4.3.2对数运算(2) 第3课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 第三单元 对数及运算 （共3课时） 人教A版必修第一册 对数的运算（2） 第3课时(换底公式) 人教A版必修第一册 情境引入 对数运算的基本结论和运算法则： 三个运算法则 如果，且，，那么： （1）； （2）； （3）. 三个基本结论 如果，且，那么： （1）， （2）. （3）N. 情境引入 问题的提出： 1.同底数的两个对数可以进行加、减，可以进行乘、除吗？ 2.由=，可得x=，但这只是一种表示，如何求得x的值？ 情境引入 【问题1】根据对数定义验证下列式子是否成立？由此你有什么猜想？ (1)； (2). 【验证】设 ，则 ，. 所以，所以，即 【追问1】一般地，你能用，表示吗？ （其中，且，，，且） 【验证】设 ，则 ，于是， 根据性质（3）得， ，即. 对数换底公式 1.对数换底公式 1.对数换底公式 一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数. （其中，且，，，且） 【追问2】换底公式有什么作用？ 【意义】换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同的底数问题转化为同底数问题后求解. 【追问3】在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍. 【解析】因为 ，即 ， 所以 ，利用计算工具，可得， 由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍. 1.对数换底公式 2.对数换底公式的推论: （其中，且，，，且） （1）； （2）； （3）； （4）. 【问题2】利用换底公式判断： 与， 之间有什么关系？ 1.对数换底公式 【例1】求值： (1) ； (2)； (3)()(); (4)()； (5)(+)(+). 2.对数换底公式应用 【练习】(1)设2a＝5b＝m，且＋=2，则m= ; 　 (2)设3a＝4b＝36，则＋ = . 【例2】 (1)已知2x＝3y＝5z，且++=1，求x，y，z；　 (2)设3a＝4b＝ 6c ，求证 = . 2.对数换底公式应用 【例3】已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456. 2.对数换底公式应用 【变式1】本例条件不变，试用a，b表示log2898. 【变式2】若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？ 【练习】已知log189＝a，18b＝5，用a,b表示log3645和求log915的值. 2.对数换底公式应用 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 2.对数换底公式应用 2.对数换底公式的推论 【例6】解下列关于x的方程. (1)log2x⋅log34⋅log59=8； (2)log5(2x+1)=log5(x22)； (3)(lg5x)2+3lgx10=0. 【例3】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 3.对数运算的实际应用 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和. 由 可得，于是， ， 利用计算工具可得， ，虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级， 但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 【问题3】想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小. 这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上. 以10为底的指数幂运算中 在以10为底的对数运算中 所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢. 3.对数运算的实际应用 解决对数应用题的一般步骤 3.对数运算的实际应用 【练习1】分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小:把一很小的声压P0＝2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,说明声音环境优良,60~110为过渡区,110以上为有害区. (1)试列出分贝y与声压P的函数关系式; (2)某地声压P＝0.002帕,则该地为以上所说的什么区?声音环境是否优良? 解：(1)由已知得y＝20lg (其中P0＝2×10-5). (2)当P＝0.002 时,y＝20lg ＝20lg 102＝40(分贝). 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为噪音无害区,声音环境优良. 3.对数运算的实际应用 3.对数运算的实际应用 课堂小结 换底公式及其变形： （其中，且，，，且） （1）； （2）； （3）； （4）. 布置作业 1.教材P127，第5，6，7题； 2.同步：三维设计+课时训练（261-262） 随堂练习 1.如果，那么（ ） A. B. C. D. 【解析】 由 ，可得 随堂练习 2.计算： （ ） A. B. C. D. 【解析】 原式 随堂练习 3.设 ，，则 （ ） 【解析】 A. B. C. D. ∵ ，∴ ∴ 随堂练习 4.朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为 ，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数，为吸光物质的浓度，单位为mol/L，为吸收层厚度，单位为 cm. 保持不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的变为（ ） A. B. C. D. 随堂练习 由，得 ， 【解析】 所以 . 若保持不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时， 则 ，所以 ， 所以 ，所以透光度由原来的变为. 随堂练习 5. （1）； （2）； （3）. 随堂练习 （1）原式 【解析】 . （2）原式 . （3）原式 . [解]　因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝eq \f(1,b). 所以log1456＝eq \f(log356,log314)＝eq \f(log3(23×7),log3(2×7))＝eq \f(3log32＋log37,log32＋log37)＝eq \f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a)＝eq \f(3＋ab,1＋ab). 解：log2898＝eq \f(log398,log328)＝eq \f(log3(72×2),log3(22×7))＝eq \f(2log37＋log32,2log32＋log37)＝eq \f(\f(1,b)＋2a,\f(2,b)＋a)＝eq \f(2ab＋1,2＋ab). 解：因为3b＝2，所以b＝log32.又a＝log37，所以log1456＝eq \f(log3(23×7),log3(2×7))＝eq \f(3log32＋log37,log32＋log37)＝eq \f(3b＋a,a＋b). 【练习2】在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2 000(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)． [解]　因为v＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2 000＝2 000lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))， 所以v＝2 000ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)． 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s. $