精品解析：江苏泰州市第二中学2026-2027学年高二上学期期中限时练习试卷

高二第一学期期中限时练习数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角的概念计算即可. 【详解】由题意可知直线平行于纵轴，即其倾斜角为. 2. 已知抛物线方程为，则它的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 3. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 16 C. 2或14 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 5. 已知圆，直线，若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为圆心到直线的距离问题，再由点到直线的距离公式可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 即，解得. 6. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【详解】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点，然后结合圆的切线性质计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 由题意得，解得， 即， 设圆的圆心为C，则，，， 故， 根据对称性，光线经过的路程即为. 8. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义写出各焦半径，用勾股定理求出m与a的关系，进而得到a,c关系式求出离心率. 【详解】   连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率.      二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为1，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，直线，令即，， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，若直线在轴上的截距为1，则直线过点， 代入直线方程得，解得，故B正确； 对于C，若直线与直线垂直，则，解得，故C错误； 对于D，，且，所以由正切函数的单调性可知，故D正确． 10. 如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据双曲线求得焦点坐标及焦距，根据椭圆的标准方程判断即可；对于B，根据切线长定理及双曲线、椭圆的定义求解即可；对于C，根据椭圆的定义求出，进而求离心率即可；对于D，根据双曲线、椭圆的定义及完全平方公式求解即可. 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则. 故焦点，.则，A错误. 对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，， 由双曲线定义得， （*）， 又，，代入（*）解得，故切点为，B正确. 对于C，若，则. 双曲线：，所以. 椭圆：，则，所以. 故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则. 又，则， 所以，则， 即，则，， 故椭圆方程为，D正确. 11. 已知曲线的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的图形面积为 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合曲线方程的对称性、图形构成、坐标范围、覆盖条件，逐一推导判断各选项的正误. 【详解】选项A：若点在曲线上，满足， 其关于直线的对称点为，代入方程得，与原方程完全一致， 说明对称点仍在曲线上，因此曲线关于直线对称，A正确. 选项B：因为点在曲线E上，结合方程可知点也都在曲线E上， 则曲线E关于x轴，y轴以及原点对称， 当时，方程整理为， 即圆心在、半径的圆在第一象限的部分, 整体曲线是由顶点为的正方形，以各边为直径向外侧作半圆围成的图形， 其中正方形面积为，四个半圆的总面积等价于2个半径为的整圆面积，即， 因此曲线围成的总面积为，B正确； 选项C：结合曲线图形可得曲线上的点到原点的最大距离出现在点处，距离为， 因此能覆盖曲线的圆的最小值为，而非，C错误； 选项D：由可得，结合平方项非负的性质，可得， 开方整理得，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题、每小题5分．共15分． 12. 直线与直线的距离为______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】直线可化为， 所以直线与直线的距离为. 13. 若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可知，再结合点到直线距离公式可得，又因为，于是解得. 【详解】由题可知为等边三角形， 设到的距离为，圆的半径为， 则，再结合点到直线距离公式可得. 所以，又因为，所以解得 14. 从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结合椭圆方程即可得解. 【详解】由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则，， 因为，可得， 即，且，可得， 所以切线的方程为， 同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为， 则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行斜率相等，利用点斜式求解直线方程； （2）若截距为0，直线过原点，利用斜截式求解直线方程，若截距不为0，利用截距式求解直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． 【小问2详解】 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为， 综上得：直线方程为或． 16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． （1）求圆的方程 （2）若，求点的轨迹的方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1)运用直接法，根据题设距离比值条件，先利用两点间距离公式列式，再化简配方求得阿氏圆方程即可；(2)运用相关点代入法，先由向量相等得到中点关系，建立主动点P与从动点Q的坐标关系式，再将P点坐标用Q点坐标表示后代入已知曲线方程，最后求出Q点的轨迹方程即可. 【小问1详解】 设 ， ∵，∴，∴， 化简得：，即： 圆的方程是：. 【小问2详解】 设 ，为中点 ∴ ，即：， 在圆上，代入 ， ， 即：， 点的轨迹的方程为：. 17. 已知椭圆：（），直线：被椭圆截得的弦长为，且满足，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再结合，求出即可； （2）根据题意得到直线的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由被椭圆截得的弦长为，得，又，所以，即，解得，， 所以所求的椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，，椭圆的右焦点，所以的方程为， 联立，化简得， 由韦达定理得，；， 所以. 18. 已知双曲线：（）的渐近线方程为. （1）求的值. （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）（ii）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. 【小问1详解】 已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 19. 已知椭圆的中心在原点，左右两焦点为，，焦距为4，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长为16 （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为 ， 所以， 综上，为定值0； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦距得到，由椭圆定义和三角形周长得到，，故，得到椭圆方程； （2）（i）当直线斜率为0时，，当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出； （ii）由（i）可得，由基本不等式得到面积最大值，得到答案. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上， 因为焦距为，所以，解得， 由椭圆定义可得， 的周长为，故， 解得， 又，故， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期期中限时练习数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线方程为，则它的焦点是（ ） A. B. C. D. 3. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 16 C. 2或14 D. 14 5. 已知圆，直线，若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为1，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 11. 已知曲线的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的图形面积为 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，则 三、填空题：本题共3小题、每小题5分．共15分． 12. 直线与直线的距离为______． 13. 若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 14. 从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． （1）求圆的方程 （2）若，求点的轨迹的方程． 17. 已知椭圆：（），直线：被椭圆截得的弦长为，且满足，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求. 18. 已知双曲线：（）的渐近线方程为. （1）求的值. （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 19. 已知椭圆的中心在原点，左右两焦点为，，焦距为4，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长为16 （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $