31.2.1 课时2 平行线分线段成比例2026-2027学年九年级数学下册人教版

31.2.1 课时2 平行线分线段成比例2 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.探索并证明三角形相似判定定理的预备定理. 2.会利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算，发展推理能力. 学习目标 BY YUSHEN 22051 回顾：1.什么是平行线分线段成比例的推论？ 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 2.相似三角形的定义是什么？ 对应边成比例、对应角相等的两个三角形相似. 复习导入 BY YUSHEN 22051 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC 分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 思考1 由前面所学的结论，在一个三角形中，你能作出一个与这个三角形相似的三角形吗? 新知探究 BY YUSHEN 22051 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC 分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 分析： 在△ABC中，由 ，可知△ADE 与△ABC的角分别相等. 由前面基本事实的推论，可知 ，若能再证明 ， 就能证明这两个三角形的边成比例，从而证明△ADE∽△ABC. DE//BC = = 新知探究 BY YUSHEN 22051 证明： 过点E作EF//AB，交 BC 于点F. ∴ = . ∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， = . 根据平行四边形的定义得：四边形BFED是平行四边形， ∴ BF=DE，∴ = =，∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等，∴△ADE∽△ ABC. 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC 分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考2 当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形与原三角形相似吗？ 如何转化DE呢？ 如图，DE//BC，点D，E分别在BA，CA的延长线上. 求证：△ADE∽△ABC. 新知探究 BY YUSHEN 22051 证： 过点D作DF//AC，交BC的延长线于点F. ∴ = . ∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠E=∠ACB， = . 根据平行四边形的定义得：四边形CFDE是平行四边形，∴CF=DE， ∴ = = ，∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等，∴△ADE∽△ ABC. 如图，DE//BC，点D，E分别在BA，CA的延长线上. 求证：△ADE∽△ABC. 新知探究 BY YUSHEN 22051 符号语言 ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ ABC. 三角形相似的判定定理的预备定理 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. “A ”型 “X ”型 新知 BY YUSHEN 22051 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∴△ABF∽△CEF. ∴ = ， 又E是CD的中点，∴ AB=CD=2CE. ∴=2. 例 如图，在▱ABCD中 ，E是CD的中点，AC，BE相交于点F. 求的值. 典型例题 BY YUSHEN 22051 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3，EF = 4，求 CD 的长. 解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， ∴ △DEF ∽ △DAB， D A C B E F ∴ 即 解得 AB = 10. 又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ CD = AB = 10. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 三角形的相似预备定理 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 定理 模型 “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.如图，AB∥CD，若BO＝6，OD＝3，AB＝4，则CD的长是(　 ) A. 6 B．1 C．2 D．3 C 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m，测得AE=6 m，BE=18 m，则旗杆BC的高度是（     ） A．9 m B．12 m C．18 m D．24 m B 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.如图，在中，过点 的直线与对角线，边分别交于点和点 ，过点作,交于点 ，则图中相似三角形有( ) B A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.如图，是边上一点，连结 ，过上点作，交于点 ，过点作交于点.已知 ， . （1）求 的长； 解：， . ，. ， . 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 （2）若，求 的长. ，， . ， ， . ，， ，即 . . 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $