精品解析：河北省邢台市部分高中2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”是全称量词命题，故其否定为，. 3. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【详解】已知，当时： 当时，取，对应的的值为； 当时，取，对应的的值为； 当时，取，对应的的值为； 当时，取，对应的的值为. 可得，集合中有7个元素， 所以集合的子集个数为. 4. 已知圆，点，，若点在圆上，且，则到原点的距离为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，再根据即可判断点在直线上，联立方程，求出点坐标，即可求出点到原点的距离. 【详解】由，，则，且直线的方程为， 又点在圆上，根据三角形三边关系，则， 因为，所以、、三点共线，联立方程得， 则，解得或，则点或， 当点时，，符合题意，此时； 当时，，不合题意， 所以，点到原点的距离为. 5. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 即， 解得， 又因为， 所以. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理结合乘法规则可求的系数. 【详解】因为，， 故的展开式中的系数为： . 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数，且在实数域上单调递增， 因此在实数域上单调递增， 而，因此，即函数的图象关于对称， 因此函数关于对称，即函数为奇函数，且与单调性相同， 因此，即， 等价于， 所以，解得，故原不等式的解集为. 8. 已知在四面体中，，，，设该四面体的外接球球心为，的中点为，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据四面体各组对边相等可构造长方体，进而得出四面体的外接球即为长方体的外接球，从而可得出外接球半径， 最后根据与截面垂直时截面面积最小，可得出结果. 【详解】根据题意，可构造如图所示长方体， 设长方体的长宽高分别为a，b，c，则根据题意可得： 解得， 所以长方体的外接球半径为：，且， 过点E作球的截面中，当截面与垂直时截面面积最小，此时截面半径为：， 所以截面面积的最小值为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某商场销售小组收集了组关于某款商品价格(单位：百元)与日销量(单位：千件)的样本数据，已知原样本数据的样本点中心为，样本数据中有两个异常样本点(偏离经验回归直线的程度比较大)，其中一个异常样本点为，若将这两个异常样本点去掉后，得到一组新的样本数据，已知由新样本数据得到的经验回归直线的斜率为，新样本数据的样本点中心仍为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 新样本数据中变量与呈正相关关系 B. 两个异常样本点去掉后，样本相关系数的绝对值变大 C. 由新样本数据得到的经验回归方程为 D. 另一个异常样本点为 【答案】BC 【解析】 【分析】由回归直线方程的斜率判断A，由样本相关系数的性质判断B，求出剔除异常点后的回归直线方程，代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，新样本回归直线的斜率为，变量与呈负相关，故A错误； 对于B，剔除两个偏离直线较大的异常点后，成对样本数据相关程度更强， 故样本相关系数的绝对值变大，故B正确； 对于C，新样本回归直线经过样本中心，且斜率为， 故，即，故C正确； 对于D，原、新样本的横、纵坐标平均值均为， 所以两个被删点的横坐标之和与纵坐标之和均为， 已知其中一点为，则另一个被删点为． 不是，故D错误． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且该垂线与的左支交于点，恰好是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 的渐近线方程为 B. C. 的面积为4 D. 若，点是右支上的动点，则的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由垂足与中点关系确定，结合双曲线定义和三角形两边之和求最小值，即可判断个选项. 【详解】对于A，设双曲线的半焦距为，则，渐近线的斜率为． 点是到直线的垂足，设． 由直线与垂直，且，得直线的方程为，代入的坐标， 得，即． 所以，，又，故． 由为的中点，得． 将代入双曲线方程，并利用，得， 即，整理得． 因，所以． 此时，且，确在双曲线左支上； 渐近线方程为，故A正确； 对于B，此时，． 由的坐标得，，所以，故B错误； 对于C，，点到轴的距离为，所以三角形的面积为，故C正确； 对于D，双曲线的实半轴长为，且在右支上，由双曲线定义得． 因此． 线段的中点满足，且，故在双曲线右支上并位于线段上，等号可以取得，最小值为，故D正确． 11. 已知函数，，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 有5个零点 C. 的所有极大值之和为12 D. 若方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质判断A，利用导数得出的性质判断B，根据导数确定函数极大值点判断C，利用换元法转化为有两个不同的实根，且，求参数的范围判断D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以不是奇函数，故的图象不关于原点对称，故A错误； 由，解得或， 当时，即， ， 所以当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且时，，时，， 又，所以方程有3个不同的根； 当时，即，方程有两个根，（不满足方程）， 所以有5个零点，故B正确； ， 由可得，由B中性质知有三个根， 所以，当或或时，，单调递减； 当或或时，，单调递增. 所以的极大值分别为，， 所以的所有极大值之和为12，故C正确； 令，则方程有6个不相等的实数根，化为， 即有两个不同的实根，且， 解方程可得， 由，解得，由，解得， 所以当时，原方程有6个不相等的实数根，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于直线对称，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为直线为函数图象的对称轴，故， 故，而，故. 13. 已知抛物线，过其焦点的直线交于，两点，若线段的中点的横坐标为，则______． 【答案】或##或 【解析】 【详解】由题可得点为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程得，消去整理得， 则，，设，则，①， 因为点为线段的中点，则②， 联立①②，解得或， 由抛物线的定义可得，，则， 当时，；当时，， 所以或. 14. 已知表示，，，中最大的数，表示不大于的最大整数，如，．设数列满足，，且，则______． 【答案】60 【解析】 【分析】分析数列的递推规则得出，当 时，，其余情况下数列的递推关系均为：，进而分析出数列的通项表示，从而得出结果. 【详解】根据题意，当，即时， ，此时，， 当时，， 且区间包含个整数，此时，， 由得，， 所以， 又因为，所以， 可得， ， 又因为， 且时，数列为单调递增数列 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，为弧的中点，点在圆上运动． （1）当为劣弧的中点时，证明：平面； （2）若为弧上靠近点的三等分点，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：以为原点，射线为轴正方向，射线为轴正方向，射线为轴正方向建立右手空间直角坐标系. 由轴截面是边长为的等边三角形，得底面圆半径，圆锥高， 则，，，，. 当为劣弧的中点时，对应圆心角，得， 向量，，. 因此，即；，即. 又，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中坐标系，求出平面与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 当为弧上靠近点的三等分点时，对应圆心角，得， 向量，，， 设平面的法向量为，则 ，取，得.， 设平面的法向量为，则 ，取，得， ，，， 设二面角的平面角为，则， 因此二面角的正弦值. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，求当取得最小值时的面积． 【答案】（1）因为，所以由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 由正弦定理得：，所以， 因为，代入得：， 利用正弦的和角公式展开，移项合并化简得：， 因为，， ①，此时； ②，舍去， 所以，即得证. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化为，再根据余弦定理求得，再根据正弦定理化为，再根据正弦的和角公式证明； （2）根据正弦定理及三角恒等变化得到，利用基本不等式和三角形的面积公式解答. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，所以，所以，，， 由正弦定理得：， ， 由基本不等式得：，当且仅当， 即：时等号成立，满足，所以可取等号，此时，， 所以，，. 17. 已知函数，． （1）若在上存在单调递减区间，求的取值范围； （2）若对任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数存在单调递减区间转化为导函数小于0在区间内有解，分离参数后构造函数求最值即可得到参数范围. （2）将双变量不等式转化为两个函数的单调性问题，进一步转化为导函数在区间上恒非正、恒非负，分区间讨论，分离参数，结合函数单调性求最值取交集得到参数范围. 【小问1详解】 . ∵ 在上存在单调递减区间， ∴ 存在，使得，即有解. 令，则. ∵ 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴ ， ∴ ，即的取值范围为. 【小问2详解】 ∵ 对任意，都有， 不妨设，则不等式等价于， 整理得且， 即函数在上单调递减， 在上单调递增， ∴ 对任意恒成立， 且对任意恒成立， 即对任意恒成立. 当时，不等式显然成立. 当时，不等式变形为. 令，则， 令，则， ∴在单调递减，. ∴ ，单调递减， ∴ ，故. 令，则，单调递增， ∴ ，故. 当时，不等式变形为. 令，则，单调递减， ∴ ，故. 令，则，单调递增， ∴ ，故. 取上述范围的交集，得的取值范围为. 18. 某科研团队进行一项新材料的极限测试，测试分为“准备阶段”和“核心阶段”．测试规则如下：若当前处于“准备阶段”，则下一次测试有的概率进入“核心阶段”，有的概率继续保持“准备阶段”；若当前处于“核心阶段”，则下次测试有的概率返回“准备阶段”，有的概率继续保持“核心阶段”．已知该新材料第1次测试处于“准备阶段”，记第次测试处于“准备阶段”的概率为． （1）求和的值； （2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （3）记，设，证明：，． 【答案】（1）， （2）由（1）化简递推公式得：. 对递推式变形：. 又， ∴ 数列是首项为，公比为的等比数列. ∴ ，即. （3）由题意得， ∴ . 当时，，不等式成立. 当时，∵ ，∴ ， ∴ . 综上，对任意，都有. 【解析】 【分析】（1）根据概率规则梳理第次处于准备阶段的两类互斥场景，建立与的递推关系，代入计算即可. （2）对递推公式进行构造变形，结合等比数列定义证明目标数列是等比数列，进而推导的通项公式. （3）先化简的表达式，再对通项进行合理放缩，借助等比数列求和公式证明不等式. 【小问1详解】 ∵ 第1次测试处于准备阶段，∴ . ∵ 第次处于准备阶段包含两种情况：第次处于准备阶段且继续保持，第次处于核心阶段且返回准备阶段， ∴ . 令，得. 令，得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知为坐标原点，椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程． （2）设直线与交于，两点，，，三点不共线． （ⅰ）若在点，处的切线分别为，，且，求面积的取值范围； （ⅱ）证明：当的面积取得最大值时，直线是椭圆的切线． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由①得：， ，当且仅当，即时取等号， 椭圆，联立直线椭圆方程：， 得：，判别式， 代入得：， 整理合并化简得：，所以直线是椭圆的切线. 若斜率不存在，则直线为，，代入椭圆得：， 所以，当且仅当时取等号，此时， 而直线与椭圆相切， 综上所述，直线是椭圆的切线. 【解析】 【分析】（1）根据短轴长，得到，再结合离心率即可求得椭圆方程； （2）（ⅰ）设，求出椭圆在点处的切线斜率，由垂直条件建立关系，再设出直线的方程，再椭圆方程联立，利用韦达定理求出三角形面积的函数关系，进而求出范围；（ⅰⅰ）由（ⅰ）求出三角形面积最大的条件，再联立直线与椭圆的方程，借助判别式推理得证. 【小问1详解】 因为椭圆的短轴长为，所以，， 又因为离心率为，所以，解得：， 所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线与椭圆的交点分别是，，显然， 设椭圆在点处的切线方程为， 由，得， 由，得， 整理得，即，解得， 因此在椭圆在点处的切线斜率为， 同理得该椭圆点处的切线斜率为，由，得， 则，即①； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由，得， 则，即②， ，， 所以， 代入①式得：，解得：， 因为，所以，代入②式验证：，即：恒成立； ， 令，则，则， 令，则，且， 此时，令，其中， 得：，令，， 对称轴为，所以，， 所以，则，则， 当直线斜率不存在时，，由，得， 而，则，， 所以面积的取值范围是. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 4. 已知圆，点，，若点在圆上，且，则到原点的距离为（ ） A. B. 5 C. D. 2 5. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 5 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在四面体中，，，，设该四面体的外接球球心为，的中点为，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某商场销售小组收集了组关于某款商品价格(单位：百元)与日销量(单位：千件)的样本数据，已知原样本数据的样本点中心为，样本数据中有两个异常样本点(偏离经验回归直线的程度比较大)，其中一个异常样本点为，若将这两个异常样本点去掉后，得到一组新的样本数据，已知由新样本数据得到的经验回归直线的斜率为，新样本数据的样本点中心仍为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 新样本数据中变量与呈正相关关系 B. 两个异常样本点去掉后，样本相关系数的绝对值变大 C. 由新样本数据得到的经验回归方程为 D. 另一个异常样本点为 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且该垂线与的左支交于点，恰好是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 的渐近线方程为 B. C. 的面积为4 D. 若，点是右支上的动点，则的最小值为5 11. 已知函数，，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 有5个零点 C. 的所有极大值之和为12 D. 若方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于直线对称，则______． 13. 已知抛物线，过其焦点的直线交于，两点，若线段的中点的横坐标为，则______． 14. 已知表示，，，中最大的数，表示不大于的最大整数，如，．设数列满足，，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，为弧的中点，点在圆上运动． （1）当为劣弧的中点时，证明：平面； （2）若为弧上靠近点的三等分点，求二面角的正弦值． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，求当取得最小值时的面积． 17. 已知函数，． （1）若在上存在单调递减区间，求的取值范围； （2）若对任意的，，都有，求的取值范围． 18. 某科研团队进行一项新材料的极限测试，测试分为“准备阶段”和“核心阶段”．测试规则如下：若当前处于“准备阶段”，则下一次测试有的概率进入“核心阶段”，有的概率继续保持“准备阶段”；若当前处于“核心阶段”，则下次测试有的概率返回“准备阶段”，有的概率继续保持“核心阶段”．已知该新材料第1次测试处于“准备阶段”，记第次测试处于“准备阶段”的概率为． （1）求和的值； （2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （3）记，设，证明：，． 19. 已知为坐标原点，椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程． （2）设直线与交于，两点，，，三点不共线． （ⅰ）若在点，处的切线分别为，，且，求面积的取值范围； （ⅱ）证明：当的面积取得最大值时，直线是椭圆的切线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $