精品解析：广东江门市福泉奥林匹克学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

江门市福泉奥林匹克学校2026－2027学年第一学期期中质检 九年级数学 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，总30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 3. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 4. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 抛物线，， 共有的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 对于抛物线的图象，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而增大 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m），设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 直线与抛物线在同一坐标系中大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论：①；②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根；④；⑤，中所有正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，总15分） 11. 已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是____________． 12. 某学校要组织一次九年级篮球赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），计划安排91场比赛，则该学校九年级共有________个班级． 13. 把方程化成的形式，则的值是________． 14. 如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 15. 如图，抛物线的对称轴为直线，顶点为，且该抛物线与轴的交点为．若是该抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为_________． 三、解答题一（每题7分，总21分） 16. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得……第一步 移项，合并同类项，得……第二步 系数化为1，得……第三步 回答下列问题： （1）小明的解法从第_________步开始出现错误；理由是________________________________________． （2）写出一元二次方程正确的解法． 17. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． （1）求该二次函数解析式． （2）当时，求y的取值范围． 18. 已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 四、解答题二（每小题9分，总27分） 19. 阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，当时，无实数根，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）用换元法解方程时，新字母设为，原方程化为_________，解得_________． （2）根据材料解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 21. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“丧萌反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ （3）在（2）的基础上，月销售利润能达到7300元吗？说明理由． 五、解答题三（22题13分，23题14分，总27分） 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 23. 如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式： （2）当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； （3）作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市福泉奥林匹克学校2026－2027学年第一学期期中质检 九年级数学 时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，总30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：选项：的未知数最高次数为，不符合题意； 选项：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为，符合题意； 选项：方程含，不是整式方程，不符合题意； 选项：方程含、两个未知数，不符合题意． 2. 已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】对于反比例函数，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴该函数的图象必在第二、四象限． 3. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将方程的解代入原方程即可求出参数的值． 【详解】解：把代入，得，解得． 故选A． 【点睛】方程的根代入等式一定成立，注意计算时不要出现符号错误． 4. 点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由两点纵坐标符号不同可知两点不在同一象限，结合时反比例函数的图象象限分布，判断、的正负即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象分布在第二、四象限， ∵点的纵坐标为， ∴该点在第四象限，， ∵点的纵坐标为， ∴该点在第二象限，， ∴． 5. 抛物线，， 共有的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】由二次函数的性质可知，抛物线，， 共有的性质是：开口向上，对称轴是y轴，有最低点，在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大， 故选：B． 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 先将二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的平移规律，即可得到答案． 【详解】∵， ∴抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式为：，即：． 故选A． 7. 对于抛物线的图象，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故D错误． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m），设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的性质，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定拼合后矩形的长和宽是解题关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，由平移的性质，可将停车位拼合为一个矩形，该矩形的长为，宽为，根据题意得 ． 9. 直线与抛物线在同一坐标系中大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a＞0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故选项A不符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项B符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故选项C不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论：①；②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根；④；⑤，中所有正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，从函数图象中有效的获取信息是解题的关键．与轴的交点个数，判断①，特殊值判断②，对称性和图象法，判断③，对称轴结合特殊点，判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵图象与轴有两个交点， ∴；故①正确； 由图象可知，对称轴为直线，且当时，，故②错误； ∴， ∴， 当此抛物线经过点时，由对称性可知，图象经过点， ∴一定是方程的一个根；故③错误； ∵，当时，， ∴，故④正确； ∵对称轴为，抛物线的开口向下， ∴函数有最大值为， ∴当时，， ∴；故⑤正确； 综上，正确的有3个； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，总15分） 11. 已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数要求自变量的次数为，且二次项系数不为，据此列条件求解． 【详解】解：∵ （为常数）是二次函数， ∴ ，且， 解得或，即或， 由得， 因此． 12. 某学校要组织一次九年级篮球赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），计划安排91场比赛，则该学校九年级共有________个班级． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了单循环赛制下的组合数学问题及一元二次方程的应用；解题的关键是理解单循环赛制“每两班之间只赛一场”的本质——总比赛场数为从班级总数中任选2个班级的组合数，进而建立方程求解班级数量． 设九年级共有个班级，因单循环赛中每个班级需与其余个班级各赛1场，但每场比赛会被重复计算2次，故总比赛场数为；根据计划安排91场比赛，列方程，求解一元二次方程并舍去负根，得到班级总数． 【详解】解：设该学校九年级共有个班级． ∵赛制为单循环形式（每两班之间赛一场）， ∴总比赛场数为从个班级中选2个班级的组合数，即． 根据题意列方程： ， 两边同乘2得：， 展开并整理得：， 因式分解得：， 解得：或（班级数量为正整数，舍去）． 故答案为：14． 13. 把方程化成的形式，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式是解题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，确定和值后再相加即可． 【详解】， ， ，即， 则，， ， 故答案为：． 14. 如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 15. 如图，抛物线的对称轴为直线，顶点为，且该抛物线与轴的交点为．若是该抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出抛物线的表达式，通过计算证明是等边三角形，过点P作于点D，当P、A、D三点共线时，的值最小，为的长，计算求出即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ，解得， ∴该抛物线的表达式为． 如图，设该抛物线的对称轴与x轴交于点C，连接． 将配方，得， ， ， ， 是等边三角形， ． 如图：过点P作于点D，则， ∴ 当P、A、D三点共线时，的值最小，为的长， ， 的最小值为3． 三、解答题一（每题7分，总21分） 16. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得……第一步 移项，合并同类项，得……第二步 系数化为1，得……第三步 回答下列问题： （1）小明的解法从第_________步开始出现错误；理由是________________________________________． （2）写出一元二次方程正确的解法． 【答案】（1）一，方程两边不能同除以含未知数的整式，因为当，即时，不能作除数，这样会漏掉一个根. （2）， 移项得， 提取公因式得，即， 所以或， 所以，． 【解析】 【分析】（1）依据等式性质，除数不能为0，即可判断错误步骤； （2）利用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵的值可以为0，小明第一步在方程两边同时除以时，违背了除数不能为0的条件， ∴该操作会丢失方程的根， ∴解法从第一步开始出现错误． 【小问2详解】 略 17. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． （1）求该二次函数解析式． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【小问1详解】 解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 18. 已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】1或2 【解析】 【分析】分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， ，若，则， ，即方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 四、解答题二（每小题9分，总27分） 19. 阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，当时，无实数根，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）用换元法解方程时，新字母设为，原方程化为_________，解得_________． （2）根据材料解方程：． 【答案】（1）；6或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据或，转化为方程，，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得或； 【小问2详解】 解：根据题意，得或，方程转化为或， 当时， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求得，然后将点坐标代入反比例函数求得； （2）不等式表示一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点），结合图象直接写出解集即可； （3）先求出直线的解析式，确定其与轴的交点的坐标，再根据翻折的对称性，求出点的坐标，设与轴交于点，过点作轴于点，分别表示出相关线段的长，最后由即可求得的面积． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 解得， ． 将点代入，得． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，不等式的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时对应的的取值范围， 结合两个交点和以及反比例函数的两支图象，可得解集为或． 【小问3详解】 解：将，代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数为． 令，则， 一次函数与轴交点的坐标为． 轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处， 点的坐标为． 如图，设与轴交于点，过点作轴于点， 则，，，，． ． 21. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“丧萌反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ （3）在（2）的基础上，月销售利润能达到7300元吗？说明理由． 【答案】（1）该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． （3）月销售利润不能达到元．理由如下： 设每套降价元时月销售利润为元， 根据题意得，整理得， ∵， ∴该方程无实数根，故月销售利润不能达到元． 【解析】 【分析】（1）根据1月、3月的销售量，结合月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解． （2）根据单件利润与销售量的乘积等于总利润的等量关系列方程求解． （3）通过判断对应一元二次方程是否有实数根，确定利润能否达到目标值． 【小问1详解】 解：设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x，  由题意可得：，解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每套降价a元时，月销售利润为4800元． 此时单件利润为元，月销售量为套． 由题意可得：， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 所以售价为（元）． 答：当售价为48元时，月销售利润为4800元． 【小问3详解】 略 五、解答题三（22题13分，23题14分，总27分） 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 【答案】（1） （2）①且；②的值为或 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点P的坐标； （2）①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，由根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式组求解即可； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而得到，求出的值，即可得到的值； （3）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为； 【小问2详解】 解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，且， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 23. 如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式： （2）当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； （3）作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将，坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用△的面积减去△的面积得出△的面积，分析关于的二次函数的最值； （3）根据矩形的顶点坐标，结合矩形的边与抛物线的交点情况，分三种情况讨论矩形各边中点在抛物线上的情形，分别列方程求解并检验，确定的值． 【小问1详解】 解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， 的面积减去的面积得出的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； 【小问3详解】 解：点位于第四象限， ， ，即点位于点右侧， 矩形与抛物线有三个交点， 点位于抛物线对称轴左侧， ， 点的对称点为， 则必有， 即， ， 由题意得，，， ①当中点位于上时，如图， 中点坐标为，， 又中点在抛物线上， ， ， 解得：（舍去），； ②当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），（舍去）； ③当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的最值问题、矩形的性质以及函数交点与中点问题，熟练运用二次函数的性质、矩形的相关性质及分类讨论思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $