31.2.1 平行线分线段成比例 第1课时 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十一章 相似 31.2 相似三角形 31.2.1 平行线分线段成比例 课时1 1.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论. 2.能应用该基本事实及其推论进行相关线段的证明与计算. 学习目标 2 问题 请观察下列各组三角形，思考它们之间存在怎样的关系？ (1) (2) (3) 形状相同，大小不同. 符合这样特征的两个三角形，我们叫作相似三角形. 在相似多边形中， 最简单的是相似三角形. 课堂导入 符号语言： 在ABC和A′B′C′中， ∵∠A=∠A′， ∠B=∠B′，∠C=∠C′, k， ∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k. 全等三角形可以看作相似比为 1 的相似三角形. 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形. 与全等三角形书写习惯相同，同样要注意字母顺序. 知识点1 相似三角形 新知讲解 方法 有序表示法 无序表示法 书写格式 △ABC ∽△A′B′C′ △ABC 与 △A′B′C′ 相似 注意事项 经常把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上，即顶点 A 与 A′，B 与 B′，C 与 C′分别对应. 两三角形的顶点没有明确对应关系，需要分类讨论它们之间的对应关系. 注意：相似三角形常见的两种表示方法的区别 知识点1 相似三角形 新知讲解 如图所示，已知△ABC∽△ADE，则 ∠ABC = ∠ADE，且 ∠A = ______， ∠ACB = ______， ______ = ______. 解析：由 △ABC∽△ADE 可知 ∠A 与 ∠A，∠B 与 ∠ADE，∠C 与 ∠AED 分别是对应角，AB 与 AD，AC 与 AE，BC 与 DE 分别是对应边， 故 ∠A = ∠A，∠ACB = ∠AED，. ∠A ∠AED 例1 注意比的顺序性， 即分子为同一个三角形的三边， 分母为同一个三角形的三边. 知识点1 相似三角形 新知讲解 确定相似三角形对应关系的两种方法 (1)通过“∽”确定. 用“∽”连接的两个三角形对应顶点是确定的. △ABC ∽ △ADE； (2)结合图形确定， 知识点1 相似三角形 新知讲解 跟踪训练 已知：如图，点  在边  上，若 △ADC∽△ACB，则  ______，∠ADC ______，  . ∠B ∠ACB AC CD AD 知识点1 相似三角形 新知讲解 我们已经知道，判断两个三角形相似，核心条件是三组对应边成比例. 想要研究三角形相似的判定方法，就绕不开 “线段成比例” 这个基础问题. 那线段之间什么时候会出现成比例的关系呢？我们先跳出三角形，从更一般的几何模型入手： 当一组平行线去截取两条直线时，截出来的对应线段，长度之间存在怎样的数量规律？今天我们就先来学习支撑相似判定的核心基础 ——平行线分线段成比例. 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 探究 如图，利用信息技术工具，任意画两条直线 ，，再画三条与 ， 都相交的平行线 ，，，三条平行线在  上截得的线段分别为 ，，，在  上截得的线段分别为 DE，EF，DF. 度量上述线段的长度，哪些线段成比例？ . 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 探究 平移  或  或 ，它们依然互相平行，你得到的结论还成立吗？ 结论仍然成立. 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 如图，∵， ∴. 简记为 . 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 探究 倘若进一步平移  ，使点 D 与点 A 重合，或者点 E 与点 B 重合， 你还能发现什么结论？ 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 得到如图所示的两种情况： 在图（1）中，把 l4 看成平行于 △ACF 的边 CF 的直线； 在图（2）中，把 l3 看成平行于 △BCF 的边 CF 的直线. 图 图 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 由此得到如下推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 符号语言： 如图，∵ DE∥ BC， ∴ 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 由此得到如下推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 溯源 平行线分线段成比例的基本事实是研究三角形相似判定的重要基础. 早在公元前 300 年左右，古希腊的数学名著《原本》中就有上述基本事实的推论，出现在卷 VI 的命题 2 中. 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 例2 解：由题意可知，穿过索塔的拉索一共需要 5 根. 设索塔左侧第 1 根拉索到第 5 根拉索在桥梁上的位置分别为 、、、、，索塔上索鞍的位置分别为 . 如图，是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁OA，OB关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行. 索塔上拉索最高索鞍（用于拉索穿过并固定的索塔装置）C到桥梁的距离OC为15m，索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40 m. 如果桥梁上每隔 8 m 需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍？ 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 例2 如图，是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁OA，OB关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行. 索塔上拉索最高索鞍（用于拉索穿过并固定的索塔装置）C到桥梁的距离OC为15m，索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40 m. 如果桥梁上每隔 8 m 需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍？ 因为所有拉索互相平行， 所以 解得 3. 由及 ，可得 . 同理，. 因此，只要在 OC 之间每隔 3 m 安排一个索鞍即可. 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 跟踪训练 如图，已知 ， 交  于点 ， 下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 解析：∵ ，∴ ； ∵ ，∴ ，. 故选项 A, B, D 结论正确. 由已知无法推出 ，故选项 C 结论错误. C 新知讲解 知识点2 平行线分线段成比例 1.如图，，点  在  上，点  在  上， 与  相交于点 ，且 ，，. 求  的值. 解：∵ ， ∴ 随堂练习 2.如图，在  中， 是  的中点，，交  于点 . 求证：. 证明：∵ ， ∴ ∵  是  的中点， ∴ ∴ ∴ . 随堂练习 3. 在  中，，且 ，则  的值是（ ） A.  B.  C.  D.  解析：∵ DE∥ BC， ∵ AD=3，DB=2， C 随堂练习 基本事实 平行线分线段 成比例 推论 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. 特殊化 课堂小结 Lavf57.25.100 $