第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元测试·强化卷）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元自测·强化卷） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B B A A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BC ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．10 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）， ， 所以原式．（6分） （2）由两边平方得，所以， 再两边平方得，所以．（13分） 16．【解析】（1）由题意得，，得，则；（3分） （2）是偶函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 所以是偶函数；（9分） （3）在区间上单调递增，证明如下： ， 任取，且，则，， 则， 即， 则在区间上单调递增.（15分） 17．【解析】（1）因为，则， 显然当时最小， 得，即； 所以一天中早上8时该厂的气体污染指数最低；（3分） （2）当时，， 易知时，所以当时，即， 则，又， 所以污染指数大于100时；（8分） （3）设，则当时，则； 设， 即， 显然在上是减函数，在上是增函数， 则，因为， 则有 ，解得，又， 故气体治理调节参数应控制在（15分） 18．【解析】（1）设函数定义域为， 由题意得， 即， 即， 即， 故.（5分） （2）（i）由得， 令，则方程化为， 因此有两个不同的零点和等价于上述方程有两个不等正根， 故，解得， 所以的取值范围是．（11分） （ii）不存在，理由如下： 不妨设，由（i）可得， 又， 故， 当时，，，故， 因此当无限趋近于0时，可以无限变大，所以不存在正实数满足条件．（17分） 19．【解析】（1）由有意义，得． 在此范围内，等价于，所以． 故．（3分） （2）由为全体实数，得对任意实数，都有． 当时，二次项系数，上式不可能对任意实数恒成立． 当时，上式化为，满足条件． 当时，二次项系数为正，要使上式对任意实数恒成立，需判别式小于，即，解得． 综上，．（9分） （3）设，． 由，得． 又． 当时，； 当时，； 当时，． 当且时，对给定的，存在使的充要条件为． 因此，由为开区间，题设条件等价于，即其左端点不小于、右端点不大于． 当时，且，解得且，所以． 当时，，不满足题意． 当时，必须有，从而，与矛盾． 故．（17分） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式，解得， 因为“”可以推出“”,“”不可以推出“”, 所以“”是“”的充分不必要条件 3．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解析】设发光强度为级对应的光能为，发光强度为级对应的光能为， 由，得： 当时： ， 当时： 由对数减法运算性质，，即， 将对数式转化为指数形式得. 所以，因此发光强度级的生物释放的光能约是级的倍. 4．已知函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，， 由于不一定相等，故A不正确； B选项，， 故，故B正确； C选项，， 由于不一定相等，故C不正确； D选项，， 由于不一定相等，故D不正确. 5．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 6．已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是. 7．函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 是开口向上的二次函数，，恒有两个零点， 因为，所以两个零点一正一负，不妨设，又的零点为， 因为时，，所以时，与同号，可得， 所以，得，因为，所以，解得，即且， 所以， 当时，，得，所以； 当时，，得，所以， 所以. 因为，，所以A正确，B、C、D错误. 8．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，对一切都有，分两段讨论. 当时，需恒成立. 记，其图象开口向上、对称轴为. 若，则在上单调递减，最小值为， 由得，即； 若，则最小值为，由得， 即，结合得. 所以由这一段得. 当且时，因为，所以； 又，故也成立. 综上，实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据对数的定义，由得，A正确； 对数的运算性质，，B正确； 又因为，C错误； 由对数的换底公式，，D错误． 10．下列说法正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数的值域为 C．函数（且）的图象经过定点 D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 【答案】BC 【解析】对于A选项，不妨取，则，A错； 对于B选项，因为， 且函数为上的减函数，故， 所以函数的值域为，B对； 对于C选项，对于函数（且），令可得， 故函数的图象过定点，C对； 对于D选项，函数过点，但函数不过点， 所以函数与函数的图象不关于轴对称，D错. 11．已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为.则答案为ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：_________. 【答案】10 【解析】 13．，用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 【答案】1 【解析】画出的函数图象，如图， 当时两个函数值相等， 当或时；当时， 故的最小值为. 14．设方程的三个根为，则________． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，故与有三个交点， 显然与互为反函数，则它们的交点要么落在直线上，要么成对出现， 所以设三个交点分别为，对应的横坐标依然为，其中在直线上， 显然时，，此时对应的点在下方， 时，，此时对应的点在上方， 故，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）求值； （2）已知，求的值． 【解析】（1）， ， 所以原式．（6分） （2）由两边平方得，所以， 再两边平方得，所以．（13分） 16．（15分） 已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 【解析】（1）由题意得，，得，则；（3分） （2）是偶函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 所以是偶函数；（9分） （3）在区间上单调递增，证明如下： ， 任取，且，则，， 则， 即， 则在区间上单调递增.（15分） 17．（15分） 2026年6月5日是第55个世界环境日，也是习总书记提出“绿水青山就是金山银山”重要理念二十一周年.我国规定空气污染指数在51～100时为良好；某钢铁工厂每一天气体排放污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为气体治理调节参数，且； (1)若，求一天中哪个时刻气体污染指数最低； (2)若某天下午15时的气体排放污染指数大于100，求15时气体治理调节参数的取值范围； (3)规定每天中的最大值作为当天的气体污染指数，要使该厂每天的气体污染指数不超过，则气体治理调节参数应控制在什么范围内？ 【解析】（1）因为，则， 显然当时最小， 得，即； 所以一天中早上8时该厂的气体污染指数最低；（3分） （2）当时，， 易知时，所以当时，即， 则，又， 所以污染指数大于100时；（8分） （3）设，则当时，则； 设， 即， 显然在上是减函数，在上是增函数， 则，因为， 则有 ，解得，又， 故气体治理调节参数应控制在（15分） 18．（17分） 已知函数，． (1)若为奇函数，求的值； (2)若有两个不同的零点和． （i）求的取值范围； （ii）是否存在正实数，使得恒成立？若存在，请给出一个满足条件的；若不存在，说明理由． 【解析】（1）设函数定义域为， 由题意得， 即， 即， 即， 故.（5分） （2）（i）由得， 令，则方程化为， 因此有两个不同的零点和等价于上述方程有两个不等正根， 故，解得， 所以的取值范围是．（11分） （ii）不存在，理由如下： 不妨设，由（i）可得， 又， 故， 当时，，，故， 因此当无限趋近于0时，可以无限变大，所以不存在正实数满足条件．（17分） 19．（17分） 已知函数和，定义集合． (1)设，，求； (2)设，，当时，求的取值范围； (3)设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 【解析】（1）由有意义，得． 在此范围内，等价于，所以． 故．（3分） （2）由为全体实数，得对任意实数，都有． 当时，二次项系数，上式不可能对任意实数恒成立． 当时，上式化为，满足条件． 当时，二次项系数为正，要使上式对任意实数恒成立，需判别式小于，即，解得． 综上，．（9分） （3）设，． 由，得． 又． 当时，； 当时，； 当时，． 当且时，对给定的，存在使的充要条件为． 因此，由为开区间，题设条件等价于，即其左端点不小于、右端点不大于． 当时，且，解得且，所以． 当时，，不满足题意． 当时，必须有，从而，与矛盾． 故．（17分） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．已知函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数，当时，，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数的值域为 C．函数（且）的图象经过定点 D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 11．已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：_________. 13．，用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 14．设方程的三个根为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）求值； （2）已知，求的值． 16．（15分） 已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 17．（15分） 2026年6月5日是第55个世界环境日，也是习总书记提出“绿水青山就是金山银山”重要理念二十一周年.我国规定空气污染指数在51～100时为良好；某钢铁工厂每一天气体排放污染指数与时刻（时）的函数关系为，其中为气体治理调节参数，且； (1)若，求一天中哪个时刻气体污染指数最低； (2)若某天下午15时的气体排放污染指数大于100，求15时气体治理调节参数的取值范围； (3)规定每天中的最大值作为当天的气体污染指数，要使该厂每天的气体污染指数不超过，则气体治理调节参数应控制在什么范围内？ 18．（17分） 已知函数，． (1)若为奇函数，求的值； (2)若有两个不同的零点和． （i）求的取值范围； （ii）是否存在正实数，使得恒成立？若存在，请给出一个满足条件的；若不存在，说明理由． 19．（17分） 已知函数和，定义集合． (1)设，，求； (2)设，，当时，求的取值范围； (3)设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $