第25章 二次函数（单元分层测试·基础通关卷）数学新教材华东师大版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．二次函数的大致图象是下面选项中的（     ） A． B． C． D． 4．已知两点在抛物线上，那么的大小关系为（     ） A． B． C． D．不确定 5．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则该抛物线与轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 7．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长的百分数都是，那么与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 8．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（     ） A． B． C． D． 9．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 10．如图是二次函数的图象，下列结论中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知二次函数，当自变量时，对应的函数值_____． 12．已知方程的两根是，，则抛物线与轴的两个交点间的距离为________． 13．请写出一个开口向下，且经过点的抛物线所对应的二次函数解析式：__________． 14．如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是__________． 15．若二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根之和为_______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知：抛物线与轴交于点，，求此抛物线的解析式． 17．（8分）受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 18．（8分）写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（9分）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 20．（10分）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 21．（10分）已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 22．（10分）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 23．（12分）二次函数的图象与轴相交于，两点，其中点在点的左侧，图象与轴相交于点，图象的顶点为点，图象的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式： (2)直接写出点，点和点的坐标； (3)请在给出的平面直角坐标系中，描出点，，，，并画出二次函数的图象； (4)根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和则（从符号，，中选择一个填空）； ②当时，则的取值范围是__________． ③的面积为__________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是（) B.y=x+42-x2 c.ys1」 D.y=x2x-1) 2.抛物线y=-(x-1尸+的对称轴是(） A.直线x=-1 B.直线x=1 C,直线x=- 2 D.直线x= 3.二次函数， 女y=-x-1?+3的大致图象是下面选项中的() 4.已知A-3,y小B0,y2两点在抛物线y=x+2P上，那么y1、y,的大小关系为() A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.不确定 5.已知抛物线y=x2-6x+c与X轴的一个交点坐标为4,0，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为 () A.2,0 B.8,0 c.-10,0 D.-16,0 6.在平面直角坐标系中，将函数 y=(x-1P+2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表 达式为() A. y=(x-12-1 B.y=(x-4}+2 C.y=(x-12+5 D.y=(x+22+2 7.某公司的生产利润原来是100万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x, 115 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 那么y与x之间的函数关系式是() A. y=100+x2 y=100+x2 C.y=1001-x D.y=10l1+x 8。如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y= 号X,当水面离桥顶的高度为3m时，水面的宽度 为() y/m个 衣/m A.3m B.4m C.6m D.9m 9.若二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴只有一个交点，则c的值为() A.1 B.2 C.3 D.5 10.如图是二次函数y=ax+bx+c的图象，下列结论中正确的是() ①b2-4ac>0;②b=2a;③a-b+c>0:④abc<0. v=ax+bx+c -1O A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知二次函数y=x2+2,当自变量x=3时，对应的函数值y=一 12.己知方程x-7x-18=0的两根是9，一2，则抛物线y=x2-7x-18与x轴的两个交点间的距离为 13.请写出一个开口向下，且经过点0,2的抛物线所对应的二次函数解析式： 14.如果抛物 线y=a+1X（a为带数)开口向下，那么。的取值范围是 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.若二次函数y=x2-2x+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-2x+c=0的两根之和为 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)已知：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点-4,0,1,0，求此抛物线的解析式. 17.(8分)受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度.在某次训练中，他 将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度h(单位：)与足球飞行的时间t(单位：s)满足 h=-5t+20t,求足球从踢出到落地的时间. 2026 FIFA WORLD CUP UNITED STATESICANADAIMEXICO 18.(8分)写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (四y=8X2-16x+8 2y=x y=2+5x: ④y=2(x-1P-5 19.(9分)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出 的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m,水柱落地处离池中心3.6m,水管 的长应为多少？ 20.(10分)己知二次函 数y=-(x+1P+hh为常数)的图象经过点A-2,2 3/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此二次函数的解析式： (2)将抛物线先向左平移n(n>0)个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的 值. 21.(10分)己知二次函数y=-x+a的图象经过点P1,-2. (1)求a的值： (2)若点Q-2,m在该函数的图象上，求m的值. 22.(10分)如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A-2,0,B4,0. B (1)求抛物线的函数表达式： (2)当0≤x≤3时，y的最大值为； (3)M为抛物线上一点，若S△MAB=48,求此时点M的坐标. 23.(12分)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A,B两点，其中点A在点B的左侧，图象与y 轴相交于点C0,-5,图象的顶点为D点，图象的对称轴为直线x=-3. 3 -7-6-5-4-3-2-10 3 5 6 (1)求二次函数的解析式： 415 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)直接写出点D,点A和点B的坐标： (3)请在给出的平面直角坐标系中，描出点A,B,C,D,并画出二次函数y=-x+bx+c的图象； (4)根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点P-7,y,和P,1,y,侧y1-y,(从符号<，>’=中选择一个填空)： ②当-4<x<-2时，则y的取值范围是 ③△ADC的面积为 515 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A A A A D C A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．11 12．11 13．（答案不唯一） 14． 15．2 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分） 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴，（3分） 解得，（6分） ∴此抛物线的解析式为．（8分） 17．（8分） 【详解】解：足球落地时， 由题意得，（3分） 解得（舍去），． 答：足球从踢出到落地的时间为．（8分） 18．（8分） 【答案】(1)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（2分） (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（4分） (3)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（6分） (4)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（8分） 19．（9分） 【详解】解：以池中心为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系 由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点（2分） 设抛物线的解析式为（） 将代入解析式，得 （4分） 解得（6分） ∴抛物线的解析式为（）（7分） 当时， 答：水管的长应为．（9分） 20．（10分） 【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为；（5分） （2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即，（7分） ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：将代入得， ∴；（4分） （2）解：∵ ∴（7分） 将代入得，．（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为．（3分） （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为．（5分） （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得，（8分） 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或．（10分） 23．（12分） 【详解】（1）解：由二次函数中，，对称轴为， 则由对称轴公式可得，即，解得， ∵图像与y轴交点为点， ∴， 故二次函数解析式为．（3分） （2）∵点D为顶点， ∴， ∴， ∴点D坐标为， 令，即，解得、， ∵点在点的左侧， ∴、， 综上点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为．（6分） (3)（9分） (4)①（10分） ②（11分） ③（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第25章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：是正比例函数，不是二次函数． B选项：是一次函数，不是二次函数． C选项：，右边不是整式，不是二次函数． D选项：，是二次函数． 2．抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解：该抛物线解析式为顶点式，故其对称轴为直线． 3．二次函数的大致图象是下面选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数解析式写出顶点坐标和对称轴，即可判断． 【详解】解：∵二次函数， 则可得二次函数的顶点是：，对称轴是 ， 又∵， ∴图象开口向下， 所以选项A图象符合． 4．已知两点在抛物线上，那么的大小关系为（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 5．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则该抛物线与轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，且一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即交点坐标为． 6．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象的平移规律“上加下减”即可得答案． 【详解】解：∵ 函数图象向下平移3个单位长度 ∴ 所得抛物线对应的函数表达式为 即． 7．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长的百分数都是，那么与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第二次增长是在第一次增长的基础上增长的，经过连续两年的增长达到，再结合题意即可解答． 【详解】解：∵某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，每年增长的百分数都是， ∴一年后为，两年后为，即与之间的函数关系式是． 8．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，， 解得：， 故水面的宽度为米． 9．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：令，则， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得：． 10．如图是二次函数的图象，下列结论中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由二次函数的图象与轴有两个交点即可判断①正确；由二次函数的图象的对称轴为直线即可判断②正确；由二次函数图象可得，当时，，从而可得③错误；由二次函数图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； 由二次函数图象可得，当时，，故③错误； 由二次函数图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知二次函数，当自变量时，对应的函数值_____． 【答案】 11 【分析】已知二次函数解析式，将给定的自变量取值代入解析式，即可计算得到对应的函数值． 【详解】解：∵ 二次函数解析式为 ∴ 当时，将代入解析式得． 12．已知方程的两根是，，则抛物线与轴的两个交点间的距离为________． 【答案】11 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标为对应一元二次方程的根，x轴上两点间的距离等于两点横坐标差的绝对值． 【详解】解：∵方程的两根是，， ∴抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，， ∴两个交点间的距离为． 13．请写出一个开口向下，且经过点的抛物线所对应的二次函数解析式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据抛物线开口向下的性质确定二次项系数的符号，结合抛物线经过的定点确定常数项取值，构造符合要求的二次函数解析式即可． 【详解】解：抛物线开口向下， 二次项系数小于0. 设满足条件的二次函数解析式为， 抛物线经过点， 将代入解析式，可得， 符合条件的一个二次函数解析式为（答案不唯一）. 14．如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数满足， 移项解得． 15．若二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根之和为_______． 【答案】 2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，直接代入系数计算即可． 【详解】解：关于 的一元二次方程 中， 二次项系数 ，一次项系数 . 设方程的两根为 ，. 根据根与系数的关系，得 代入数据得 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知：抛物线与轴交于点，，求此抛物线的解析式． 【答案】． 【分析】将抛物线与轴的两个交点坐标代入一般式，建立关于，的方程组，求解后即可确定解析式． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴，（3分） 解得，（6分） ∴此抛物线的解析式为．（8分） 17．（8分）受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 【答案】足球从踢出到落地的时间为 【详解】解：足球落地时， 由题意得，（3分） 解得（舍去），． 答：足球从踢出到落地的时间为．（8分） 18．（8分）写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（2分） (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（4分） (3)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（6分） (4)二次项系数是，一次项系数是，常数项是（8分） 【详解】（1）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （2）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （3）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （4）解：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 19．（9分）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 【答案】 水管的长应为 【分析】建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，代入落地点坐标求出系数，计算时的函数值即为水管长度． 【详解】解：以池中心为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系 由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点（2分） 设抛物线的解析式为（） 将代入解析式，得 （4分） 解得（6分） ∴抛物线的解析式为（）（7分） 当时， 答：水管的长应为．（9分） 20．（10分）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为；（5分） （2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即，（7分） ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2．（10分） 21．（10分）已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）得到，然后将代入即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴；（4分） （2）解：∵ ∴（7分） 将代入得，．（10分） 22．（10分）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为．（3分） （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为．（5分） （3）解： 、， ， 设， 则， 即， 解得，（8分） 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或．（10分） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 23．（12分）二次函数的图象与轴相交于，两点，其中点在点的左侧，图象与轴相交于点，图象的顶点为点，图象的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式： (2)直接写出点，点和点的坐标； (3)请在给出的平面直角坐标系中，描出点，，，，并画出二次函数的图象； (4)根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和则（从符号，，中选择一个填空）； ②当时，则的取值范围是__________． ③的面积为__________． 【答案】(1) (2)的坐标为、点的坐标为、点的坐标为 (3) (4)① ② ③ 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式求出b，再将代入函数得到c，即可写出二次函数解析式． （2）把对称轴代入函数求得顶点D纵坐标；令解一元二次方程，结合点的左右位置，得到A、B的坐标． （3）根据求出的A、B、C、D坐标在坐标系描点，再结合抛物线开口方向，平滑连接各点画出抛物线图象． （4）①计算两点横坐标的平均值，恰好等于抛物线对称轴，说明两点关于对称轴对称，因此函数值相等． ②抛物线开口向下，对称轴落在给定区间内，先得到区间内函数最大值，再计算区间端点处函数值，结合开区间条件写出y的范围． ③可通过“铅锤法”求解． 【详解】（1）解：由二次函数中，，对称轴为， 则由对称轴公式可得，即，解得， ∵图像与y轴交点为点， ∴， 故二次函数解析式为．（3分） （2）∵点D为顶点， ∴， ∴， ∴点D坐标为， 令，即，解得、， ∵点在点的左侧， ∴、， 综上点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为．（6分） (3)（9分） (4)①（10分） ②（11分） ③（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $