江苏省泰州市第二中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026年度高二年级秋学期期中考试

数学试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 直线的倾斜角为（   ）

A. 0° B. 45° C. 90° D. 不存在

2. “”是“方程表示双曲线”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知直线，若，则的值为（　　）

A.  B. 3 C. -1 D. 3或-1

4. 若抛物线的焦点在直线上，则等于（   ）

A.  B.  C.  D. 3

5. 已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 等差数列中，若，则的值为（   ）.

A. 35 B. 42 C. 49 D. 70

7. 已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为（   ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则的方程为（   ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法中，正确的有（   ）

A. 直线在轴上的截距是

B. 直线经过第一、二、三象限

C. 过点，且倾斜角为的直线方程为

D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为

10. 已知数列的前项和为，下列说法错误的是（   ）

A. 若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列

B. 若、为等比数列，则为等比数列

C. 若为等差数列，，，，则当时，最大

D. 若为等差数列且公差，，是与的等比中项，则

11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ）

A.

B.

C.

D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为2的直线的方程为_____.（写成一般式）

13. 已知双曲线的左右两个焦点分别是、，焦距为8，点是双曲线上一点，且，则__________.

14. 已知曲线，是曲线上任意一点，则的最大值为_____.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知直线经过点，且与直线垂直.

（1）求直线的一般式方程；

（2）已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程.

16. 记数列的前项和为，已知.

（1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

17. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且.

（1）证明：直线过定点；

（2）求的最小值.

18. 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点，其中点在第一象限，