专题09 二次函数中线段、周长的综合问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专题09二次函数中线段、周长的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数中的线段与周长综合问题是初中代数与几何综合的核心重难点，涵盖线段最值、线段和最值、线段差最值、周长最值四大类题型，所有问题均围绕动点坐标的代数表示、线段长度的函数建模、几何转化与代数运算的联动三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动点位置及线段长度必须用含自变量的代数式准确表示并明确定义域，二是涉及将军饮马、三点共线、垂直平分线等几何转化时必须结合动点运动范围和图形位置关系进行分类讨论，所有结果最终均需检验自变量是否在有效取值范围内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 典例1 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点，的抛物线与轴的另一个交点为点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)点是抛物线上位于直线下方的点，连接，，设点的横坐标为． ①请用含的式子表示的面积． ②过点作于点，求线段的最大值． 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线或直线上运动，要求求某条线段长度的最大值/最小值，或求线段取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、线段长度、最大值/最小值、抛物线上一点、铅垂距离、最短路径。 二、通用解题流程 第一步：设点坐标 设动点 的横坐标为 （或参数 ），用抛物线解析式表示纵坐标 。 第二步：表示线段长度 铅垂线段： 。 两点距离： 。 注意去绝对值（根据图形判断上下位置关系）。 第三步：建立函数关系 将线段长度表示为关于 的二次函数 。 第四步：求最值 若 ，有最大值： ，此时 。 若 ，有最小值： ，此时 。 关键：检查顶点横坐标是否在动点的运动范围内。 第五步：检验范围 若顶点在范围内，直接取顶点值。 若顶点不在范围内，根据二次函数的增减性，在端点处取最值。 第六步：作答 写出线段的最值及此时动点的坐标。 变式1-1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，点是第一象限内抛物线上的一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交抛物线于点，连接，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 变式1-2已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线上时，过点作，垂足为点，求的最大值； 变式1-3 如图，抛物线（，为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)抛物线的函数解析式是__________； (2)如图①，点在轴下方的抛物线上，且点在第四象限，连接交轴于点．若，求点的横坐标； (3)如图②，是直线上方的抛物线上的动点（不与点，重合），过点作于点，求线段的最大值，及此时点的坐标． 类型二、利用二次函数求线段和最值的问题 典例2 已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线或直线上运动，要求求两条（或多条）线段长度之和的最大值/最小值，或求线段和取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、线段和、 最小值、 最大值、抛物线上一点、对称轴、最短路径。 二、核心模型（必背） 模型 1：将军饮马型（同侧取对称） 动点 在直线 上，定点 、 在 同侧，求 的最小值。 方法：作 关于 的对称点 ，则 ，当 为 与 的交点时取最小值。 模型 2：异侧直接连线型 动点 在直线 上，定点 、 在 异侧，求 的最小值。 方法：直接连接 ，与 的交点即为所求 ，最小值为 的长度。 模型 3：二次函数型（代数最值） 动点 在抛物线上， 无法通过对称转化为定值。 方法：设 ，用两点间距离公式表示 ，转化为关于 的函数求最值（通常需结合几何意义简化）。 模型 4：胡不归型（加权线段和） 求 （ ）的最小值。 方法：构造含 30° 或特殊角的直角三角形，将 转化为某条垂线段，再用"垂线段最短"求解。 模型 5：阿氏圆型（定比线段和） 动点 在圆上，求 的最小值。 方法：构造阿波罗尼斯圆，利用相似三角形转化。 三、通用解题流程 第一步：判断模型类型 动点在直线上 → 优先考虑将军饮马（对称转化）。 动点在抛物线上 → 考虑代数法或几何转化。 涉及系数 → 考虑胡不归或阿氏圆。 第二步：几何转化（若适用） 同侧作对称，异侧直接连。 将折线转化为直线段（两点之间线段最短）。 第三步：代数表示（若需函数法） 设动点 ，用抛物线解析式表示 。 用两点间距离公式表示各线段长度。 建立线段和关于 的函数关系。 第四步：求最值 几何法：求对称点坐标，求直线方程，求交点坐标，计算线段长度。 代数法：对函数求导或配方求最值（注意定义域）。 第五步：检验范围 交点是否在动点的运动范围内。 对称点是否正确。 代数法中根号内的表达式是否非负。 第六步：作答 写出线段和的最值及此时动点的坐标。 变式2-1如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 变式2-2已知抛物线（、、是常数，）经过原点，且与轴交于，是顶点 (1)当顶点的纵坐标是时，求抛物线解析式； (2)若点在线段上，且点的横坐标为，是线段上一动点（不与重合），在右侧作平行四边形 ①当点落在抛物线上时，求点坐标； ②连接，，当的最小值是时，求点坐标． 变式2-3 已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点，分别是对称轴上两动点（在点下方）且，连接，．当取得最大值时，求的最大值； 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线、直线或对称轴上运动，要求求两条线段长度之差（ 或 ）的最大值/最小值，或求线段差取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、线段差、 最大值、 最小值、抛物线上一点、对称轴、三角形两边之差。 二、核心模型（必背） 模型 1：三角形三边关系型（ 最大值） 动点 在直线 上，定点 、 为平面内两点。 几何依据：三角形两边之差小于第三边，即 。 取等条件：当 、 、 三点共线，且 在 的延长线上时， （最大值）。 方法：连接 并延长，与直线 的交点即为所求 ，最大值为 的长度。 模型 2：同侧差最大型（ 最大值） 动点 在直线 上，定点 、 在 同侧，求 的最大值。 方法：作 关于 的对称点 ，则 。 当 、 、 三点共线且 在 延长线上时， 取最大值 。 模型 3：异侧差最大型（ 最大值） 动点 在直线 上，定点 、 在 异侧，求 的最大值。 方法：作 关于 的对称点 （此时 、 在同侧），转化为模型 2。 连接 并延长，与 的交点即为所求 ，最大值为 。 模型 4：差最小值型（ 最小值） 动点 在某曲线上运动，求 的最小值。 最小值为 0：当 时，即 在线段 的垂直平分线上。 方法：求 的垂直平分线与动点所在曲线的交点，若存在交点，则最小值为 0；若不存在，则需通过代数法求最值。 模型 5：二次函数型（代数最值） 动点 在抛物线上， 无法通过几何转化简化。 方法：设 ，用两点间距离公式表示 、 ，建立 关于 的函数，结合定义域求最值。 三、通用解题流程 第一步：判断模型类型 动点在直线上 → 优先考虑三角形三边关系或对称转化。 动点在抛物线上 → 考虑代数法或几何转化（如垂直平分线）。 求最大值 → 三点共线（延长线交点）。 求最小值 → 垂直平分线交点或代数法。 第二步：几何转化（若适用） 同侧直接连，异侧作对称。 将线段差转化为"三点共线"或"垂直平分线"问题。 第三步：代数表示（若需函数法） 设动点 ，用抛物线解析式表示 。 用两点间距离公式表示 、 。 建立 关于 的函数关系。 第四步：求最值 几何法：求直线方程，求交点坐标，计算线段长度。 代数法：对函数求导或分析单调性求最值（注意定义域）。 第五步：检验范围 交点是否在动点的运动范围内。 对称点是否正确。 三点共线时 是否在延长线上（而非线段内部）。 第六步：作答 写出线段差的最值及此时动点的坐标。 变式3-1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； 变式3-2抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线解析式和点坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最大．求出此时点的坐标和的最大值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 变式3-3如图抛物线，与轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得的值最大，求此点P的坐标； (3)点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； 类型四、利用二次函数求周长最值的问题 典例 4如图，抛物线与坐标轴分别交于、、三点． (1)直接写出点、、的坐标以及抛物线的对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是在轴右侧且在轴下方的抛物线上的一个动点，当时，求出点的坐标． 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线、直线或对称轴上运动，要求求三角形或四边形周长的最大值/最小值，或求周长取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、周长最大值/最小值、三角形周长、四边形周长、抛物线上一点、最短路径、定值+动值。 二、核心模型（必背） 模型 1：定边+动边型（最常见） 三角形中有一条边为定值（两端点固定），其余两边含动点。 方法：周长 = 定边 + 动边之和，转化为求动边之和的最值（将军饮马或二次函数）。 模型 2：铅垂线段+水平宽型 动点 在抛物线上，过 作坐标轴的垂线构造直角三角形。 方法：用勾股定理表示斜边，周长转化为关于 的二次函数求最值。 模型 3：将军饮马型（周长最小） 三角形两边含动点，求周长最小值。 方法：作定点关于动点所在直线的对称点，将折线转化为直线段（两点之间线段最短）。 模型 4：矩形/平行四边形周长型 动点构成特殊四边形，求周长最值。 方法：利用对边相等的性质，将周长表示为 （邻边之和），再求最值。 模型 5：胡不归型（加权周长） 周长表达式中含系数（如 ）。 方法：构造特殊角直角三角形，将加权线段转化为垂线段，再用"垂线段最短"求解。 三、通用解题流程 第一步：拆分周长 识别哪些边是定值（长度固定），哪些边是动值（含动点）。 周长 = 定边之和 + 动边之和。 第二步：表示动边长度 设动点 ，用抛物线解析式表示 。 用两点间距离公式或勾股定理表示各动边长度。 第三步：建立函数关系 将周长表示为关于 的函数 。 若能几何转化（将军饮马），先转化再计算；若不能，直接用代数法。 第四步：求最值 几何法：求对称点坐标，求直线方程，求交点坐标，计算周长。 代数法：对二次函数配方或用顶点公式求最值（注意定义域）。 第五步：检验范围 动点是否在抛物线的指定区间内运动。 交点是否在运动范围内。 特殊四边形的存在性条件是否满足。 第六步：作答 写出周长的最值及此时动点的坐标。 变式4-1抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为，，求的值． 变式4-2图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标； 变式4-3在平面直角坐标系中，点，点，点，抛物线（，，为常数，且）过，两点．点和点均在此抛物线上，其中，且轴．，两点关于原点的对称点分别为点和点． (1)若． ①求抛物线的解析式和其顶点坐标； ②求四边形周长的最大值，及此时的值； (2)平面内动点和（点在点左侧），满足轴，且．若，当取得最小值时，直接写出的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 2．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）． (1)当时， ①求的值和抛物线的对称轴； ②在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值； (2)当点在直线上方时，求点到直线的距离的最大值； (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求在抛物线和直线所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，， (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求此时点的坐标及的最小值； 4．二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． (1)点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； (2)在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 5．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 6．在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于，两点，且． (1)当，时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． (2)若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，，且，直接写出，，，的大小关系． 7．如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 8．二次函数的图像上，有点B与点C关于对称轴对称，一次函数的图象经过二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式． (2)抛物线对称轴上是否存在点M使得最短，如存在求点M坐标，如不存在说明理由． (3)点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作轴，交直线于点D．请求出点P在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点P的坐标； 9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； 10．如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)__________； (2)若，求点P的坐标． (3)求线段的最大值． 11．平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)是否存在直线与抛物线交于点M，N，使y轴平分的面积？若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上A，C两点之间的一动点，过点P作于点E．过点E作轴于点F，设，求的最大值． 12．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． (1)当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； (2)若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09二次函数中线段、周长的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数中的线段与周长综合问题是初中代数与几何综合的核心重难点，涵盖线段最值、线段和最值、线段差最值、周长最值四大类题型，所有问题均围绕动点坐标的代数表示、线段长度的函数建模、几何转化与代数运算的联动三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动点位置及线段长度必须用含自变量的代数式准确表示并明确定义域，二是涉及将军饮马、三点共线、垂直平分线等几何转化时必须结合动点运动范围和图形位置关系进行分类讨论，所有结果最终均需检验自变量是否在有效取值范围内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 典例1 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点，的抛物线与轴的另一个交点为点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)点是抛物线上位于直线下方的点，连接，，设点的横坐标为． ①请用含的式子表示的面积． ②过点作于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先由直线解析式求出点，的坐标，再用待定系数法求出抛物线所对应的函数解析式； （2）①过点作轴交直线于点，把分割为两个以为底的三角形，用含的式子表示的长，进而表示出的面积；②根据面积的两种求法得到关于的二次函数，再配方求其最大值． 【详解】（1）解：由可得，， 将，代入得， 解得， ； （2）解：①∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴点的坐标为， 过点M作轴交于点，交轴于点，过点作于点，如图所示， ∴点的坐标为， ∵点在点上方， ， ， ， ， ， ； ②，， ， 于点， ， ， ∴当时，取得最大值，为． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及三角形面积的求法，利用平行于坐标轴的线段把三角形的面积转化为关于的二次函数，再配方求最值是解题的关键． 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线或直线上运动，要求求某条线段长度的最大值/最小值，或求线段取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、线段长度、最大值/最小值、抛物线上一点、铅垂距离、最短路径。 二、通用解题流程 第一步：设点坐标 设动点 的横坐标为 （或参数 ），用抛物线解析式表示纵坐标 。 第二步：表示线段长度 铅垂线段： 。 两点距离： 。 注意去绝对值（根据图形判断上下位置关系）。 第三步：建立函数关系 将线段长度表示为关于 的二次函数 。 第四步：求最值 若 ，有最大值： ，此时 。 若 ，有最小值： ，此时 。 关键：检查顶点横坐标是否在动点的运动范围内。 第五步：检验范围 若顶点在范围内，直接取顶点值。 若顶点不在范围内，根据二次函数的增减性，在端点处取最值。 第六步：作答 写出线段的最值及此时动点的坐标。 变式1-1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，点是第一象限内抛物线上的一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交抛物线于点，连接，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，点到的距离最大值为 (3)直线恒过点 【分析】（1）根据对称轴求出，再将代入解析式求出，即可求解； （2）过点作轴，垂足为，交于点，先求出、的坐标，进而得到，则，得到，求出直线的解析式为，设，则，得到， 则当时，有最大值，此时最大，即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，，则，，结合题意可推出，根据三角函数得到，即 ，整理得， 设直线的表达式为，联立直线和抛物线并结合根与系数的关系得到，，则，得到直线的表达式即可判定． 【详解】（1）解： ， ， ， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）过点作轴，垂足为，交于点， 令得， 解得，， ， 令，则， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ， 设，则， ， 当时，有最大值，此时最大， ； 将代入，解得， 当时，点到的距离最大值为； （3）过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设，，则，， ，， ， ，即， ， 即， 设直线的表达式为， 令， 整理得， ，， ， 解得， ， 直线恒过点． 变式1-2已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线上时，过点作，垂足为点，求的最大值； 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为． (2) 【分析】（1）因为已知抛物线与x轴的两个交点A、B坐标，所以可设交点式，代入点C坐标求解参数；因为已知A、C两点坐标，所以代入一次函数一般式求解参数． （2）因为是点P到直线的距离，所以可设点P坐标，利用点到直线的距离公式写出关于点P横坐标的函数，再用二次函数性质求最大值；也可通过构造直角三角形，将转化为竖直方向线段与三角函数的乘积，再求最值． 【详解】（1）解：已知抛物线与x轴交于、， 设交点式， 将代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式：． 设直线的解析式为， 代入、： 得 ， 解得， ∴直线解析式：． （2）解：过点作轴，交直线于点． 设， 则， 因此： 由，， 可知是等腰直角三角形，。 ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 这是图象开口向下的二次函数， 当时，取最大值． 变式1-3 如图，抛物线（，为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)抛物线的函数解析式是__________； (2)如图①，点在轴下方的抛物线上，且点在第四象限，连接交轴于点．若，求点的横坐标； (3)如图②，是直线上方的抛物线上的动点（不与点，重合），过点作于点，求线段的最大值，及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为 (3)的最大值为；点的坐标为 【分析】（1）直接把、两点坐标代入抛物线，解方程组求出，，回代即可得到抛物线的函数解析式； （2）过点作轴于点，先求点坐标，由证是等腰直角三角形得，结合算出，设点坐标，利用直角三角形边角关系及勾股定理得，设点坐标列方程求解即可； （3）过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，先求直线解析式，设动点坐标并表示竖线段，利用角把转化为的表达式，再利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式是； （2）解：如图①，过点作轴于点， 对于抛物线，当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， 则，， ， 解得（不符合题意，舍去），， 点的横坐标为； （3）解：如图②，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为， 设，则， ， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为． 类型二、利用二次函数求线段和最值的问题 典例2 已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)①；②最大值为 【分析】（1）根据抛物线的对称性来求解点的坐标． （2）①先求出直线和直线的方程，再求出点的坐标，最后根据两点间距离公式求出的长． ②先求出，再将进行转化，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设点的坐标为． 点在抛物线上，其对称轴为直线， ．解得． 点B的坐标为． （2）①抛物线的对称轴为直线， 点P的坐标为，． ，． 抛物线经过点， ，．解得． 抛物线的解析式为． 点C的坐标为．有． ．可得，． 根据题意，．． ． ②如图，过点Q作轴，垂足为H，与相交于点N． ，， 直线的解析式为． 设点Q的坐标为，则点，点． ，． ， ． ，． ． ． 当时，取得最大值，最大值为． 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线或直线上运动，要求求两条（或多条）线段长度之和的最大值/最小值，或求线段和取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、线段和、 最小值、 最大值、抛物线上一点、对称轴、最短路径。 二、核心模型（必背） 模型 1：将军饮马型（同侧取对称） 动点 在直线 上，定点 、 在 同侧，求 的最小值。 方法：作 关于 的对称点 ，则 ，当 为 与 的交点时取最小值。 模型 2：异侧直接连线型 动点 在直线 上，定点 、 在 异侧，求 的最小值。 方法：直接连接 ，与 的交点即为所求 ，最小值为 的长度。 模型 3：二次函数型（代数最值） 动点 在抛物线上， 无法通过对称转化为定值。 方法：设 ，用两点间距离公式表示 ，转化为关于 的函数求最值（通常需结合几何意义简化）。 模型 4：胡不归型（加权线段和） 求 （ ）的最小值。 方法：构造含 30° 或特殊角的直角三角形，将 转化为某条垂线段，再用"垂线段最短"求解。 模型 5：阿氏圆型（定比线段和） 动点 在圆上，求 的最小值。 方法：构造阿波罗尼斯圆，利用相似三角形转化。 三、通用解题流程 第一步：判断模型类型 动点在直线上 → 优先考虑将军饮马（对称转化）。 动点在抛物线上 → 考虑代数法或几何转化。 涉及系数 → 考虑胡不归或阿氏圆。 第二步：几何转化（若适用） 同侧作对称，异侧直接连。 将折线转化为直线段（两点之间线段最短）。 第三步：代数表示（若需函数法） 设动点 ，用抛物线解析式表示 。 用两点间距离公式表示各线段长度。 建立线段和关于 的函数关系。 第四步：求最值 几何法：求对称点坐标，求直线方程，求交点坐标，计算线段长度。 代数法：对函数求导或配方求最值（注意定义域）。 第五步：检验范围 交点是否在动点的运动范围内。 对称点是否正确。 代数法中根号内的表达式是否非负。 第六步：作答 写出线段和的最值及此时动点的坐标。 变式2-1如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， 顶点坐标为 (2) 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线解析式中，可求得值，然后将抛物线化为顶点式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据点、关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点坐标； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，点的坐标为， ∴将点的坐标代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴点、关于抛物线的对称轴对称， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 连接交抛物线对称轴于点，如图，则此时的值最小， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点的坐标为； 变式2-2已知抛物线（、、是常数，）经过原点，且与轴交于，是顶点 (1)当顶点的纵坐标是时，求抛物线解析式； (2)若点在线段上，且点的横坐标为，是线段上一动点（不与重合），在右侧作平行四边形 ①当点落在抛物线上时，求点坐标； ②连接，，当的最小值是时，求点坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）已知点坐标及原点坐标，可设抛物线的交点式，再将顶点的坐标代入求解析式； （2）①先求出直线的解析式，代入点的横坐标，求出点的坐标，然后设点坐标为，由四边形是平行四边形，表示出点的坐标，再根据点落在抛物线上，将点坐标代入抛物线解析式即可求出的值，从而得到点的坐标； ②作关于轴的对称点，得到，在直线上取点，使四边形为平行四边形，从而得到，因此的最小值转化为的最小值，根据三角形的三边关系得，在三角形中，，而当运动到线段上时取等号，此时为最小值，由此求出参数的值，最后使用待定系数法求出的解析式，再令，求出其与轴交点的坐标即为点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过原点且与轴交于， 设， 对称轴为，顶点坐标， 由顶点的纵坐标是得，， 解得， ． （2）①，， 直线解析式为， 在线段上且横坐标为， 代入得， ． 如图，设 ， 由四边形是平行四边形，得 ，， ． 点在抛物线上， 代入得，， ， ， 解得，即． ， ，即． ②如图，作关于轴的对称点，则； 在直线上取点，则且， 四边形为平行四边形， ． ， 当运动到线段上时取等号． 由最小值取，得， ， 又， ． 此时，，， 设直线：， ，解得． 直线：， 令，得， ． 变式2-3 已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； 【详解】（1）解：将，代入中， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为， 当时，有， 解得：，， 点的坐标为， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 在抛物线的对称轴上，存在点使的值最小，点的坐标为． 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点，分别是对称轴上两动点（在点下方）且，连接，．当取得最大值时，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入即可求解； （2）过点作轴交于点，设，则，分别求出的面积，的面积，则，当时，取最大值，此时；连接，过点作，过点作，可得，再由，可求的最大值为； 【详解】（1）解：当时，， ， 设抛物线解析式为， 将点代入，， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 设，则， ， 的面积，的面积， ， 当时，取最大值，此时； 连接，过点作，过点作， ，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最大值为； 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线、直线或对称轴上运动，要求求两条线段长度之差（ 或 ）的最大值/最小值，或求线段差取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、线段差、 最大值、 最小值、抛物线上一点、对称轴、三角形两边之差。 二、核心模型（必背） 模型 1：三角形三边关系型（ 最大值） 动点 在直线 上，定点 、 为平面内两点。 几何依据：三角形两边之差小于第三边，即 。 取等条件：当 、 、 三点共线，且 在 的延长线上时， （最大值）。 方法：连接 并延长，与直线 的交点即为所求 ，最大值为 的长度。 模型 2：同侧差最大型（ 最大值） 动点 在直线 上，定点 、 在 同侧，求 的最大值。 方法：作 关于 的对称点 ，则 。 当 、 、 三点共线且 在 延长线上时， 取最大值 。 模型 3：异侧差最大型（ 最大值） 动点 在直线 上，定点 、 在 异侧，求 的最大值。 方法：作 关于 的对称点 （此时 、 在同侧），转化为模型 2。 连接 并延长，与 的交点即为所求 ，最大值为 。 模型 4：差最小值型（ 最小值） 动点 在某曲线上运动，求 的最小值。 最小值为 0：当 时，即 在线段 的垂直平分线上。 方法：求 的垂直平分线与动点所在曲线的交点，若存在交点，则最小值为 0；若不存在，则需通过代数法求最值。 模型 5：二次函数型（代数最值） 动点 在抛物线上， 无法通过几何转化简化。 方法：设 ，用两点间距离公式表示 、 ，建立 关于 的函数，结合定义域求最值。 三、通用解题流程 第一步：判断模型类型 动点在直线上 → 优先考虑三角形三边关系或对称转化。 动点在抛物线上 → 考虑代数法或几何转化（如垂直平分线）。 求最大值 → 三点共线（延长线交点）。 求最小值 → 垂直平分线交点或代数法。 第二步：几何转化（若适用） 同侧直接连，异侧作对称。 将线段差转化为"三点共线"或"垂直平分线"问题。 第三步：代数表示（若需函数法） 设动点 ，用抛物线解析式表示 。 用两点间距离公式表示 、 。 建立 关于 的函数关系。 第四步：求最值 几何法：求直线方程，求交点坐标，计算线段长度。 代数法：对函数求导或分析单调性求最值（注意定义域）。 第五步：检验范围 交点是否在动点的运动范围内。 对称点是否正确。 三点共线时 是否在延长线上（而非线段内部）。 第六步：作答 写出线段差的最值及此时动点的坐标。 变式3-1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)，取得最大值 【分析】（1）把点和点代入计算即可； （2）先求出，得到，根据平行得到，设，过作于，即可得到 ，最后根据 求出取最大值，此时；取点，连接，，，则垂直平分，得到，根据当，，三点共线时，取得最大值，； 【详解】（1）解：把点和点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴当时，，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵过点P作，交于点D， ∴， ∵P为线段上方抛物线上的一动点， ∴设，， 过作于， ∴， ∴，，， ∴ ， ∴当时，取最大值，此时，即； 取点，连接，，，则， ∴，即垂直平分， ∴， ∵中，即， ∴当，，三点共线时，取得最大值，； 变式3-2抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线解析式和点坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最大．求出此时点的坐标和的最大值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点的坐标为． (2)点的坐标为，的最大值为． (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据，得到，则当P、A、C三点共线时，有最大值，最大值为线段的长，据此求解即可； （3）求出直线的解析式为；设，则，，求出，，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可知点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入解析式得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，连接， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴当P、A、C三点共线时，有最大值，最大值为线段的长， 在中，当时，， 在中，， ∴， ∴点的坐标为，的最大值为． （3）解：如图所示， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴，， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴当有最大值时，点M的坐标为． 变式3-3如图抛物线，与轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得的值最大，求此点P的坐标； (3)点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在点满足要求，点坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图像与性质及二次函数与一次函数综合， （1）用待定系数法求二次函数表达式； （2）根据抛物线特征得出当三点共线时，最大，求出直线的解析式为，即可求出结论； （3）设直线与轴交于点，过点作于，先求出直线的解析式为，证出，设点，根据列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的对称性得，点关于抛物线对称轴的对称点是点A， ， ， 当三点共线时，最大， 如图，连接，并延长交抛物线的对称轴于点， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 点； （3）存在满足条件，理由如下： 抛物线与轴交于两点， 点， ， 顶点为， 点为，点， 直线的解析式为：， 如图，设直线与轴交于点，过点作于， 点， ， ， ， ， ， ， 设点， 点到直线的距离等于点到点A的距离， ， ， ，即， ， ， 存在点满足要求，点坐标为或． 类型四、利用二次函数求周长最值的问题 典例 4如图，抛物线与坐标轴分别交于、、三点． (1)直接写出点、、的坐标以及抛物线的对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是在轴右侧且在轴下方的抛物线上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，，，对称轴为 (2)存在，点的坐标为 【分析】（1）令、分别为，求出抛物线与坐标轴的交点，用对称轴公式求出对称轴； （2）利用点和点关于对称轴对称，把转化为，连接与对称轴的交点即为，求出直线的解析式进而求出的坐标； 【详解】（1）解：已知抛物线， 则其对称轴为直线， 令，则， 可得， 解得，， 则点的坐标为，点的坐标为， 令，则， 故点的坐标为． （2）解：如图，连接交抛物线对称轴于点，连接， 、两点关于对称轴对称，且点在对称轴上， 则， 可得的周长为， 当点为与对称轴的交点时，取得最小值，即， 设直线的解析式为， 将点的坐标，点的坐标代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故此时点的坐标为． 题型模版 一、题型特征 题目以平面直角坐标系为背景，给出抛物线解析式（或含参抛物线），设置动点在抛物线、直线或对称轴上运动，要求求三角形或四边形周长的最大值/最小值，或求周长取最值时动点的坐标。 核心标志词：动点、周长最大值/最小值、三角形周长、四边形周长、抛物线上一点、最短路径、定值+动值。 二、核心模型（必背） 模型 1：定边+动边型（最常见） 三角形中有一条边为定值（两端点固定），其余两边含动点。 方法：周长 = 定边 + 动边之和，转化为求动边之和的最值（将军饮马或二次函数）。 模型 2：铅垂线段+水平宽型 动点 在抛物线上，过 作坐标轴的垂线构造直角三角形。 方法：用勾股定理表示斜边，周长转化为关于 的二次函数求最值。 模型 3：将军饮马型（周长最小） 三角形两边含动点，求周长最小值。 方法：作定点关于动点所在直线的对称点，将折线转化为直线段（两点之间线段最短）。 模型 4：矩形/平行四边形周长型 动点构成特殊四边形，求周长最值。 方法：利用对边相等的性质，将周长表示为 （邻边之和），再求最值。 模型 5：胡不归型（加权周长） 周长表达式中含系数（如 ）。 方法：构造特殊角直角三角形，将加权线段转化为垂线段，再用"垂线段最短"求解。 三、通用解题流程 第一步：拆分周长 识别哪些边是定值（长度固定），哪些边是动值（含动点）。 周长 = 定边之和 + 动边之和。 第二步：表示动边长度 设动点 ，用抛物线解析式表示 。 用两点间距离公式或勾股定理表示各动边长度。 第三步：建立函数关系 将周长表示为关于 的函数 。 若能几何转化（将军饮马），先转化再计算；若不能，直接用代数法。 第四步：求最值 几何法：求对称点坐标，求直线方程，求交点坐标，计算周长。 代数法：对二次函数配方或用顶点公式求最值（注意定义域）。 第五步：检验范围 动点是否在抛物线的指定区间内运动。 交点是否在运动范围内。 特殊四边形的存在性条件是否满足。 第六步：作答 写出周长的最值及此时动点的坐标。 变式4-1抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出、的值，即可得出答案； （2）设，根据得出是等腰直角三角形，利用勾股定理得出的周长为，设直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，可得，，进而得出的周长为，根据二次函数的性质得出当时，的周长最大，即可得出点的坐标； （3）连接，，设，直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，设直线的解析式为，同理得出，，可得，进而得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：设， ，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴ ∴的周长为， ∴当时，的周长最大， 此时，即． （3）解：如图所示，连接，， 设，直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 根据根与系数的关系可得， ， ，， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， ∴，， ， ，， ， 解得：， ． 变式4-2图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）抛物线与轴交于点，对称轴为直线，据此进行解答即可； （2）根据对称性求出点的横坐标为，点的横坐标为，代入函数解析式即可求出答案； （3）作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则，此时取得最小值，此时的周长最小，求出直线的解析式为，当时求出，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴ 解得 ∴ （2）解：∵对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标，点的坐标； （3）解：如图，作点关于轴的对称点为，则，连接，，交轴于点，则， 此时取得最小值，此时的周长最小， 设直线的解析式为，代入点的坐标得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点D的坐标为； 变式4-3在平面直角坐标系中，点，点，点，抛物线（，，为常数，且）过，两点．点和点均在此抛物线上，其中，且轴．，两点关于原点的对称点分别为点和点． (1)若． ①求抛物线的解析式和其顶点坐标； ②求四边形周长的最大值，及此时的值； (2)平面内动点和（点在点左侧），满足轴，且．若，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)①，其顶点坐标为；②四边形周长的最大值为37，此时的值为 (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②由题意得，，，，利用坐标与图形性质得四边形周长，然后利用二次函数的图象与性质求解即可； （2）先得到，进而可得点M、N、P、Q的坐标，则有四边形是矩形，且，轴，，，，根据题意，画出草图如下：作平行四边形，将绕点Q逆时针旋转得到，连接，，由平行四边形性质、旋转性质和等边三角形的判定与性质得到，，，，则，当点M、E、、H共线时取等号，此时的值最小，最小值为的长，则，过作交延长线于G，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：①将，，代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为，其顶点坐标为； ②由得抛物线的对称轴为y轴， ∵点和点均在此抛物线上，，且轴， ∴M、N关于y轴对称，且在x轴的下方，则，， ∵，两点关于原点的对称点分别为点和点， ∴，，且P、Q在x轴的上方， ∴四边形周长 ， ∵，， ∴当时，周长最大，最大值为37； （2）解：将，代入中， 得，解得， ∴， ∵， ∴，，，， ∴四边形是矩形，且，轴，，， ∵轴，即轴， ∴， 根据题意，画出草图如下：作平行四边形，则，，将绕点Q逆时针旋转得到，连接，， 则，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，当点M、E、、H共线时取等号，此时的值最小，最小值为的长，则， 过作交延长线于G，则， ∵， ∴， ∴，则， 在中，由得， 解得，， ∵， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，利用待定系数法求出解析式即可； （2），连接与抛物线的对称轴交于点，此时的周长最小，求出，进一步求出直线的解析式为，由的对称轴是直线，即可得到； 即可得到，得到四边形的面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， 将，代入得到 解得 ∴抛物线的解析式是 （2）解：如图所示，连接与抛物线的对称轴交于点，则， ∵， ∴此时的周长最小， 此 ∵，， ∴ ∴， 设直线的解析式为，把，代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∵的对称轴是直线， 当时，， ∴ 2．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）． (1)当时， ①求的值和抛物线的对称轴； ②在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值； (2)当点在直线上方时，求点到直线的距离的最大值； (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求在抛物线和直线所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 【答案】(1)①；直线；②当点P的坐标为时，的周长有最小值，最小值为； (2)1 (3)232 【分析】（1）①求出点A和点B的坐标，根据求出m的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式即可得到对称轴；②连接，可推出抛物线与x轴交于点和点，则由对称性可得，可证明当B、D、P三点共线时，的周长有最小值，利用勾股定理求出的长，再求出点P的坐标即可； （2）把抛物线的解析式化为顶点式求出点C的坐标，进而表示出点到直线的距离，最后根据二次函数的性质求解即可； （3）求出直线和抛物线的交点坐标，然后求出对应整数x下两个函数的函数值，从而确定对应整数x下的整点数，最后求和即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴交于点， ∴； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ②如图所示，连接， 在中，当时，，解得或， ∴抛物线与x轴交于点和点， ∴由对称性可得， ∴的周长， ∴当B、D、P三点共线时，的周长有最小值， 在中，， ∴， 在中，当时，， ∴当点P的坐标为时，的周长有最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∵点在直线上方， ∴点C到直线l的距离， ∵， ∴当时，点C到直线l的距离有最大值，最大值为1； （3）解：当时，抛物线的解析式为 直线的解析式为， 联立上述两个解析式，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，； 当时，，故横坐标为1的整点有1个， 当时，，故横坐标为0的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个，     当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 综上所述，一共有个整点． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，， (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求此时点的坐标及的最小值； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）将，分别代入中，求解可得点的坐标为，点的坐标分别为：、，结合题意可得，待定系数法求得直线的表达式为：，设点，则点，即，当时，取得最大值，进而求得点、，，将点 向右平移个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，利用平行四边形的判定和性质可得，故此时 为最小． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：；· （2）解：将代入中，即， ∴点的坐标为， 将代入中，即， 解得：，， ∴点的坐标分别为：、， ∵点为线段的中点，，， ∴点， 设直线的表达式为， 将，分别代入上式，即 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值， 即点、， ∴， 将点 向右平移个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，则， 则此时 为最小； 4．二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． (1)点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； (2)在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设M，N横坐标为，利用纵坐标之差表示铅垂线段，构造二次函数，配方法求最值；注意自变量范围，对称轴在区间内． （2）由，且、互相平分，可证四边形为平行四边形；由平行四边形对边相等列方程求出候选横坐标，再结合条件，利用勾股定理验证邻边是否相等，筛选出符合菱形要求的解． 【详解】（1）解：把代入直线得， 即； 已知，轴， 将代入直线解析式，得 ，即， ． 设点M、N的横坐标为， ，． 在上方， ， ∴抛物线开口向下，自变量取值范围为，对称轴在此区间内， 当时，取得最大值． （2）连接，， 轴，轴， ． 又与互相平分， 四边形是平行四边形． 由平行四边形对边相等，得： 整理得， ， 解得． ①当时， ，，， ，， 由勾股定理，， ，平行四边形邻边相等，是菱形，满足，符合题意． ②当时， ，，， ，， ，邻边不相等，对角线不垂直，舍去． 综上，满足条件的点坐标为． 5．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先令求得点C的坐标，再令求得点A和点B的坐标，然后求得的面积； （2）先由轴求得点D的坐标得到线段的长度，然后结合得证，再利用相似三角形的性质得到的面积； （3）过点D作轴交于点F，过点E作于点H，然后由可知的度数不变，由轴可知的度数不变，从而知道在点D的移动过程中的形状保持不变，即有当最大时，的长度也最大，然后设点D的坐标，进而得到点F的坐标，再表示出的长度，得到取最大值时的点D的坐标，即可得到直线的解析式，最后联立直线的解析式和直线的解析式求得点E的坐标，进而得到长的最大值． 【详解】（1）解：当时，， ∴，则， 当时，由解得：或， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点D作轴交于点F，过点E作于点H， ∵，， ∴，，则， ∴的度数不变，的度数不变， ∴在点D的移动过程中的形状保持不变， ∴当最大时，的长度也最大， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标，则点F的坐标， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，此时，点D的坐标为， ∴直线是由直线向右平移3个单位所得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得，解得：， ∴点E的坐标为， ∴的最大值． 6．在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于，两点，且． (1)当，时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． (2)若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，，且，直接写出，，，的大小关系． 【答案】(1)；存在最大值，最大值是，点的坐标是 (2) 【分析】（1）①设，把代入求解即可；②过点作轴于点，交线段于点．由等腰三角形的判定及性质，结合勾股定理得，由待定系数法求出直线的表达式为，当的值最大时，的值最大，设，则，表示出，利用二次函数图象的性质，即可求解； （2）由二次函数图象的平移得向下平移一个单位得到，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴设， 把代入得， ， ∴抛物线的解析式为； 存在最大值． 如图所示，过点作轴于点，交线段于点， 令代入中得，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线的表达式为． ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴，即， ∴当的值最大时，的值最大． 设，则， ∴， ∵， ∴图象开口向下， 对称轴为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴的最大值为， 把代入中得，， ∴存在最大值，最大值是，点的坐标是； （2）解：由题意得，向下平移一个单位得到， 如图， ∴． 7．如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式； （2）将抛物线表达式与直线联立求解可得点的坐标； （3）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． （2）联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点D在第二象限，点E在第四象限）， ∴，． （3）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（2）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 8．二次函数的图像上，有点B与点C关于对称轴对称，一次函数的图象经过二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式． (2)抛物线对称轴上是否存在点M使得最短，如存在求点M坐标，如不存在说明理由． (3)点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作轴，交直线于点D．请求出点P在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点P的坐标； 【答案】(1)二次函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)存在点M使得最短，此时点M的坐标为 (3)长度的最大值为，点P的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，则可求出点C的坐标，再由对称性求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点D，连接，求出点D的坐标，可证明当C、M、D三点共线时有最小值，求出直线的解析式，进而求出点M的坐标即可； （3）设，则，可求出，据此求解即可； 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点B与点C关于对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图所示，设抛物线与x轴的另一个交点为点D，连接， 由对称性可得，， ∴， ∴当C、M、D三点共线时有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴存在点M使得最短，此时点M的坐标为； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，长度有最大值，最大值为， 此时，即点P的坐标为； 9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，求出直线解析式，将代入求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴，，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； 10．如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)__________； (2)若，求点P的坐标． (3)求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入二次函数解析式计算即可得出结果； （2）由（1）可得二次函数的解析式为，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，，表示出，，再结合计算即可得出结果； （3）由（2）可得，再结合二次函数的性质计算即可得出结果； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点D在线段上运动（不与点O，点A重合）， ∴设点的坐标为， ∵过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为； 11．平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)是否存在直线与抛物线交于点M，N，使y轴平分的面积？若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上A，C两点之间的一动点，过点P作于点E．过点E作轴于点F，设，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在，， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，先得出，再联立直线和二次函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，利用根的判别式、根与系数的关系求解即可； （3）过点作轴的垂线，交于点，延长，交于点，先得出，再设点的坐标为，求出的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． （2）解：设点的横坐标为，点的横坐标为， ∵直线与抛物线交于点，，使轴平分的面积， ∴点与点的横坐标互为相反数（理由是同底等高）， ∴， 联立得：， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式，， ∴， 解得， ∴， 解得， 综上，存在直线与抛物线交于点，，使轴平分的面积，、满足的条件是，． （3）解：当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作轴的垂线，交于点，延长，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵轴，，即轴， ∴， ∴点是的中点（等腰三角形的三线合一）， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴，，即， 将代入函数得：， 解得， ∴， ∴， 令，解得或（舍去）， ①当时，， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为； ②当时，， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为． 12．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． (1)当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； (2)若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 【答案】(1)①抛物线的解析式为，点的坐标为；②线段的最大值为，此时点的坐标为； (2)，抛物线解析式为 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式，进而可求得点B坐标； ②先求出直线的解析式，进而表示出点E、F的坐标，利用坐标与图形的性质，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）利用抛物线的两点式得到，则，则；根据抛物线的对称性得到，当B、P、C共线时取等号，的最小值为的长，进而列方程求得n值即可． 【详解】（1）解：当，时，， ①将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则，解得，， ∴点的坐标为； ②对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵是线段上一点，是抛物线上一点，且轴， ∴，，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，，则； 当时，，则， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴，当B、P、C共线时取等号， ∴的最小值为的长， ∵，的最小值为， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $