精品解析：河北沧州市部分高中2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 为践行治沙造林、守护国土的使命，某治沙队从2015年起持续开展沙地修复工程．2015年共治理沙地160亩，从2016年起，若上一年治理面积不足400亩，则当年治理面积增加上一年面积的；若上一年治理面积达到或超过400亩，则后续每年固定治理400亩．则到2025年末共治理沙地（ ）亩． A. 3700 B. 3960 C. 4100 D. 4500 5. 随机变量的概率分布列如下表，若，则（ ） X 0 1 2 3 P 0.1 a 0.5 b A. B. C. D. 6. 用五种不同的颜色给下边六个区域染色，若有公共边的两个区域不能同色，则不同的染色方案共有（ ）种． A. 1440 B. 1620 C. 1800 D. 2160 7. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程的实根个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位后，在区间内恰有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，，若且，则点的坐标可为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，与点，线段的垂直平分线与直线交于点，从点发出且倾斜角为锐角的光线，经过点的轨迹上的点反射，反射光线所在直线不可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线：，则（ ） A. 既是中心对称图形又是轴对称图形 B. 上的点（非原点）与原点连线的倾斜角的最大值为 C. 的周长为 D. 围成图形的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校举办的“传红色魂，筑强国梦”国庆朗诵比赛中，10位评委为某参赛选手现场独立打分的平均分是85．则根据比赛计分规则，去掉一个最低分70与一个最高分92，剩余8个有效评分的平均值为________． 13. 已知一圆锥的轴截面是正三角形，其内切球与圆锥侧面的所有切点构成一个面积为的圆，则该圆所在平面截圆锥所得圆台体积为________． 14. 下图电路中，为未闭合的开关，为能正常亮起的灯泡．现将六个开关随机排成一个序列，按序列顺序依次闭合六个开关，则灯泡按，，的顺序先后亮起的概率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. “十五五”规划强调推进全民健身公共服务体系建设，科学选用健身器材有助于居民增强体质．某社区开展居民健身习惯调研，调查了200位居民的性别与健身器材偏好情况，得到如下数据： 选用智能健身器材 选用传统健身器材 总计 男性 80 20 100 女性 65 35 100 总计 145 55 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析健身器材类型的选择是否与性别有关； （2）社区文体中心采购3套健身器材，每套均配有智能款、传统款器材各一件．现街道办从这6件器材中随机选取2件调配到其他小区，设选取到的智能款器材为件，求的分布列与数学期望． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 双曲线的顶点也是椭圆的顶点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）过椭圆右焦点的直线与的两个交点为，，当时，判断直线与双曲线的渐近线是否平行，并说明理由． 17. 如图，三棱锥的底面为等边三角形，为棱的中点，平面，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求的图象在原点处的切线方程； （2）若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）当取满足（2）的最小整数时，设，证明：函数的最小值小于． 19. 图中，正四棱锥的底面的中心为，一只跳鼠从点出发，每跳一步沿图中所连线段从一端点随机跳到另一端点．（之间不能直接跳，之间不能直接跳） （1）求跳鼠跳完两步后，回到点的概率； （2）求跳鼠跳完步后落在正方形顶点的概率； （3）若跳鼠一直不停地跳步，当充分大时，跳鼠落在P点的概率是否趋于定值，若趋于定值，求出该定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以， 又， 所以． 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 4. 为践行治沙造林、守护国土的使命，某治沙队从2015年起持续开展沙地修复工程．2015年共治理沙地160亩，从2016年起，若上一年治理面积不足400亩，则当年治理面积增加上一年面积的；若上一年治理面积达到或超过400亩，则后续每年固定治理400亩．则到2025年末共治理沙地（ ）亩． A. 3700 B. 3960 C. 4100 D. 4500 【答案】C 【解析】 【详解】2015年：初始治理面积为160亩，未达到400亩， 2016年起，上一年面积不足400亩时，当年面积为上一年的倍，构成等比数列 即2016年：亩，2017年：亩， 2018年：亩，首次超过400亩， 按照规则，2018年起后续每年固定治理400亩， 则2015到2025年的总治理面积： 前4年总和：亩， 2019到2025年共7年，每年400亩，总和为亩， 则到2025年末共治理沙地：亩. 5. 随机变量的概率分布列如下表，若，则（ ） X 0 1 2 3 P 0.1 a 0.5 b A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即， 而，即，解得， 故， ，则， 故. 6. 用五种不同的颜色给下边六个区域染色，若有公共边的两个区域不能同色，则不同的染色方案共有（ ）种． A. 1440 B. 1620 C. 1800 D. 2160 【答案】B 【解析】 【分析】先给区域编号，结合条件，利用分步、分类计数原理，即可求解. 【详解】如图，按从左到右的顺序给6个区域依次标记为①、②、③、④、⑤、⑥，其中： 区域①是最左侧单独的长条，仅和区域②、③相邻， 区域②、③是左数第二组的上下两个区域，二者相邻， 区域④、⑤、⑥是最右侧的三个从上到下排列的区域， 分步染色计算： 染区域①：共5种颜色可选，有5种方案；染区域②：和①不同色，有4种方案； 染区域③：和①、②都不同色，有3种方案； 染最右侧的④、⑤、⑥：这三个区域要求相邻不同色， 若④与③同色，有种方案，若④与③不同色，有种方案， 所以总的染色方案共有种. 7. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程的实根个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的性质，再结合函数的图象，通过观察两个函数图象的交点个数来确定方程的实根个数. 【详解】由可得：， 所以函数的图象关于直线对称， 因为，所以， 则， 所以函数是周期为的周期函数， 当时，，是单调递增函数， ，， 因为函数的图象关于直线对称， 所以当时，， 根据函数的周期性，可得函数在上的图象， 又因为函数的定义域为，且在定义域上单调递增， 所以和的图象如下： 由图象可知，的实根个数为. 8. 已知函数的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位后，在区间内恰有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得平移后的函数解析式及其整体相位的取值范围，根据 “恰有个零点” 结合余弦函数的图象性质求得的取值范围. 【详解】， 向下平移个单位：， 向右平移个单位：， 令，即， 得， 设，， 当时，， 当时，，所以， 题目等价于：方程在区间内恰有一个解， 的根：， 大于等于的第一个根：当时，，下一个根当时，， 即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，，若且，则点的坐标可为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算求解． 【详解】，若，设， 因为，得，得， 得或， 因为，故点的坐标为或． 10. 已知点，与点，线段的垂直平分线与直线交于点，从点发出且倾斜角为锐角的光线，经过点的轨迹上的点反射，反射光线所在直线不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，得到轨迹为抛物线，再利用抛物线的光学性质判断反射光线的特征；结合入射光线倾斜角为锐角的条件，逐一检验选项，筛选出不可能的反射光线. 【详解】设， 因为在的垂直平分线上，所以， 由，在上，得，即， ， ， 平方整理：， 点的轨迹是抛物线，焦点, 根据抛物线光学性质：由焦点发出的光线经抛物线反射后，反射光线平行于对称轴轴，即反射光线为水平直线， 对于A：，水平直线，但是代入抛物线，交点为，入射光线是，到，斜率，倾斜角为钝角，不符合“入射光线倾斜角为锐角”； 对于B：，水平直线，代入抛物线，交点为，入射光线是到，斜率，倾斜角为锐角，符合条件； 对于C：，D：，都是倾斜直线，不平行于轴，不可能是反射光线. 11. 已知曲线：，则（ ） A. 既是中心对称图形又是轴对称图形 B. 上的点（非原点）与原点连线的倾斜角的最大值为 C. 的周长为 D. 围成图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用方程的对称性，将曲线化为第一象限的一段圆弧.用斜率判断倾斜角，再用弧长和扇形面积公式求周长与面积. 【详解】对于A，将或分别换成其相反数，曲线方程均不变.故曲线关于两条坐标轴及原点对称，A正确. 对于B，令，得，故，所以曲线上除原点外的点均满足. 设该点与原点连线的斜率为，将代入原方程并除以， 得，故. 反过来，对任意满足的，取及， 所得点在曲线上，且其与原点连线的斜率为.设倾斜角为，则， 解得.因此倾斜角没有最大值，B错误. 对于C，在第一象限及其边界上，原方程化为，配方得. 圆心为，半径为.令，得， 故弧的端点为和.圆心在弦的下方， 故第一象限内的弧是弦上方的劣弧.由对称性，曲线由四段全等的圆弧组成，如图. 由余弦定理，，所以.故曲线的周长为，C正确. 对于D，曲线所围图形由四个全等的圆弓形组成.圆心到弦的距离为， 所以每个圆弓形的面积为扇形的面积减去的面积，即 ， 故曲线所围图形的面积为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校举办的“传红色魂，筑强国梦”国庆朗诵比赛中，10位评委为某参赛选手现场独立打分的平均分是85．则根据比赛计分规则，去掉一个最低分70与一个最高分92，剩余8个有效评分的平均值为________． 【答案】86 【解析】 【分析】求出剩余8个有效评分的总分，再利用平均数公式求解. 【详解】， 所以剩余8个有效评分的平均值为. 13. 已知一圆锥的轴截面是正三角形，其内切球与圆锥侧面的所有切点构成一个面积为的圆，则该圆所在平面截圆锥所得圆台体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥及其内切球的结构特征求出圆台的上下底面圆半径及高，进而求出其体积. 【详解】依题意，圆锥的轴截面截其内切球所得大圆是圆锥轴截面正内切圆，如图， 令切圆于点，则分别是的中点， 线段长是内切球与圆锥侧面的所有切点构成圆的直径，由该圆面积为，得， 则，与的距离为， 因此该圆所在平面截圆锥所得圆台上下底面圆半径分别为，高为， 所以该圆台的体积. 14. 下图电路中，为未闭合的开关，为能正常亮起的灯泡．现将六个开关随机排成一个序列，按序列顺序依次闭合六个开关，则灯泡按，，的顺序先后亮起的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据电路结构，将三个灯泡的亮起时刻分别转化为对应开关的时刻，把“按，，顺序亮起”等价为三个最值的大小关系；再通过组合分组计数算出满足条件的排列数，除以个开关的全排列总数，即可得到所求概率。 【详解】由电路图可知三条支路并联： 第一支：与串联，需两个开关都闭合才亮，亮起时刻为两组开关中较晚闭合的开关的时刻，记为， 第二支：与并联的串联，闭合任意一个开关就亮，亮起时刻为两组开关中较早闭合的开关的时刻，记为， 第三支：与串联，需两个开关都闭合才亮，亮起时刻为两组开关中较晚闭合的开关的时刻，记为， 要使灯泡按，，的顺序先后亮起，需使， 第一步：6个开关的全排列共种， 第二步：满足的分组：从6个位置中选4个，较小的2个分配给，较大的2个分配给，剩余2个给，共种分组方式， 第三步：剔除不符合的情况：当占据最后两个位置时，全在其左侧，此时，共种， 第四步：有效分组数为种，每组内部开关可任意排列，对应排列数为， 因此所求概率． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. “十五五”规划强调推进全民健身公共服务体系建设，科学选用健身器材有助于居民增强体质．某社区开展居民健身习惯调研，调查了200位居民的性别与健身器材偏好情况，得到如下数据： 选用智能健身器材 选用传统健身器材 总计 男性 80 20 100 女性 65 35 100 总计 145 55 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析健身器材类型的选择是否与性别有关； （2）社区文体中心采购3套健身器材，每套均配有智能款、传统款器材各一件．现街道办从这6件器材中随机选取2件调配到其他小区，设选取到的智能款器材为件，求的分布列与数学期望． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）健身器材类型的选择与性别有关. （2） 0 1 2 ． 【解析】 【分析】（1）代入列联表数据计算值，再和给定临界值比较. （2）识别不放回抽样是超几何分布，枚举取值0,1,2，分别计算概率，再求出的分布列与数学期望即可. 【小问1详解】 设零假设为：健身器材类型的选择与性别无关． 由列表得， 则． 根据小概率值的独立性检验，拒绝，即认为健身器材类型的选择与性别有关，此推断犯错误的概率不大于． 【小问2详解】 由题意，智能器材共3件，传统器材共3件，从6件中不放回抽取2件，则的可能取值有0,1,2， 所以，，． 所以的分布列为 0 1 2 因此，． 16. 双曲线的顶点也是椭圆的顶点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）过椭圆右焦点的直线与的两个交点为，，当时，判断直线与双曲线的渐近线是否平行，并说明理由． 【答案】（1）， （2）直线和双曲线的两条渐近线中的一条平行，与另一渐近线相交.理由如下： 根据题意，椭圆的右焦点为，显然直线的斜率不为，故设直线的方程为. 联立，消去，整理得，恒成立. 设，，则，． 则 ． 解得，， 所以直线的方程为. 而双曲线的两条渐近线方程为， 故直线和两条渐近线中的一条平行，与另一渐近线相交. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线顶点直接求出椭圆的，得到椭圆的方程，进而求出离心率. （2）设横截式直线方程，联立椭圆，借助弦长列方程求出斜率，对比渐近线斜率判断即可. 【小问1详解】 双曲线的顶点为，也是椭圆的顶点，故． 所以椭圆的标准方程为，则， 故离心率． 【小问2详解】 略. 17. 如图，三棱锥的底面为等边三角形，为棱的中点，平面，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：为等边三角形，为棱的中点． ， 又因为三棱锥中，平面，平面， 所以，又，平面， 平面． 又平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得面面垂直； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面夹角的余弦值可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线作为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设． 则得，，，，， 由，得， ，即． ，，，． 设平面的一个法向量为，则，即． 令，则. 设平面的一个法向量为，, 则，即． 令，则． 设平面与平面夹角为，， 则， 因此平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数，． （1）当时，求的图象在原点处的切线方程； （2）若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）当取满足（2）的最小整数时，设，证明：函数的最小值小于． 【答案】（1） （2）． （3）由题意取（2）中最小整数时为， 此时，函数的定义域为． 所以，令，则． 所以在上单调递增，又，， 由零点存在性定理，存在．使，即. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 则在上的最小值为， 又，则，， 设，， 得， 则在上单调递减，且， 所以． 因此函数的最小值小于． 【解析】 【分析】（1）直接根据导数的几何意义求切线方程可得； （2）分两种情况：当时，由及导函数的连续性，存在使得与条件矛盾；当时，令，，由，得，进而可得，所以在单调递增，从而成立，因此可得实数的取值范围； （3）先对求导，再令，由得在上单调递增，并结合零点存在性定理可得零点且，再设，用导数研究函数的单调性，从而证明函数的最小值小于. 【小问1详解】 当时，，， 所以，又． 所以的图象在原点处的切线方程为． 【小问2详解】 由，，则，且， 当时，得，由导函数连续性，一定存在， 使时，， 此时在区间上单调递减，故，与恒成立矛盾，不符合题意，舍去； 当时，，令 则，令，则． 则在单调递增，又， 所以当时，，所以， 故在单调递增． 又，所以， 所以在单调递增， 又，所以有恒成立，因此．符合条件． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 图中，正四棱锥的底面的中心为，一只跳鼠从点出发，每跳一步沿图中所连线段从一端点随机跳到另一端点．（之间不能直接跳，之间不能直接跳） （1）求跳鼠跳完两步后，回到点的概率； （2）求跳鼠跳完步后落在正方形顶点的概率； （3）若跳鼠一直不停地跳步，当充分大时，跳鼠落在P点的概率是否趋于定值，若趋于定值，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当充分大时，跳鼠落在点的概率趋于定值． 【解析】 【分析】（1）回到点，只能是五种可能，分别计算求解即可； （2）方法一：设跳步后落在点，的概率分别为，，跳完．步后落在正方形顶点的概率为，根据，列式得为等比数列，继而可以求出； 方法二：设跳步后落在点，的概率分别为，，跳完．步后落在正方形顶点的概率为，根据，列式得为等比数列，继而可以求出； （3）利用（2）可得，再根据得，进而求出构成以为首项，为公比的等比数列即可求出. 【小问1详解】 跳鼠跳完两步后，回到点，只能是五种可能， 当跳鼠跳动两步路线为时，概率为， 同理路线为，，时，概率均为． 当跳鼠跳动两步路线为时，概率为． 所以跳鼠跳完两步后，回到点的概率为． 【小问2详解】 设跳步后落在点，的概率分别为，，跳完．步后落在正方形顶点的概率为． 则，，， 依题意当，．可得递推公式， ， ， 方法一：又，所以， 整理得．即． 所以构成以为首项，为公比的等比数列， 则，得． 所以跳鼠跳完步后落在正方形顶点的概率为． 方法二：所以，． 又，所以， 整理得，即． 所以构成以为首项，为公比的等比数列，则，得． 所以跳鼠跳完步后落在正方形顶点的概率为． 【小问3详解】 由（2）中①知，即，得， 又，所以，，，整理得， ，化简得，即， 所以构成以为首项，为公比的等比数列， ，整理得， 当，，，所以． 所以当充分大时，跳鼠落在点的概率趋于定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $