第4章 幂函数、指数函数与对数函数（单元分层测试·能力提升卷）高一数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元测试 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、3 2、 3、 4、 5、（答案不唯一） 6、 7、 8、1 9、 10、 11、 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 C D B C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、 【详解】（1）令，得， 则， 3分 所以，故是指数函数 6分 （2）因为是减函数． 因为，，所以在上的值域为． 8分 当，时，， 则在上的值域为． 11分 当，时，， 则在上的值域为． 14分 18、 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 3分 幂函数在区间上单调递减，所以，即. 6分 （2）解：由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 8分 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 10分 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 12分 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 14分 19、 【详解】（1）因为，所以， 即，可得， 解得，即， 解得，所以. 6分 （2）， 令，，. ，其对称轴， 8分 ①当，即时，，即， 解得，满足； 11分 ②当即时，，即， 解得，满足； 综上，或. 14分 20、 【详解】（1）当时，. 当时，， 则， 2分 当，即时等号成立， 即在上的值域为． 4分 （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 6分 当时，由， 当时，由， 得， 8分 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 10分 （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 13分 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 16分 故只需，即. 故实数的取值范围为． 18分 21、 【详解】（1)由题意，，故是上的“集中函数”； 2分 不是的子集，故不是上的“集中函数”． 4分 （2）由在上的值域，对称轴为，分类讨论： ①当时，在上单调递增，， 由，需满足：. 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以． 6分 ②当，在递减、递增，设表示，中最大的数， 值域． 由，故，故， 故存在使得为上的“集中函数”， 因此均成立． 8分 ③当，此时在上单调递减，值域． 由，故， 故，解得． 由，得． 当时，，， 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以. 综上所述，实数的取值范围是． 10分 (3) 要使函数有意义，须使，解得， 所以函数的定义域为. 设，是内任意两个实数，且，则有， ，， 故， 12分 由，得，，， 故， 故即， 故在上单调递减，且， 故值域． 14分 由“集中函数”定义可得，得：， ， 故， 16分 令，， 由得，故， 故， 所以． 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元测试 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若幂函数在上单调递增，则________． 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义求出值，利用函数单调性验证确定值 【详解】由幂函数定义可得：，解得或， 又因为在上单调递增，则，所以. 故答案为：3 2．函数的定义域为___________ 【答案】 【详解】令，即，得， 故函数的定义域为 3．函数（且）图象恒过定点坐标为______． 【答案】 【分析】利用对数函数性质求解. 【详解】因为对任意且，， 令得，将代入， 得， 所以函数的图象恒过定点坐标为. 故答案为： 4．函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】利用复合函数性质及二次函数性质计算即可得. 【详解】因为复合函数是由与复合而得， 而在上单调递减， 所以的单调减区间即为的单调增区间， 因为开口向下，对称轴为， 所以的单调增区间, 故函数的单调递减区间为. 故答案为：． 5．已知函数的定义域为，写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_________________.对任意，，①若，；②；③. 【答案】（答案不唯一，均可） 【分析】根据给定条件，可选取幂函数，再分析具体性质确定幂指数并验证即得. 【详解】由②，可选函数为幂函数；由①知，在定义域内单调递增；由③知，是上凸函数， 取函数，其定义域为，且上单调递增，满足①； ，满足②； ，满足③. 故答案为： 6．设幂函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】由是幂函数可得，再由幂函数的单调性和定义域解不等式即可得出答案. 【详解】因为是幂函数， 所以，则， 因为函数的定义域为，且， 所以函数在上单调递减， 所以由可得：，解得：. 故答案为：. 7．函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 8．对，记则函数的最小值为______. 【答案】1 【分析】在同一坐标系内作出函数，的图象，结合图像分析求解即可. 【详解】在同一坐标系内作出函数，的图象，如图所示， 观察图象知，当时，；当时，； 当时，，因此 函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数取得最小值1. 故答案为： 9．若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】函数的定义域为，即对任意恒成立；对分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】函数的定义域为，即对任意恒成立. 当时，不等式化为，显然不能对所有实数恒成立； 当时，需满足，解得， 故实数的取值范围为. 10．近几年来无人机在生活中的应用越来越广泛，已知在海拔高度x（单位：）处，大气压强P（单位：）近似满足关系（为常数），已知海平面处大气压为，在海拔处大气压为，已知某款无人机飞行时，大气压强保持在以上才能保证设备安全．则该无人机最大飞行海拔高度约为________（精确到小数点后两位）． 参考数据：． 【答案】 【分析】先利用已知的两组高度与压强数据求出关系式中的和，再将安全压强下限 代入关系式解出对应的高度不等式即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则，即， ，即，， 若大气压强保持在以上，即， 即，即，因为单调递增，所以有， 代入得， 即， 所以该无人机最大飞行海拔高度约为. 11．记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 【答案】 【分析】求出，即可求出，首先求出的值域，即可求出的值域. 【详解】因为，所以，所以； 因为，所以，则， 所以，则，则， 所以的值域为. 故答案为：； 12．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据题意得到，再计算值域为，得到，计算得到答案. 【详解】幂函数则或 当时，在上单调递减，舍去； 故，当时： 故； 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题考查了幂函数，函数值域，将存在问题和恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列四个函数中，在上为增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调增函数的定义直接判断即可. 【详解】对于A,在R上为减函数，故A错误； 对于B，在上单调为单调减函数，在上为单调增函数，故B错误； 对于C，在R上为增函数，故C正确； 对于D，定义域为，在上为单调增函数，故D错误. 14．设，，，那么，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判断三个数与0、1的大小关系，即可比较三者的大小. 【详解】由指数函数在上单调递增，所以，即， 由指数函数在上单调递增，所以，即， 由对数函数在上单调递增，所以，即，所以. 15．已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式求解即可.． 【详解】由，得， 联立方程，解得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 则，当且仅当，即取等号． 16．函数，则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】令，则，根据分段函数解出的值，得到的值，利用分段函数得到的个数. 【详解】，， 令，则， ①当时，，解得或， 情况1：，，满足题意； 情况2：，满足题意. ②当时，，，满足题意. 综上得到三个方程：， 方程1：， 当时，，不可能等于， 当时，，1个解， 方程2：，， 当时，，解得， 当时，有1解；当时，有1解；共2个解， 当时，，1个解， 方程3： 当时，，不可能等于 ，无解， 当时，，1个解， 则全部解个数为. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数满足． (1)证明：是指数函数． (2)求函数在上的值域． 【详解】（1）令，得， 则， 3分 所以，故是指数函数 6分 （2）因为是减函数． 因为，，所以在上的值域为． 8分 当，时，， 则在上的值域为． 11分 当，时，， 则在上的值域为． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 3分 幂函数在区间上单调递减，所以，即. 6分 （2）解：由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 8分 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 10分 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 12分 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设集合， (1)求集合A； (2)若当时，函数的最大值为2，求实数a的值. 【详解】（1）因为，所以， 即，可得， 解得，即， 解得，所以. 6分 （2）， 令，，. ，其对称轴， 8分 ①当，即时，，即， 解得，满足； 11分 ②当即时，，即， 解得，满足； 综上，或. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则， 2分 当，即时等号成立， 即在上的值域为． 4分 （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 6分 当时，由， 当时，由， 得， 8分 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 10分 （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 13分 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 16分 故只需，即. 故实数的取值范围为． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． (1)分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； (2)设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“集中函数”，求证：． 【详解】（1)由题意，，故是上的“集中函数”； 2分 不是的子集，故不是上的“集中函数”． 4分 （2）由在上的值域，对称轴为，分类讨论： ①当时，在上单调递增，， 由，需满足：. 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以． 6分 ②当，在递减、递增，设表示，中最大的数， 值域． 由，故，故， 故存在使得为上的“集中函数”， 因此均成立． 8分 ③当，此时在上单调递减，值域． 由，故， 故，解得． 由，得． 当时，，， 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以. 综上所述，实数的取值范围是． 10分 (3) 要使函数有意义，须使，解得， 所以函数的定义域为. 设，是内任意两个实数，且，则有， ，， 故， 12分 由，得，，， 故， 故即， 故在上单调递减，且， 故值域． 14分 由“集中函数”定义可得，得：， ， 故， 16分 令，， 由得，故， 故， 所以． 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元测试 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若幂函数在上单调递增，则________． 2．函数的定义域为___________ 3．函数（且）图象恒过定点坐标为______． 4．函数的单调递减区间为______． 5．已知函数的定义域为，写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_________________.对任意，，①若，；②；③. 6．设幂函数，则不等式的解集为______． 7．函数的最小值为_____. 8．对，记则函数的最小值为______. 9．若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 10．近几年来无人机在生活中的应用越来越广泛，已知在海拔高度x（单位：）处，大气压强P（单位：）近似满足关系（为常数），已知海平面处大气压为，在海拔处大气压为，已知某款无人机飞行时，大气压强保持在以上才能保证设备安全．则该无人机最大飞行海拔高度约为________（精确到小数点后两位）． 参考数据：． 11．记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 12．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列四个函数中，在上为增函数的是（     ） A． B． C． D． 14．设，，，那么，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 15．已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 16．函数，则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数满足． (1)证明：是指数函数． (2)求函数在上的值域． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设集合， (1)求集合A； (2)若当时，函数的最大值为2，求实数a的值. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． (1)分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； (2)设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“集中函数”，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元测试 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若幂函数在上单调递增，则________． 2．函数的定义域为___________ 3．函数（且）图象恒过定点坐标为______． 4．函数的单调递减区间为______． 5．已知函数的定义域为，写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_________________.对任意，，①若，；②；③. 6．设幂函数，则不等式的解集为______． 7．函数的最小值为_____. 8．对，记则函数的最小值为______. 9．若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 10．近几年来无人机在生活中的应用越来越广泛，已知在海拔高度x（单位：）处，大气压强P（单位：）近似满足关系（为常数），已知海平面处大气压为，在海拔处大气压为，已知某款无人机飞行时，大气压强保持在以上才能保证设备安全．则该无人机最大飞行海拔高度约为________（精确到小数点后两位）． 参考数据：． 11．记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 12．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列四个函数中，在上为增函数的是（     ） A． B． C． D． 14．设，，，那么，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 15．已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 16．函数，则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数满足． (1)证明：是指数函数． (2)求函数在上的值域． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设集合， (1)求集合A； (2)若当时，函数的最大值为2，求实数a的值. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． (1)分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； (2)设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“集中函数”，求证：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $