．
②当时，设直线交轴于点，如图，
，，
．
，
为等腰直角三角形，
．
．
设直线解析式：，
代入，，得
，
解得，
直线解析式：．
联立，
，
解得．
当时，对应点，舍去；
当时，，
．
综上，点坐标为或．
变式2-3 如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)符合条件的点D的坐标是或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设解析式为，
代入，，
，
解得，
的解析式为，
对直线，
令，得；令，得，
∴直线过点，
即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
，
为等腰直角三角形，
作轴于，轴交于，
∵轴，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
设，则可得，
，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
设，
则，，，
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，
，
即，
解得，
此时点坐标为；
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，
，
即，
解得，
此时点坐标为是；
综上所述，符合条件的点的坐标是或．
题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题
典例3 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标；
(4)点在线段上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为
(4)点的坐标为或
【分析】（1）抛物线与轴交于点，对称轴为直线，据此进行解答即可；
（2）根据对称性求出点的横坐标为，点的横坐标为，代入函数解析式即可求出答案；
（3）作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则，此时取得最小值，此时的周长最小，求出直线的解析式为，当时求出，即可得到答案；
（4）分两种情况画出图形，构造全等三角形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
∴
解得
∴
（2）解：∵对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴点的坐标，点的坐标；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则，
此时取得最小值，此时的周长最小，
设直线的解析式为，代入点的坐标得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点D的坐标为；
（4）解：在抛物线上存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或，
设点的坐标为，
设交轴于点，则，
根据题意可得，，
如图，过点作于点，则，此时，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得，
解得（不合题意，舍去）或，
∴点的坐标为，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，此时，，
同理，，
∴，
∴，
∴，
把代入得，
解得或（不合题意，舍去），
∴点的坐标为，
综上可知点的坐标为或．
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式，设置两个定点和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使三点构成等腰直角三角形，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
核心标志词：等腰直角三角形、存在性、动点、抛物线上一点、直角顶点、两腰相等且垂直、45°角。
二、通用解题流程
第一步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第二步：表示三边长的平方
用两点间距离公式的平方形式： 。
分别写出 、 、 （ 通常为定值）。
第三步：分类讨论
情况 1：∠P = 90° 且 。
列方程组： 且 。
或简化为： ，即 。
情况 2：∠A = 90° 且 。
列方程组： 且 。
或简化为： 且 ，即 且 。
情况 3：∠B = 90° 且 。
列方程组： 且 。
或简化为： 且 ，即 且 。
第四步：解方程求坐标
解每种情况下的方程组，得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第五步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
第六步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式3-1如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标；
(3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)2或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作于点，证明，在中，，解得，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为；
（3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出．
【详解】（1）解：将点，点代入，得
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：过点作于点，
，，
平分，，
，，
，
，
，
，
在中，，解得，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，
∴．
（3）解：，
设直线的解析式为，
当时，
解得，，
∴，，
∴，
当，时，
，
解得或（舍），
当时，
，
解得或（舍），
当，时，
，
∴，
解得或（舍），
综上所述：点纵坐标为2或．
变式3-2如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系；
(3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点的坐标为
(2)，且
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解；
（2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，
∴令，则，解得；
令,则，
∴点，点．
，，
点B的坐标为，
故抛物线的表达式为，
将点的坐标代入，得，
解得，
抛物线的表达式为，
顶点的坐标为．
（2）解：，且，理由：
，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
故直线的解析式为．
、点，
，
故；
直线的解析式为，直线的解析式为，
故将直线向上平移个单位得到直线，
，
故，且．
（3）解：存在，点的坐标为或．
设点，点，，而点，
联立，
得，，
∴，，
∵P点在直线的上方，
∴．
①当时，
如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、，
，，
，
，，
，
，，
即，，
解得．
当时，，
解得，（舍去），
点．
②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵,
∴，
∴，，
∴，，
解得，，
又∵，
∴，
解得，（舍去），
∴．
③当时，
当点在抛物线对称轴的右侧时，如图，
点在的下方，与题意不符，舍去；
当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
解得，
又∵，
∴，
解得（舍去），，
故点．
综上可得，点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键．
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
典例 4如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．若有一点P在这个二次函数的图象上，过点P作轴，垂足为D，连接．若与相似，求符合条件的点P的坐标．
【答案】或或或
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再根据三角形相似的判定和性质，结合距离的绝对值表示，列比例式解答即可．
【详解】解：将代入，得解得
∴二次函数的解析式为
，
．
设
轴，
∴点D的坐标为，
．
①当时，，即，
解得或，
此时点P的坐标为或．
②当时，，即，
解得或，
点P的坐标为或．
综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或．
题型模版
一、题型特征
题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式，通常设置一个已知三角形（三个顶点多为定点）和一个动点（动点通常在抛物线、对称轴、坐标轴或某条直线上运动），要求判断是否存在点使动点与已知两点构成的三角形与已知三角形相似，若存在则求动点坐标或参数值，若不存在则说明理由。
二、通用解题流程
第一步：分析已知三角形
计算 的三边长 、 、 。
判断 的形状：是否为直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
若有特殊角（如 90°、45°、60°），标注出来。
第二步：设点坐标
设动点 ，若 在抛物线上，则用解析式表示 。
若 在对称轴上，设 ；若在 轴上，设 。
第三步：表示动点三角形三边长
用两点间距离公式表示 、 、 （ 通常为定值）。
第四步：分类讨论对应关系
根据已知三角形的形状，列出所有可能的对应关系。
对每种对应关系，列比例方程：
若用三边成比例：
若用两边成比例且夹角相等：先找相等的角，再列夹边比例方程。
第五步：解方程求坐标
解每种情况下的方程（组），得到 的值，再代入抛物线解析式求 。
第六步：检验
三点共线检验：若求出的点使 、 、 三点共线，则不能构成三角形，舍去。
定义域检验：动点是否在指定范围内（如"第一象限内"、"线段 上方"）。
重合检验：动点是否与定点重合，若重合则舍去。
比例一致性检验：若用两组比例求解，需检验第三组比例是否也成立。
第七步：作答
写出所有符合条件的动点坐标或参数值。
变式4-1如图，抛物线过点、，点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N．
(1)求直线和抛物线的表达式．
(2)当的面积最大时，求此时m的值．
(3)如果点P是的中点，那么求此时点N的坐标．
(4)当与相似时，求点M的坐标．
【答案】(1)直线表达式为 ，抛物线表达式为
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
(2)根据题意得出， ，求出，根据三角形面积公式求出，再根据二次函数性质进行求解即可；
（3）由（2）可知：， ， 则，再由得出方程，求解即可；
（4）分两种情况进行讨论即可得解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得： ，
∴直线的解析式为；
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值；
（3）解：由（2）可得：，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴；
（4）解：∵，， ，
∴，，
∴，
∵
∴当与相似时，存在以下两种情况：
①当时，则，
∴，
解得：或或，
当时，，，
∴是原方程的增根，舍去；
当时，点P、点N、点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，
解得；或或，
当时，，，
∴是原方程的增根，舍去；
当时，点P、点N、点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴；
∴点M的坐标为或．
变式4-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式（关系式）．
(2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由．
(3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)要寻找在第一象限外点，使得以为直角边的和相似，那么可以通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标．若点为直角顶点，则点E的坐标为或，此时点不在抛物线上；若点为直角顶点，则点的坐标为或，此时点在抛物线上．
(3)点D的坐标为或
【分析】（1）将点、点坐标代入抛物线解析式中即可求解；
（2）通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标，代入抛物线解析式，确定其是否在抛物线上；
（3）过点作轴交于点，则可以以作为公共底边，点横坐标作为和高之和表示，代入面积关系式中，可解得点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得，，
抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线与轴交于点，
点坐标为，
又点坐标为，点坐标为，
，，
，，
由题意，为直角边，点在第一象限外，分别以点和点为垂足，作的垂线，分别交轴和轴于点、，则另一条直角边或可在对应垂线上确定．
①当点为直角顶点时，可分两种情况讨论，即或．
设直线解析式为，将，分别代入解析式，得
，解得，
直线解析式为，
令直线交轴于点，
，，
，
，
点坐标为．
同理可得直线的解析式为，
如图，当时，，
即，
解得，
设点，则，
解得或（舍去），
故此时点坐标为．
如图，当时，，
即，
解得，
设点，则，
解得或（舍去），
故此时点坐标为．
②当点为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即或．
令直线交轴于点，
同理，可得点坐标为，直线的解析式为．
如图，当时，，解得，
，解得，
设点，则，
解得或（舍去），
故此时点坐标为．
如图，当时，，解得，
，解得，
设点，则，
解得或（舍去）．
故此时点坐标为．
最后，将这四个点代入抛物线中验证是否在其上：
代入，可得，故不在抛物线上；
代入，可得，故不在抛物线上；
代入，可得，故在抛物线上；
代入，可得，故不在抛物线上；
综上，只有点在抛物线上．
（3），，
．
点为直线上方抛物线上一点，
设点D的坐标为，作轴交于点，
点在直线 上，
点坐标为，
，
，
解得或，
代入抛物线解析式得或，
点的坐标为或．
变式4-3如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M．
(1)求a、c的值；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)证明：由（1）得，
，
∴顶点坐标为，
∵，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
(3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形即可；
（3）根据，，分，，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据题意，得，
解得，
故，；
（2）略
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
∵，点，，
∴，，，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
过点P作轴于点F，
则，
∴，
∴．
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
过点P作轴于点G，
则，
∴，
∴；
综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点．
①如果，求的值；
②如果与相似，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）已知抛物线与轴两个交点，设交点式，代入点坐标求出参数，得到抛物线表达式．
（2）①先求出抛物线对称轴与点坐标，根据平移得到点坐标，求出直线与直线解析式，联立求交点，再利用距离公式或者坐标线段比求出．②先判断的角度特征，结合公共角，分两种相似情况讨论，利用相似三角形对应边成比例建立方程，求解的值．
【详解】（1）解：抛物线过，，
设．
抛物线过，
，
，
．
．
（2）解：① ，
对称轴为直线．
，是关于的对称点，
．
向下平移个单位，
．
，
．
设直线解析式：，代入，．
，
，．
∴直线解析式：．
设直线解析式：，代入，．
，
，．
∴直线解析式：．
联立，
，
，
，．
．
．
．
．
②，，，
，，．
，
∴与相似分两种情况．
情况一：，如图，
，
，
，
．
设直线为，
∵直线：过，，
∴，
解得，，
∴直线：，
联立，
∴，
，
当时，．
∴，
∴．
，且在线段上，，
．
，
，
，
解得．
情况二：如图，当时，
，
．
∴点与点重合，此时与轴重合，
∵，
∴,
,
综上，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解、抛物线的对称性、一次函数解析式、坐标求线段长度、相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图像上点坐标特征、分类讨论相似三角形对应顶点，联立一次函数求交点是解题的关键．
2．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若以为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点，点或点，点
【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：将和代入，
得：，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，
当时，
∵轴，，
∴点纵坐标是，横坐标，
即，
解得，
∴点的坐标为；
∵轴，
∴点的横坐标为，
∴点的纵坐标为：，
∴点的坐标为，点的坐标为；
当时，
此时，
过点作于点，
∴，
∴，
设点的坐标为，则点坐标为，
则，
解得：，
∴点坐标为，点坐标为，
综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，点坐标为．
3．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），直线：经过点，且直线与轴交于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点分别作轴，轴的垂线，分别与直线交于点、，是否存在点，使得与相似，且与的相似比为：，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、，
(2)存在，点的坐标为 或 或
【分析】（1）抛物线，令，可得点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式，令，即可解决问题；
（2）证明 ，由与的相似比为得，设，则，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：抛物线，令得， ，
解得，，
、，
将代入直线：得 ，
，
直线：，
令，得，
点；
（2）解：如图，
轴，
轴，
，
轴，轴，
，
，
，
与的相似比为：，
，
设 ，则 ，
，
解得或，
存在，点的坐标为 或 或．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线的对称轴为_____；
(3)当与的面积相等时，求m的值；
(4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为；
（2）先化为顶点式，由对称轴公式求解即可；
（3）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到或经过的中点，进而求解即可；
（4）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，由题意，，则 ，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴
解得，
∴该抛物线的解析式为，
（2）解：，
∴该抛物线的对称轴为直线；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，
∴)，
∵点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，
∴当时或当经过的中点时满足条件，
当时，点B、点D关于直线对称，
∴点的横坐标为2，即；
当经过的中点时，设中点为，则，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
联立方程组，解得，，
∴点D的横坐标，
综上，或；
（4）解：设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由题意，，则，，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
①当时，
则，
∴
解得
∵，
∴；
②当时，
则，
∴，
解得或 (不合题意舍去)，
综上，或．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值；
(3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)QD的最大值为
(3)或或或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的表达式为，设点，则点，得到．根据二次函数的性质进行解答即可；
（3）分、、三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∵，
，
把此点坐标代入得：，
即抛物线的解析式为：．
（2）解：∵点，对称轴为直线，
∴点，
把代入中，得，
∴点，
设直线的表达式为，
则，
解得：，，
∴直线：，
设点，则点，
∴．
∴当时，取最大值．
（3）解：为直角三角形分三种情况：
①当时，
如图，过P作x轴的平行线，交y轴于N，过B作于M，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
设P点为，即，
解得：或，
即或，
②如图，当时，过P作轴于H，同理可得：，
即，
解得：，
即．
③当时，如图所示，同理知，，
即，解得：，
即．
综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或．
6．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过，
(1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由．
(4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
(4)存在，点的坐标为或或或或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式；
（2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解；
（3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可；
（4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可．
【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
∵直线经过两点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示，
∴，
∴，
当点三点共线时，取等号，
∴当时，在直线上得，，
∴；
（3）解：如图所示，设，已知，
当是以为直角的直角三角形时，，
∵，，，
∴，
整理得，，
解得：，
∴，；
当是以为直角的直角三角形时，，
∴，
整理得，，
解得：，
∴；
当是以为直角的直角三角形时，，
∴，
整理得，，
解得：，
∴；
综上，点的坐标为或或或；
（4）解：设，已知，
∴，，，
当是以为顶角的等腰三角形时，，则，
∴，
解得：，
∴；
当是以为顶角的等腰三角形时，，则，
∴，
整理得，，
解得：，
∴或；
当是以为顶角的等腰三角形时，，则，
∴，
解得：，
∴或；
综上，点的坐标为或或或或．
7．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点．
(1)试求a，b所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值；
(3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在实数a，使得为直角三角形．
理由如下：
①由图可知，A为直角顶点，不可能；
②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能；
③若B为直角顶点，则，
令，可得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，整理得，
解得，
由（2）可知，，
∴，不合题意，舍去；
综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形．
【分析】（1）把点和点代入，即可求解；
（2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解；
（3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，得，
∴．
（2）解：由（1）可知，
∴顶点M的纵坐标为，
∵，
∴
∴，
整理得，
解得，
由图象可知，
∵顶点M在第二象限，
∴对称轴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
（3）略
8．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴．
∵抛物线过点，，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：存在．
设，，
如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则．
∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
解得，，
∴或．
9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．
(1)求点D的坐标；
(2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或
【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可；
（3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标．
【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，，
∴，
∴，
将，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为点．
（2）解：如图1所示：
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：．
所以直线的解析式为．
∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，
∴设，则，且，
∴，
∴，
当面积为15时，，
∴，
∴，
解得，
∵且，
∴，此时，
∴；
（3）解：在（2）的条件下，，，
∵是以为直角边的直角三角形，轴，
∴分别过，作轴的平行线交点即为点，
当时，，
解得（与重合舍去），
此时；
当时，，
解得，
此时或；
综上，存在，点P的坐标为或或．
10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于．
(1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积．
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由．
(3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形．
【答案】(1)9；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可；
（2）连接，设，根据可得，据此可得答案；
（3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，即；
在中，当时，，解得或，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，连接，
∴
；
（2）解：如图所示，连接，设，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，
∴点D的坐标为；
（3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点C为直角顶点时，
∵直线与直线垂直，直线与直线垂直，
∴直线与直线平行，
∴可设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
11．抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线上一点，若以B，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标；
(3)如图2，N是抛物线顶点，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式
(2)的坐标为
(3)直线过定点，定点坐标为
【分析】（1）由对称轴公式得，代入点求，从而求得抛物线的解析式，即可求另一交点．
（2）分三种情况，分别以为直角顶点的等腰直角三角形，画出图形根据全等三角形的性质列方程求解．
（3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，与抛物线解析式联立可得，．作 ．根据 ，可得，从而得到，进而得到 ，从而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
将点代入得：，
∴，
∴，
∴，
故抛物线解析式为：，
令，得，即，
解得：或，
∴；
（2）解：设，其中， ，
以为顶点的三角形为等腰直角三角形，
分三种情况讨论，
①直角顶点为，此时，且，
如图，过点B作y轴平行线，分别过点P，Q作y轴垂线，交于点E，F，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：或（舍去），
∴；
②直角顶点为，此时，且．
如图，过点Q作y轴垂线，过点P作y轴平行线，交于点F，交x轴于点E，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：或（舍去），
∴，
③直角顶点为，此时，且．
即在的垂直平分线上，且，
∴，
根据（1）可得，顶点坐标为，，
∴点与点重合，
∴，
综上，所有满足条件的点的坐标为：；
（3）解：存在定点．
设直线解析式，直线与抛物线相交于点，
，
，
，
如图2，作，
则，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
∵直线不垂直于轴，
，
，
，
∴直线解析式 ，
∵无论为何值，，
∴过定点．
12．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)的面积的最大值为8，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线经过点、，
，
解得
抛物线的解析式为，
（2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点．
，
解得，，
把代入，得，
点D的坐标为，
如图1，过点P作轴，交于点E，
则，，
，
点B的坐标是
，
当时，的面积的最大值为8，
此时．
（3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，
轴于H，
，
是等腰直角三角形，
，
由（2）知，
点H的坐标为，
由（1）可知，
，，
，
或，
即或，
当时，
解得或（舍去），
此时；
当时，
解得或（舍去），
此时，
综上，点P的坐标为或．
13．如图，抛物线的顶点坐标是，且经过原点，并与轴相交于另一点，连接、．
(1)求抛物线的解析式与点的坐标；
(2)若点是抛物线上的一个动点，当运动到何处时，是以为直角边的直角三角形？
(3)在线段上有两动点、，且点在点的左边，在上有一点，线段上有一点，并且四边形是矩形，问当点位于何处时，四边形的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)，点的坐标为
(2)点，时，是以为直角边的直角三角形
(3)时，四边形的面积最大，最大值为
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解，再令，解关于的一元二次方程即可得到点的坐标；
（2）根据点、的坐标求出，然后求出，从而得到点与点重合时符合；再根据时求出直线的解析式，然后与抛物线联立求解即可得到点的坐标；
（3）设，根据矩形的对边平行可得，然后求出和相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出，再根据矩形的面积公式列式整理并利用二次函数的最值问题解答．
【详解】（1）解：设抛物线顶点式解析式，
经过原点，
，
解得，
抛物线的解析式为
即；
令，则，
解得，，
点的坐标为；
（2）点，，
，
，
点与点重合时，是以为直角边的直角三角形，
此时，
时，，
直线的解析式为，
联立，
解得，，
此时，点，
综上所述，点，时，是以为直角边的直角三角形；
（3）设，
四边形是矩形，
，
，
即
解得，
四边形的面积，
当时，四边形的面积最大，最大值为，
此时，，
此时，点坐标为，
故，时，四边形的面积最大，最大值为．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点．
(1)求a、b、c的值；
(2)连接、 、，求面积的最大值；
(3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)面积的最大值是；
(3)或
【分析】（1） 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于一点，用待定系数法将三点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数．
（2）点在第二象限抛物线上运动，连接、、，求面积最大值．过点作x轴垂线交于点，利用铅垂高与水平宽表示面积，将面积化为关于点横坐标的二次函数，配方求最值．
（3）直角三角形需分三种情况讨论直角顶点：、、．前两种情况分别通过构造相似三角形和等腰直角三角形列方程求解；第三种情况利用点在直线上方，说明，从而排除．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，，
，
解得：．
（2）解：设点的横坐标为（），
抛物线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
过点作x轴于点，交于点，
，
，
，
，
当时，最大．
（3）解：存在．
① 当时，过点作轴于点，轴于点，
，
又，，
，
，
，
，
，且，，
，，，，
，
整理得：，
又，，
，
解得：，不符合题意，舍去．
② 当时，过点作轴于点，
，，
，
点在y轴上，
，
又，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
③ 当时，
点的坐标为，直线的解析式为，
，
又，
，
点在直线上方，且射线在x轴上方，
，
，
．
综上所述，存在点，使为直角三角形，的值为或．
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