第4章 幂函数、指数函数与对数函数测试（单元测试·提升卷）数学沪教版2020高一必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为 ． 2．函数的定义域是 3．函数的值域为 . 4．函数的图象恒过定点 . 5．函数的单调递增区间为 ． 6．已知函数若，则 . 7．已知函数，若，则的最大值为 . 8．已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为 . 9．已知函数且满足则实数a的取值范围为 ． 10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 11．某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 12．已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知、为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设，则（   ） A． B． C． D． 15．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数的图象经过第三象限． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集．． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数． (1)当时，求该函数的取值范围； (2)若，则方程有解，求实数的取值范围 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出参数即得. 【详解】设幂函数的解析式为， 由幂函数的图象经过点，得，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为： 2．函数的定义域是 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 4．函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 5．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性结合同增异减可求原函数的单调递增区间． 【详解】因为，所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 6．已知函数若，则 . 【答案】1 【分析】将代入解析式，可得，将代入解析式，建立方程即可求得答案. 【详解】由题意得， 所以， 故答案为：1 7．已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】首先求出，然后由的单调性即可得出答案. 【详解】若，即，则， 所以， 当时，； 当时，， 所以的最大值为1. 故答案为：1 8．已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用单调性可得，再利用指数运算法则求解. 【详解】指数函数在上单调，则在上的最大值和最小值之和为，即， 所以在上的最大值和最小值之和为. 故答案为： 9．已知函数且满足则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】函数有意义，由，解得， 即的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 且， 函数和都是上的增函数，所以为上的增函数， 由，得， 则有，解得， 同时有，解得， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由函数的单调性可得在上的值域，再由二次函数的图象和性质求出的范围即可. 【详解】当时，因为在上单调递增，所以； 当时，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，在上单调递增，所以， 此时在R上的值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，所以， 此时在R上的值域为，若的值域为，所以， 又，解得，即的取值范围为， 综上，. 故答案为： 11．某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【分析】由初始条件求得参数值，再代入计算可得． 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 12．已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，由题意得出的取值范围和的值，再利用基本不等式即可求出的取值范围． 【详解】由题意，画出函数的图象，如图所示，    又函数有四个零点，且， 所以， 且， 所以，，所以，， 所以，当且仅当时“”成立； 所以的取值范围是． 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知、为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数、幂函数的性质比较大小确定题设条件间的关系，结合充分必要性的定义即可得. 【详解】设函数 ， ，在定义域上单调递减， 在定义域上单调递减，则 ， 由在定义域上单调递增，所以 . 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：C 14．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别分析对数函数、指数函数的单调性，确定、、的取值范围，进而比较大小. 【详解】，因，对数函数单调递减，故； ，因，对数函数单调递增，故； ，因单调递增，故. 因此. 故选：A 15．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围． 【详解】设，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得，解得． 故选：A． 16．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知： 或3， 又，即在单调递减，故， 或或， 即. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数的图象经过第三象限． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解， （2）由幂函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数，所以，解得或． 当时，，此时的图象经过第三象限，符合题意； 当时，，此时的图象不经过第三象限，不符合题意． 故． （2）因为，所以不等式等价于， 又为增函数，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数． (1)当时，求该函数的取值范围； (2)若，则方程有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，利用换元的思想转化为求二次函数的值域问题即可； （2）将问题转化为在上有解，进行参变分离，利用对勾函数的单调性进行求解． 【详解】（1）， 令， 所以， 因为，所以 所以该函数的取值范围为 （2）由（1）知在上有解， 即在上有解， 所以． 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， 的值域是 所以的取值范围为． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】(1)③，理由见解析 (2)万元 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【详解】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得， 故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元，所以，即， 所以，所以， 所以至少应完成销售利润万元． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2)在上单调递增；证明见解析 (3)． 【详解】（1）由题意，过点，即，解得， 所以，． 为上的奇函数，，解得，即， 其定义域为，关于原点对称， 且 ，故此时为奇函数； （2）在单调递增. 设，则， 因为，，， 所以，于是在上单调递增； （3）由在区间上恒成立， 得，即， 令，，则， 令，，设，， 根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减，， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数，． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为 ． 2．函数的定义域是 3．函数的值域为 . 4．函数的图象恒过定点 . 5．函数的单调递增区间为 ． 6．已知函数若，则 . 7．已知函数，若，则的最大值为 . 8．已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为 . 9．已知函数且满足则实数a的取值范围为 ． 10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 11．某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 12．已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知、为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设，则（   ） A． B． C． D． 15．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 17．已知幂函数的图象经过第三象限． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数． (1)当时，求该函数的取值范围； (2)若，则方程有解，求实数的取值范围 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数且的图象经过点，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在定义域上的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1． 2． 3． 4． 5． 6．1 7．1 8． 9． 10． 11．23 12． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 C A A D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为幂函数，所以，解得或． 当时，，此时的图象经过第三象限，符合题意； 当时，，此时的图象不经过第三象限，不符合题意． 故．（6分） （2）因为，所以不等式等价于， 又为增函数，所以，解得， 所以原不等式的解集为． （14分） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）， 令， 所以， 因为，所以 所以该函数的取值范围为（6分） （2）由（1）知在上有解， 即在上有解， 所以． 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， 的值域是 所以的取值范围为．（14分） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③，（6分） （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得， 故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元，所以，即， 所以，所以， 所以至少应完成销售利润万元．（14分） 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）由题意，过点，即，解得， 所以，．（2分） 为上的奇函数，，解得，即， 其定义域为，关于原点对称， 且 ，故此时为奇函数；（4分） （2）在单调递增. 设，则，（8分） 因为，，， 所以，于是在上单调递增；（10分） （3）由在区间上恒成立， 得，即，（12分） 令，，则，（14分） 令，，设，， 根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调递增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减，，（16分） 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数，（18分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数.（4分） （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立，（6分） 若，因不成立，故舍， 故，解得.（10分） （3）因为是“2距”增函数，故，（12分） 整理得到：在上恒成立，（14分） 故恒成立且恒成立，（16分） 故且， 故.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $