精品解析：广东省江门市蓬江区楼山初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量调研 九年级数学科 一、单选题：（本大题10小题，每题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为( ) A. B. C. D. 3. 若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 4. 对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 7. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 50° B. 40° C. 30° D. 25° 9. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的有______个． ①；②；③；④关于x的方程有实数根 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____． 12. 若抛物线有最小值，则m的取值范围是______． 13. 把方程化为一般形式是____． 14. 政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元．设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_______． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若线段，则长度为______． 三、解答题：（第16题每小题4分，17题6分，18题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格上，点的坐标为(4，-1)． （1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转得△A1B1C1， （2）写出点B1的坐标是　 　 ． 四、解答题（二）（19、20每小题9分，21题11分，共29分） 19. 已知二次函数y=x2+4x+k-1. （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值. 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 五、解答题：（第22题11分，第23题14分，共25分） 22. 如图，AB是的直径，点C、D在上，且AD平分，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB． 证明EF是的切线； 求证：； 已知圆的半径，，求GH的长． 23. 如图甲，直线与x轴、y轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量调研 九年级数学科 一、单选题：（本大题10小题，每题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据中心对称的概念可作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 解答：解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意； B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意． 故选C． 2. 将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】移项得,x2+4x=−3， 配方得,x2+4x+4=−3+4， 即(x+2)2=1. 故答案选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据配方法解一元二次方程． 3. 若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为，而圆心到直线的距离为，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为，圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：B． 4. 对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 其图象的顶点坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了通过二次函数顶点式写出顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键． 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为， 故选：D． 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：A． 7. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对应点为， ∵， ∴． 故选：A 8. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 50° B. 40° C. 30° D. 25° 【答案】D 【解析】 【分析】连接OC，根据切线的性质定理可得∠OCD＝90°，再求得∠DOC＝50°，利用圆周角定理即可求得∠A的度数． 【详解】连接OC， ∵DC是⊙O的切线，C为切点， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝40°， ∴∠DOC＝50°， ∴∠A＝∠DOC＝25°． 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理，正确得出∠DOC＝50°是解题关键． 9. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的有______个． ①；②；③；④关于x的方程有实数根 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可知：抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴， ∴，，， ∴．故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间． 又∵抛物线开口向下， ∴当时，函数值小于零，即．故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 又∵， ∴．故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的图象与直线有交点， ∴关于x的方程有实根．故④正确． 故选：B． 10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断． 【详解】解：当0＜t≤2时，S=t2， 当2＜t≤4时，S=t2﹣（2t﹣4）2=﹣t2+8t﹣8， 观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C． 故答案为C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若抛物线有最小值，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，开口向上的二次函数有最小值，则对应的函数解析式中二次项系数为正，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最小值， ∴， 故答案为：． 13. 把方程化为一般形式是____． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)，通过移项变换即可得到答案． 【详解】解：由得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键． 14. 政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元．设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，由题意得： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键是根据题意得到方程即可． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若线段，则长度为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3． 三、解答题：（第16题每小题4分，17题6分，18题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长． 【答案】2 【解析】 【分析】连接OC，利用直径AB=10，则OC=OA=5，再由CD⊥AB，根据垂径定理得CE=DE=CD=4，然后利用勾股定理计算出OE，再利用AE=OA-OE进行计算即可． 【详解】连接OC，如图， ∵AB是⊙O的直径，AB＝10， ∴OC＝OA＝5， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE＝CD＝×8＝4， 在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4， ∴OE＝＝3， ∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2． 【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是关键． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格上，点的坐标为(4，-1)． （1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转得△A1B1C1， （2）写出点B1的坐标是　 　 ． 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，确定点的位置，即可求解； （2）根据直角坐标系和点的位置，求得点的坐标即可． 【详解】略 【点睛】此题考查了网格作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转的有关性质，确定点的位置． 四、解答题（二）（19、20每小题9分，21题11分，共29分） 19. 已知二次函数y=x2+4x+k-1. （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值. 【答案】k＜5；k=5． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、当抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k的取值范围；(2)、顶点在x轴上则说明顶点的纵坐标为0. 试题解析：(1)、∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，即16-4k+4＞0.解得k＜5. (2)、∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0，即=0.解得k=5. 考点：二次函数的顶点 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】（1）y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） （2）能飞越 把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）8.1米 【解析】 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 五、解答题：（第22题11分，第23题14分，共25分） 22. 如图，AB是的直径，点C、D在上，且AD平分，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB． 证明EF是的切线； 求证：； 已知圆的半径，，求GH的长． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AE， 又∵EF⊥AE， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线 （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90° ∴∠DAB+∠OBD＝90° 由（1）得，EF是⊙O的切线， ∴∠ODF＝90° ∴∠BDF+∠ODB＝90° ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD ∴∠DAB＝∠BDF 又∠DAB＝∠DGB ∴∠DGB＝∠BDF （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可证OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切线；（2）由同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性质可得∠DGB＝∠BDF；（3）由题意可得∠BOG＝90°，根据勾股定理可求GH的长． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）连接OG， ∵G是半圆弧中点， ∴∠BOG＝90° 在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2． ∴GH＝＝. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键． 23. 如图甲，直线与x轴、y轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 （3）最大面积为， 【解析】 【分析】（1）由直线解析式可求得、坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得点坐标及对称轴，可设出点坐标，表示出、和的长，分、和三种情况，可分别得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标； （3）过作轴，交直线于点，交轴于点，可设出点坐标，表示出点的坐标，表示出的长，进一步可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时点的坐标． 【小问1详解】 直线与轴、轴分别交于点、点， ，， 把、坐标代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 ， 抛物线对称轴为，， 设，且， ，，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有，解得 ，此时； ②当时，则有，解得与点重合，舍去或，此时； ③当时，则有，解得或，此时或； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或； 【小问3详解】 如图，过作轴，交于点，交轴于点， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，此时点坐标为， 即当点坐标为时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，特殊三角形问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $