精品解析：河北省沧衡名校联盟2025-2026学年高三上学期11月期中质量检测数学试卷

沧衡名校联盟2025-2026学年高三年级期中质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，再根据乘法法则计算即可. 【详解】由于复数的共轭复数，故复数 所以 故选：D 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据集合运算逐一讨论各选项即可. 【详解】由题知，， 所以，，， 所以，， ， 故选：B 3. 已知数列满足，则（ ） A. 17 B. 25 C. 85 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】根据时和时的表达式作差即可求解. 【详解】由题，当时，， 当时，， 两式作差得：，即. 故选：C 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数平移后得到偶函数可得，再结合充分不必要条件判断可得. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到， 因为图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 则， 则的一个充分不必要条件为. 故选：B. 5. 某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（ ） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，以及向量模长的坐标表示，求出交通拥堵修正向量，根据题目概念，以及向量的线性运算，求出规划路线向量，求出模长，判断结果. 【详解】设交通拥堵修正向量，则，解得或， 即或， 当时，由题意得，则， 则，可知，此次配送为高效配送； 当时，，则，属于无效配送，不符合题意； 故选：B. 6. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据权方和不等式凑配，并利用其求解最值即可. 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 7. 设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】通过为偶函数推出关于对称，通过推出函数的周期为4，再联立等式可求，，故可求值. 【详解】因为为偶函数，所以， 即（①）可知关于对称， 通过（②）， 可知（③）， 联立①②式可得：， 联立②③式可得：， 易得周期为4， ①中令,②中令 可得； 故， 所以， 故选：D. 8. 定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数新定义结合指数、对数的运算性质比较即可. 【详解】因为，由指数函数的单调性可得所以， 由临近整数可得， 由对数函数的单调性可知， ， 由临近整数可得， ，且， ， 由临近整数可得， 所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 方程可能只有这一个根 D. 设方程的另一根为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数相等的概念解方程即可判断AB，根据共轭复数也是对应的方程的根判断CD. 【详解】由于是关于的方程的根， 所以，即， 因为， 所以，解得，故A正确，B错误； 所以关于的方程 将代入上述方程得：， 即也是关于的方程的根，故C错误； 所以， 则，故D正确； 故选：AD 10. 已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】问题化为上恒成立，且，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设，上恒成立， 所以，上恒成立，且， 所以，而的对称轴为，， 当，即，只需即可，此时可能有， 当，即，只需，且， 综上，必有，. 故选：AC 11. 在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 若，且，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，可判断AB；利用诱导公式和二倍角公式可得，可得，再利用正弦定理求解，判断C；，设，再利用二次函数的性质求值域. 【详解】根据题意，，因，则， 所以或， 因为为三角形的内角，则或， 因为三角形为斜三角形，，，即角为钝角，故B正确； 则，故A错误； 若，因，则，代入可得， 即，即， 解得或（舍）， 则，正弦定理，可得，得，故C正确； 由于，，可得， 则， 设，且， 则， 因为，故D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 又因为，可得，即， 联立方程组，解得. 故答案为：. 13. 已知平面向量，若在上的投影向量为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求在上的投影向量为，进而解方程即可得答案. 【详解】因为平面向量 所以在上的投影向量为， 因为在上的投影向量为， 所以，解得 故答案为： 14. 已知，若对任意实数恒成立，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式得对任意实数恒成立，再令，将问题转化为在上恒成立，最后根据求得，并说明时，可以取到即可. 【详解】因为， 所以对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 令，所以在上恒成立， 取时，，即， 当时，等价于， 即恒成立，所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的周长等于，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，并结合正弦和角公式整理得，进而求得答案； （2）根据题意分和讨论求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 因为在中，， 所以， 因为， 所以，则 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以或， 当时，由，故， 由（1）知，则，此时，， 因为的周长等于， 所以，解得， 所以的面积为； 当时，，即，其中为外接圆的半径， 所以， 由余弦定理得， 因为的周长等于， 所以， 所以， 所以，解得， 所以的面积为， 综上，的面积为. 16. 设数列的前项和为，已知，当时，. （1）求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） 当时，，而， 故原式为：，即： ， 等式两侧同时加得：， 即，当时，， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用做差法即可证明为等比数列； （2）讨论绝对值里的正负，分别求当和两种情况下的. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，故， 而，故， 则， 故当时， 当时， 当时，； 当时，， 故. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）根据（2）得，进而得，再令将不等式转化为，最后构造函数研究函数的性质解不等式. 【小问1详解】 解：当时，，则 ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 所以，曲线在点处的切线方程是. 【小问2详解】 解：函数的定义域为，， 所以，当时，在恒成立，在上单调递增； 当时，令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 解：由（2）知，当时，在上单调递增，函数无极值； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，无极小值. 所以，当时，函数有极大值. 不等式即为，整理得， 令，则不等式化简为， 令，则， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以的解集为，即， 所以，即的解集为， 所以，关于的不等式的解集为. 18. 已知为正项等差数列，，为的前项和. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 因为，所以 裂项化简通项 所以 因为，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，得到，所以. （2）先求出，代入得到，利用错位相减法求得； （3）化简得到，利用裂项相消法求出，则 【小问1详解】 利用等差数列性质：，结合 所以 是方程 的根， 因为为正项等差数列，所以公差，，所以 由 ，所以 所以 【小问2详解】 由（1）知等差数列前n项和： 所以，利用错位相减法求前项和， 两式相减得到 所以 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）求证：； （3）已知，若恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）极大值为，无极小值； （2） 可化为，即证． 设，即证恒成立． ， 由得，由得， 在上单调递增，在上单调递减， ，故原不等式成立． （3）. 【解析】 【分析】（1）直接求导，令导函数等于0，最后代入计算即可得到其极值； （2）转化为证明，设，即证恒成立，再求导得到其最大值即可； （3）转化为证明恒成立，令，得，最后分离参数，再结合（1）中结论即可得到答案. 【小问1详解】 的定义域为，令，得， 时，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，为无极小值． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 恒成立， 即恒成立． 令，其中， 则①对于任意恒成立． 设，则， ①式可化为， 设， 则， 在上单调递减， 当且时，， ， ． 设，则恒成立， 由（1）可知， ，即， ∴实数的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧衡名校联盟2025-2026学年高三年级期中质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 17 B. 25 C. 85 D. 125 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 5. 某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（ ） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 6. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 25 7. 设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 方程可能只有这一个根 D. 设方程的另一根为，则 10. 已知函数是增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 若，且，则 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则__________. 13. 已知平面向量，若在上的投影向量为，则__________. 14. 已知，若对任意实数恒成立，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的周长等于，求的面积. 16. 设数列的前项和为，已知，当时，. （1）求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，解关于的不等式. 18. 已知为正项等差数列，，为的前项和. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和; （3）设数列的前项和为，证明：. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）求证：； （3）已知，若恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $