精品解析：北京市第十五中学 2026—2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学

北京十五中2026—2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 注意事项 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题．满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　) A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 1，2，3 D. 1，2，4 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．1+1=2，不能组成三角形，故A选项错误； B．1+2＞2，能组成三角形，故B选项正确； C．1+2=3，不能组成三角形，故C选项错误； D．1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．与不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各式中，能应用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．含相同项与互为相反数的,，符合平方差公式要求； B．两项均相同，不符合平方差公式要求； C．两项均互为相反数，不符合平方差公式的要求； D．两项均互为相反数，不符合平方差公式的要求． 5. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3． 中，，，， ， 的最大值为6， ∴的长可能是， 故选：B． 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为16，则的长为（ ）． A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为16， ， ，即， ， ． 7. 图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上情况均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，，若在边上取一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，且使得，连接，可证明，则当点B、M、H三点共线时，有最小值，此时，且最小值为的长，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：作，且使得，连接，如图所示： ∴，即点H在与的夹角为的射线上运动， 在中，， ∴， 要使的值最小，则需满足的值最小， ∴当点B、M、H三点共线时，有最小值，此时，且最小值为的长， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，根据非零数的零次幂等于1解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 10. 若，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，利用同底数幂的除法逆运算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 11. 学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，求证：”，杨老师说他的已知条件无法证明三角形全等，至少需要再添加一个条件，可以添加：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，为公共边， ，根据ASA或即可证明，或者根据证明即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得：，， 若， ； 若， ； 若， ． 12. 如图，在中，，的角平分线交于点，，则点到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示， ∵，的角平分线交于点， ∴， ∴点到的距离为． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ． 故答案为：． 14. 计算： ____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方差公式，解题关键是掌握． 15. 已知：如图，在，中，，，，，，三点在同一直线上，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论是___________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据题意证明是解题关键．根据题意易证，即得出，可判断①；由全等三角形的性质可得出，结合等腰直角三角形的性质可求出，可判断②；易求出，即得出，即，可判断③；由可直接得出，可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即． 又∵，， ∴，， ∴，，故①正确； ∴；故②错误； ∵， ∴，即， ∴，即．故③正确； ∵， ∴．故④正确； 综上可知①③④正确． 故答案为：①③④． 16. 如图，线段为的中线，且，，若，则________． 【答案】 3 【解析】 【分析】延长至E，使，连接，再根据“边角边”证明，可得，然后说明，最后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】解：延长至E，使，连接， ∵是的中线，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 三、解答题(共68分，第17，18题每题12分，第19题7分，第20题6分，第21题7分，第22-24题每题8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法： （1）利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可； （2）利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 原式 . 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】把根据完全平方公式和平方差公式计算后再合并同类项即可化简到最简，再把，代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， . （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由（1）得，由三角形内角和定理可得出答案． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 由（1）得， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，，． （1）画出，使得与关于轴对称，并写出点，的坐标． （2）是轴上的一个动点，画出点，使的值最小，并直接写出点的坐标． （3）已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点共有________个，写出任意三个符合条件的点的坐标：________，________，________． 【答案】（1）关于轴对称的如下： ，的坐标为，． （2）使的值最小的点如下图： 符合题意的的坐标为：． （3）7；；、 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的点的特点求出点，关于轴对称的点， ，在平面直角坐标系中描出点，，再依次连接、、即可得关于轴对称的． （2）根据关于轴对称的点的特点求出点关于轴对称的点的坐标，描出点，连接交轴于点，点即是使的值最小的点． （3）以为圆心，为半径画圆，交轴于点、，交轴于点、，此时点、、、即为使是等腰三角形的点；以为圆心，为半径画圆，交轴于点、，因为与在一条直线上，不能构成三角形，此时点即为使是等腰三角形的点；作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点，此时点、即为使是等腰三角形的点；综上所述，即可得使是等腰三角形的点共7个，再任意写出三个点的坐标即可． 【小问1详解】 解：根据关于轴对称的点的特点得： 点，关于轴对称的点，的坐标为：，， 在平面直角坐标系中描出点，，再依次连接、、即可得关于轴对称的如下： 【小问2详解】 解：根据关于轴对称的点的特点得：点关于轴对称的点的坐标为： ，描出，连接交轴于点，点即是使的值最小的点，如下图： 根据图形得：． 【小问3详解】 解：如图， 要使是等腰三角形，必须满足：或或， ①当时，以为圆心，为半径画圆，交轴于点、，交轴于点、，此时点、、、即为使是等腰三角形的点． ②时，以为圆心，为半径画圆，交轴于点、，因为与在一条直线上，不能构成三角形，故不符合题意，所以此时点即为使是等腰三角形的点． ③当时，作线段的垂直平分线交交轴于点，交轴于点，此时点、即为使是等腰三角形的点． 综上所述，使是等腰三角形的点有、、、、、、，共7个，根据图形得、、． 22. 小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点D； ②作线段的垂直平分线，直线交线段于点E； ③连接，，则，，即为所求的等腰三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：由作图可知，① ∴________． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（__________）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（__________）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 【答案】（1） 如图所示． （2）；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）按照作图步骤作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：由作图可知，① ∴． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（等角对等边）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 故答案为：；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边． 23. 如图：已知为等边三角形，D，E分别为线段，延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接，分别交直线于G，H．设． （1）请你根据题意，补全图形； （2）连接，， ①判断：________（填“”“”或“”） ②若，求的大小； （3）试猜想，和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）如图所示： （2）=， （3）， 理由如下： 如图，连接， 点关于直线的对称点为， ，， ， ， ， ， ，， ，则， ，， ， 又， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）①通过证明是等边三角形，可得，由轴对称的性质可得，可得结论； ②由三角形的外角性质可得，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，即可求解； （3）由可证，可得，通过证明是等边三角形，可得，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， 点关于直线的对称点为， ， ； ②， ， 点关于直线的对称点为， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，对于点P和垂直于x轴的直线l，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”． （1）已知直线l过点且垂直于x轴．在，，三个点中，直线l的“等变换点”是________； （2）已知点，，直线过点且与x轴垂直，直线过点且与x轴垂直．以线段为边向右侧作正方形，若该正方形上存在既是直线的“等变换点”又是直线的“等变换点”，则k的取值范围是________； （3）已知直线l过点且垂直于x轴，过点作垂直直线l于点G．若以线段为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用关于直线l的“等变换点”的定义逐一判断即可； （2）设“等变换点”的坐标为，利用正方形的性质得到“等变换点”的横坐标x的取值范围为，纵坐标y的取值范围为，利用关于直线l的“等变换点”的定义得到该正方形关于直线的“等变换点”满足，则，由题意列不等式解答即可；利用关于直线l的“等变换点”的定义得到正方形关于直线的“等变换点”满足，则，由题意列不等式解答即可； （3）设“等变换点”的坐标为，利用关于直线l的“等变换点”的定义得到关于直线的“等变换点”满足，则，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，利用长方形的性质得到长方形及其内部的点的坐标满足，由题意列不等式解答即可；②当时，利用长方形的性质得到长方形及其内部的点的坐标满足，由题意列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线l过点且垂直于x轴， ∴直线l的解析式为， ∵关于直线的对称点为， ∴不是直线l的“等变换点”； ∵关于直线的对称点为， ∴是直线l的“等变换点”； ∵关于直线的对称点为， ∴是直线l的“等变换点”． ∴直线l的“等变换点”是． 【小问2详解】 解：设“等变换点”的坐标为， ∵点，， ∴以线段为边向右侧作正方形的边长为3，如图所示， 另外两个顶点为，， ∴“等变换点”的横坐标x的取值范围为，纵坐标y的取值范围为， ∵直线过点且与x轴垂直， ∴该正方形关于直线的“等变换点”满足， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵直线过点且与x轴垂直， ∴该正方形关于直线的“等变换点”满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若该正方形上既存在直线的“等变换点”又存在直线的“等变换点”， ∴k的取值范围是：． 【小问3详解】 解：设“等变换点”的坐标为， ∵直线l过点且垂直于x轴， ∴关于直线的“等变换点”满足， ①当时， ∵点，垂直直线l于点G．以线段为公共边的两个正方形组成的长方形， ∴长方形及其内部的点的坐标满足， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当时， ∵点，垂直直线l于点G．以线段为公共边的两个正方形组成的长方形， ∴长方形及其内部的点的坐标满足， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，m的取值范围是：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平面直角坐标系，点的坐标的特征，轴对称的性质，不等式的性质，分类讨论的思想方法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十五中2026—2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 注意事项 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题．满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　) A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 1，2，3 D. 1，2，4 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，能应用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为16，则的长为（ ）． A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上情况均有可能 8. 如图，在中，，，，，若在边上取一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若，则__________． 10. 若，，则_______． 11. 学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，求证：”，杨老师说他的已知条件无法证明三角形全等，至少需要再添加一个条件，可以添加：________． 12. 如图，在中，，的角平分线交于点，，则点到的距离为________． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 14. 计算： ____． 15. 已知：如图，在，中，，，，，，三点在同一直线上，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论是___________．（填序号） 16. 如图，线段为的中线，且，，若，则________． 三、解答题(共68分，第17，18题每题12分，第19题7分，第20题6分，第21题7分，第22-24题每题8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，，． （1）画出，使得与关于轴对称，并写出点，的坐标． （2）是轴上的一个动点，画出点，使的值最小，并直接写出点的坐标． （3）已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点共有________个，写出任意三个符合条件的点的坐标：________，________，________． 22. 小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点D； ②作线段的垂直平分线，直线交线段于点E； ③连接，，则，，即为所求的等腰三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：由作图可知，① ∴________． ∵， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴（__________）（填推理的依据）．② ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴（__________）（填推理的依据）．③ 由①②③得：，，均为等腰三角形． 23. 如图：已知为等边三角形，D，E分别为线段，延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接，分别交直线于G，H．设． （1）请你根据题意，补全图形； （2）连接，， ①判断：________（填“”“”或“”） ②若，求的大小； （3）试猜想，和之间的数量关系，并证明． 24. 在平面直角坐标系中，对于点P和垂直于x轴的直线l，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”． （1）已知直线l过点且垂直于x轴．在，，三个点中，直线l的“等变换点”是________； （2）已知点，，直线过点且与x轴垂直，直线过点且与x轴垂直．以线段为边向右侧作正方形，若该正方形上存在既是直线的“等变换点”又是直线的“等变换点”，则k的取值范围是________； （3）已知直线l过点且垂直于x轴，过点作垂直直线l于点G．若以线段为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $