4.3.2 对数的运算课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.2 对数的运算 课堂总结 ax = N　　⟺　　log a N = x 底数 真数 幂 指数 以a为底N的对数 常用对数：底数 10 自然对数ln N：底数 e 基本性质：1.负数和没有对数，即; 2. (a＞0,且a≠1) → 1的对数为0; 3. (a＞0,且a≠1) → 底数的对数为1; 4.对数恒等式： 新课导入 问题　我们知道了对数与指数之间的关系，能否利用指数幂的运算性质得出相应的对数运算性质呢？ 例：设 ，，则. 于是由 ， 所以 . 对数的运算性质1： (a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0) 同样地，仿照上述过程，由和，可以推导出对数运算的其他性质 新课讲解 对数与指数运算对照表(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，) 例题讲解 例1 求下列各式的值 （1）log2()； （2）lg； （3） 例题讲解 例2　用ln x，ln y，ln z表示ln； 解析： 基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行 常用方法 “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数 “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) 对数式化简与求值的基本原则和方法 针对训练 针对训练 [解析] ①原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)×lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 新课讲解 探究 根据对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？ 推导　设 ，则 ， 两边取以 c 为底的对数：， 即 ，所以 x = . 1．换底公式 logab＝________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论 logab＝(b＞0，且b≠1；a＞0，且a≠1)． 例题讲解 例题讲解 例题讲解 例题讲解 方法总结 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 针对训练 3．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)． 针对训练 4．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________． 例题讲解 方法总结 解对数应用题的4个步骤 针对训练 课堂总结 1 三条性质 积化和 商化差 幂化倍 真数都必须大于 0 2 换底公式 底数不同先换底 loga b · logb a = 1 常用 lg 或 ln 换底后约分求值 3 化简策略 正用：展开 逆用：合并 换底：统一 先看结构，再定方向 式子 ab＝N logaN＝b 运算 性质 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN ＝am－n loga＝logaM－logaN (am)n＝amn logaMn＝nlogaM [答案] A 1　(1)若lg 2＝a，lg 3＝b，则等于(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)＝＝＝＝. ②原式＝ ＝＝. (2)①(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； ②； ＝ ＝log25×(3log52) ＝13log25×＝13. 例3　(1)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)的值； (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． [解]　(1)法一：原式＝· [典例2]　(1)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)的值； (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． 法二：原式 ＝ ＝ ＝＝13. [典例2]　(1)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)的值； (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． (2)法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是log3645＝＝＝ ＝＝. [典例2]　(1)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)的值； (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． 法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是log3645＝＝＝. 解：原式＝ ＝× ＝×＝. 解析：法一：由已知可得··＝2，即＝2， ∴lg 3＝2lg a，∴a2＝3，a＝. 法二：由已知得logab··＝2， 即loga3＝2，∴a＝. 答案： 例3　在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和 燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000 (e为自然对数的底数)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln 3≈1.099) [解]　(1)因为v＝ln2 000＝2 000 ln， 所以v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)． 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s. 答案：D　 2．(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 解析：由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N. $