等差数列及其前n项和 讲义-2027届高三数学一轮复习

2027年高考数学一轮复习 讲义：等差数列及其前n项和 【知识点1 等差数列的概念与通项公式】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式：等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形：已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 5．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 6．等差数列的性质：设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【注】等差数列的基本运算的解题技巧： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【知识点2 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式：=(公式一).=(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【注】 1．已知数列{an}的通项公式是an= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值. 3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列. 4．数列{an}是等差数列( A, B为常数). 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1-1】公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式计算. 【解答过程】因为等差数列的首项为， 所以的公差为， 故选：C. 【例1-2】已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】由等差数列基本量的计算即可求解. 【解答过程】设公差为，因为，， 所以，所以. 故选：B. 【例1-3】已知是等差数列，且，，则首项等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 故选：C. 【例1-4】已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可. 【解答过程】因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 【例1-5】已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】根据题意结合等差数列的通项公式运算求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，则，整理可得， 又因为，即. 故选：A. 【变式1-1】已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【解题思路】根据等差数列基本量运算求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 故选：C． 【变式1-2】已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的通项公式，将、用和表示出来，再代入已知等式求解. 【解答过程】由等差数列通项公式可得：， 已知，所以；. 将，代入可得：， 则，化简可得：，解得或. 因为已知公差，所以舍去，得到. 故选：B. 【变式1-3】已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由等差数列为单调递增数列，可得公差， 因为与的等差中项为8，可得，可得，即， 又因为，可得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 【变式1-4】已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】设等差数列是公差为，根据给定条件列得方程组，进而求解即可. 【解答过程】设等差数列是公差为， 由，得，整理得， 因为，所以得， 由，得， 解得：. 故选：A. 【题型2 等差数列前n项和的基本量计算】 【例2-1】已知等差数列满足：为数列的前项和，则（    ） A．18 B．45 C．90 D．180 【答案】B 【解析】由，得，即，于是.故选：B. 【例2-2】记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【解答过程】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 【例2-3】已知等差数列的前项和为，若，则公差为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由等差数列的性质及前n项和公式有，进而有，结合求公差. 【解答过程】由，则，即， 所以，则， 由，则. 故选：C. 【例2-4】设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 【答案】B 【解题思路】设等差数列的公差为，根据求和公式和通项公式代入求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， ， 所以， 即， 整理得：， 解得， 故选：B. 【变式2-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 【变式2-2】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，由题意得解得 所以，所以．故选：C 【变式2-3】已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，联立关于首项和公差的方程求解即可. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为，. 根据等差数列通项公式得，变形为 ①； 根据等差数列前项和公式得： ，化简得 ②； 将①代入②得：，解得. 故选：B. 【变式2-4】已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的项与和的基本量运算列式，求出数列的首项和公差，即可求得. 【解答过程】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 【变式2-5】已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据题意，解方程即可得答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得 所以的公差为1. 故选：B. 【题型3 等差的性质及其应用】 【例3-1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差中项即可求解. 【解答过程】由可得，所以， 故选：C. 【例3-2】等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】B 【解析】由题意可得， 故选：B. 【例3-3】已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的性质有即可求解. 【解答过程】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 【例3-4】已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【解答过程】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 【变式3-1】已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的项的性质计算即可. 【解答过程】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 【变式3-2】记等差数列的前n项和为，，则（    ） A．13 B．26 C．39 D．78 【答案】D 【解析】因为为等差数列，所以.故选：D. 【变式3-3】已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【答案】C 【解析】由题，解得，故选：C. 【变式3-4】设等差数列的前n项和为，若，则（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【解析】由等差中项的性质得 ， ，即 ， ，故选：C. 【变式3-5】已知为正项等差数列的前n项和，若，则（       ） A．22 B．20 C．16 D．11 【答案】A 【解析】由题意设正项等差数列的首项为 ，公差为 故由得： ， 即，故，故选：A 【变式3-6】在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】D 【解题思路】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案. 【解答过程】在等差数列中，， 则. 故选：D. 【题型4 等差数列的判定与证明】 【例4-1】已知数列满足，．求证：是等差数列； 证明见解析； 【解题思路】变形给定等式，利用等差数列定义推理得证. 由（1）求出，再利用裂项相消法求和. 【解答过程】（1）数列中，，，则，， 所以数列是以为首项，公差为2的等差数列. 【例4-2】已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题设递推式写出，； （2）根据递推式变形得，结合等差数列的定义即可证结论； 【解答过程】（1）解：由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. 【例4-3】已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列为等差数列；(2)求的通项； 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【解答过程】（1）因为，所以，故， 又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）知， 当时，， 而时，不满足上式， 所以. 【变式4-1】已知数列的前n项和为，若，．求证：数列是等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）证明：因为，所以，则， 两式相减得，所以，以上两式相减得， 所以数列是等差数列． 【变式4-2】已知数列满足，．求证：是等差数列； 【答案】证明见解析； 【解析】由，又， ∴，故，且， ∴是首项、公差均为的等差数列. 【变式4-3】已知数列满足，，，设数列 （1）求证数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)因为，所以，所以 又因为，所以， ， ， （为常数）所以数列是公差为的等差数列； (2) 由（1）知：，所以，所以，. 【变式4-4】已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． 证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析； 【解题思路】令，结合条件化简计算得，即可证明； 【解答过程】证明：根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； 【题型5 等差数列通项公式的求解】 【例5-1】已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【解答过程】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C. 【例5-2】已知等差数列和中，，，. 求和的通项公式； 【解题思路】根据等差数列的通项公式解得答案； 【解答过程】设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. 【例5-3】等差数列中，，，．求的通项公式； 【答案】， 【解题思路】由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可； 【解答过程】设等差数列的公差为， ，，， 解得，，， ，． 【例5-4】等差数列的前项和为，且满足，6，求数列的通项公式； 【答案】(1) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及首项即可. 【解答过程】（1）在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. 【例5-5】已知是等差数列的前项和，且.求数列的通项公式. 【解题思路】 利用公式进行求解. 【解答过程】等差数列的前项和， 当时，， 当时，， 显然满足上式， 所以数列的通项公式是. 【变式5-1】已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【解答过程】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 【变式5-2】已知是等差数列，且 ，则的通项公式__________. 【答案】 【解题思路】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算求出，代入通项即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由， 因代入解得， 故. 故答案为：. 【变式5-3】等差数列中，，，．求的通项公式； 【答案】， 【解题思路】由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可； 【解答过程】设等差数列的公差为， ，，， 解得，，， ，． 【变式5-4】已知等差数列的前项和为，且，．求的通项公式； 【答案】 【解答过程】设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以数列的通项公式. 【变式5-5】等差数列的前项和．求数列的通项公式； 【解题思路】由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； 【解答过程】解：当时，； 当时，． 当时，也符合的形式， 所以数列的通项公式为． 【题型6 等差数列前n项的性质】 【例6-1】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 【例6-2】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．34 B．39 C．42 D．45 【解题思路】根据等差数列的片段和即可求解. 【解答过程】由成等差数列， 则，即，故. 故选：B. 【例6-3】已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为=，所以可设，，， 所以，， 所以， 故选：A. 【例6-4】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【解答过程】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 【例6-5】已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此.故选：A． 【变式6-1】在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ） A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040 【答案】C 【解析】设等差数列的前项和为，则， 所以是等差数列．因为， 所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以 故选：C 【变式6-2】已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【解答过程】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D. 【变式6-3】设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，.则，，所以. 故选：B. 【变式6-4】已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，，，. 故选：A 【变式6-5】设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【解析】由等差数列的等和性可得， . 故选：C. 【题型7 等差数列的前n项和的最值】 【例7-1】设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式和性质求得，再利用等差数列求和公式和二次函数即可求出其最值. 【解答过程】假设等差数列的公差为，由得, 所以，所以，故， 则 则． 故选：C． 【例7-2】设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解析】∵，∴，即． ∵，∴，∴， ∴当时取得最小值时，n的值为8． 故选:D． 【例7-3】记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 【答案】D 【解题思路】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当时，，当时，，从而确定当时，取得最大值，求出答案. 【解答过程】设公差为，则，， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 【例7-4】记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】B 【解题思路】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解. 【解答过程】由已知可得， 的公差为，故， 故， 令，又，所以，故n的最大值为41， 验证，， 所以n的最大值为41. 故选：B. 【例7-5】已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值，并求最大值. 【解题思路】（1）借助等差数列基本量计算即可得； （2）求出前n项和后借助二次函数性质计算即可得. 【解答过程】（1）设数列的公差为，则有，即， 故； （2）令数列的前n项为，则， 则当时，取得最大值，且最大值为. 【变式7-1】已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 【答案】B 【解析】由等差数列的性质知， 即． 又，故，则，，则， 则当取最小值时，. 故选：B． 【变式7-2】设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【解答过程】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 【变式7-3】记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 【答案】D 【解题思路】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当时，，当时，，从而确定当时，取得最大值，求出答案. 【解答过程】设公差为，则，， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 【变式7-4】设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值及此时的值． 【答案】(1) (2)，的最大值，此时 【解题思路】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，． 所以，解得， 所以的通项公式是． （2）    当且仅当时，的最大值为16． 【题型8 等差数列的应用】 【例8-1】《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【解答过程】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C. 【例8-2】神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（    ） A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒 【解题思路】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列，结合等差数列的前项求和公式计算即可. 【解答过程】设每秒钟通过的路程构成数列， 则是首项为2，公差为2的等差数列， 由求和公式有， 解得． 故选：D. 【例8-3】《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（    ） A．189 B．190 C．191 D．192 【解题思路】根据题意，构成首项为，公差为的等差数列，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【解答过程】根据题意，被以3除余2，除以5余3的数，构成首项为，公差为的等差数列， 则， 所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为. 故选：B. 【例8-4】某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【答案】C 【解题思路】前10秒每秒算力构成等差数列，利用已知的第3秒算力和前6秒总算力列方程求解首项与公差，再计算第10秒的算力即为最大算力。 【解答过程】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列， 设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变. 则，， 联立解得，. 所以最大算力，单位为TFLOPS. 故选：C. 【变式8-1】某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【解题思路】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【解答过程】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B. 【变式8-2】中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解题思路】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【解答过程】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B. 【变式8-3】鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解题思路】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【解答过程】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 【变式8-4】元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【解答过程】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B. 课堂测试 1．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质若，则，求解即可. 【解答过程】在等差数列中，，. 故选：B. 2．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】由等差数列的性质结合可得，然后再求得后可得公差． 【解答过程】因为，所以，解得， 又，所以， 所以公差为. 故选：A． 3．设为等差数列，且，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【解题思路】由等差数列的通项公式求解出基本量，计算求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由于， ，， 解得，， 所以. 故选：C. 4．（多选）数列为等差数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 【答案】AB 【解题思路】利用等差数列的通项公式和求和公式进行运算，即可得到判断. 【解答过程】设等差数列的公差为，则，故B正确； 所以，故A正确； ，故C错误； 由，可得， 由于二次函数的对称轴为，开口向上， 所以当或时，最小，故D错误； 故选：AB. 5．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 【答案】 【解题思路】直接根据等差数列求和公式求解. 【解答过程】根据等差数列的求和公式，. 故答案为：. 6．已知是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】84 【解题思路】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【解答过程】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：84. 7．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于 ． 【答案】 【解题思路】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可. 【解答过程】当时，，且， 所以，数列是首项为10，公差为的等差数列， 则数列的前n项和为， 因，故当时，取得最大值18． 故答案为：． 8．《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 【答案】11 【解题思路】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【解答过程】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11. 9．已知数列中，，.证明：数列为等差数列； 【答案】(1)证明见解析； 【解题思路】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； 【解答过程】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. 课后练习1 1．已知在等差数列中，，则（       ） A．30 B．39 C．42 D．78 【答案】B 【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ， 故，故选：B 2．设等差数列的前项和为，若，，则（       ） A．20 B．23 C．24 D．28 【答案】D 【解析】因为是等差数列，所以，又，所以公差为， 3．记为等差数列的前项和，若，，则（       ） A．36 B．45 C．63 D．75 【答案】B 【解析】因为为等差数列的前项和，所以成等差数列，即成等差数列， 所以，解得，故选：B. 4．若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为等差数列和的前n项的和分别是和，且， 所以.故选：B. 5．已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 【答案】D 【解析】解法一： ∵，∴，又， ∴，∴． 解法二： 设的公差为d，∵， ∴，又，∴， 则， ∴． 故选：D． 6．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】A 【解析】由题结合等差数列性质有，， ， 设等差数列的公差为，则，， 故. 故选：A. 7．在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（    ） A．77 B．76 C．75 D．74 【答案】A 【解析】因为，即，所以为等差数列，且公差为-3．又20， 所以，所以数列单调递减数列， 所以， 所以最大，且． 故选：A． 8．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【解析】因为等差数列和的前n项和分别为和， 故可设， 所以， 所以. 故答案为：. 9．已知等差数列的前项和为，，.     求数列的通项公式； 【答案】（1） 【解析】（1）设等差数列的公差为， ∴，解得， ∴. 课后练习2 1．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【解答过程】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 故选：D. 2．已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解题思路】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【解答过程】设等差数列的公差为， 则， . 故选：B. 3．已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【解题思路】利用两个等差数列的和仍为等差数列的性质，结合等差数列通项公式计算所求值. 【解答过程】因为、均为等差数列，根据等差数列的性质，可得数列也为等差数列， 设其公差为，，由题意可知，该数列首项，第三项， 根据等差数列通项公式有 ， 即，解得， 因此. 故选：C. 4．在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【答案】C 【解题思路】由题意可得是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【解答过程】在等差数列中，，其前项和为，则是首项为-10的等差数列， 设其公差为，因为，所以 ， 所以 ， ， 即. 故选：C. 5．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【解答过程】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 故选：C. 6．记为等差数列的前项和，若，，则___________． 【答案】10 【解题思路】首先求首项和公差，再代入求和公式. 【解答过程】设等差数列的公差为，首项为， 则，解得：，， 所以. 故答案为：. 7．已知等差数列的前项和为，且，，则___________． 【答案】 【解题思路】先由推导得，再结合和等差数列的性质计算的值. 【解答过程】已知，解得. 因为，所以，解得. 已知，则. 因为，则，解得. 故答案为：. 8．在等差数列中，已知，，，则的前项和为___________． 【答案】26 【解题思路】根据等差数列性质求出，以及确定m，进而根据求和公式求出前4项和即可 【解答过程】设的公差为，则，解得， 又，所以， 所以，解得， 所以的前项和为. 故答案为：. 课后练习3 1．已知为等差数列，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由等差数列的前n项和公式，可求得；由，可得，从而求得，再由等差数列的通项公式求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 所以； 又因为， 即，解得， 所以等差数列的公差， 所以. 故选；A. 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由题意，得，解得， 所以. 故选：A. 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 【答案】A 【解题思路】根据等差数列基本量的计算得，再根据求和公式计算即可. 【解答过程】解：设等差数列的公差为，， 所以，解得， 所以，由等差数列前项和公式得 故选：A. 4．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 【答案】C 【解题思路】由正一品的俸粮表示其他官员的俸粮，由给定和列式求出即可得解. 【解答过程】依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为， 则，解得，， 又组成新的等差数列，得，解得a=. 故选：C. 5．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】利用基本量先计算公差和，进而得和，由解得的范围，进而求解. 【解答过程】设等差数列的公差为，又，所以， 由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得， 所以， 所以， 由有，即， 解得， 所以使成立的的最大值是， 故选：C. 6．记为等差数列的前项和，若，，则_____________. 【答案】25 【解题思路】利用等差数列前项和公式及等差数列性质计算得解. 【解答过程】在等差数列中，由，，得. 故答案为：25. 7．已知数列为等差数列，为的前项和，若，则_____________． 【答案】2027 【解题思路】利用等差数列性质得到，再利用求和公式 化简求值. 【解答过程】由等差数列性质知， 则． 故答案为：2027. 8．设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 【答案】2 【解题思路】设出基本量，根据已知条件列方程组即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由得， 即，解得. 故答案为：2. 9．已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； 【答案】(1) (2)100 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解即可； （2）根据等差数列的性质求最值即可； 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以； （2）令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为； 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习 讲义：等差数列及其前n项和 【知识点1 等差数列的概念与通项公式】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式：等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形：已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 5．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 6．等差数列的性质：设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【注】等差数列的基本运算的解题技巧： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【知识点2 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式：=(公式一).=(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【注】 1．已知数列{an}的通项公式是an= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值. 3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列. 4．数列{an}是等差数列( A, B为常数). 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1-1】公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（   ） A．2 B．4 C． D． 【例1-2】已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【例1-3】已知是等差数列，且，，则首项等于（   ） A．0 B． C． D． 【例1-4】已知等差数列中，，，则其公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-5】已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【变式1-1】已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【变式1-2】已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-3】已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-4】已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【题型2 等差数列前n项和的基本量计算】 【例2-1】已知等差数列满足：为数列的前项和，则（    ） A．18 B．45 C．90 D．180 【例2-2】记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【例2-3】已知等差数列的前项和为，若，则公差为（    ） A． B． C． D．1 【例2-4】设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 【变式2-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【变式2-2】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2-3】已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-4】已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3 等差的性质及其应用】 【例3-1】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【例3-3】已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【例3-4】已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3-1】已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】记等差数列的前n项和为，，则（    ） A．13 B．26 C．39 D．78 【变式3-3】已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【变式3-4】设等差数列的前n项和为，若，则（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【变式3-5】已知为正项等差数列的前n项和，若，则（       ） A．22 B．20 C．16 D．11 【变式3-6】在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 【题型4 等差数列的判定与证明】 【例4-1】已知数列满足，．求证：是等差数列； 【例4-2】已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； 【例4-3】已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列为等差数列；(2)求的通项； 【变式4-1】已知数列的前n项和为，若，．求证：数列是等差数列； 【变式4-2】已知数列满足，．求证：是等差数列； 【变式4-3】已知数列满足，，，设数列 （1）求证数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 【变式4-4】已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． 证明：数列是等差数列； 【题型5 等差数列通项公式的求解】 【例5-1】已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【例5-2】已知等差数列和中，，，. 求和的通项公式； 【例5-3】等差数列中，，，．求的通项公式； 【例5-4】等差数列的前项和为，且满足，6，求数列的通项公式； 【例5-5】已知是等差数列的前项和，且.求数列的通项公式. 【变式5-1】已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知是等差数列，且 ，则的通项公式__________. 【变式5-3】等差数列中，，，．求的通项公式； 【变式5-4】已知等差数列的前项和为，且，．求的通项公式； 【变式5-5】等差数列的前项和．求数列的通项公式； 【题型6 等差数列前n项的性质】 【例6-1】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．34 B．39 C．42 D．45 【例6-3】已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例6-4】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【例6-5】已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式6-1】在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ） A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040 【变式6-2】已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【题型7 等差数列的前n项和的最值】 【例7-1】设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【例7-3】记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 【例7-4】记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【例7-5】已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值，并求最大值. 【变式7-1】已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 【变式7-2】设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【变式7-3】记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 【变式7-4】设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值及此时的值． 【题型8 等差数列的应用】 【例8-1】《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【例8-2】神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（    ） A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒 【例8-3】《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（    ） A．189 B．190 C．191 D．192 【例8-4】某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【变式8-1】某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【变式8-2】中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式8-3】鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式8-4】元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 课堂测试 1．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设为等差数列，且，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 4．（多选）数列为等差数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 5．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 6．已知是等差数列的前项和，若，则 ． 7．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于 ． 8．《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 9．已知数列中，，.证明：数列为等差数列； 课后练习1 1．已知在等差数列中，，则（       ） A．30 B．39 C．42 D．78 2．设等差数列的前项和为，若，，则（       ） A．20 B．23 C．24 D．28 3．记为等差数列的前项和，若，，则（       ） A．36 B．45 C．63 D．75 4．若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（       ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 6．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 7．在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（    ） A．77 B．76 C．75 D．74 8．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 9．已知等差数列的前项和为，，.     求数列的通项公式； 课后练习2 1．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 3．已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 4．在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 5．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 6．记为等差数列的前项和，若，，则___________． 7．已知等差数列的前项和为，且，，则___________． 8．在等差数列中，已知，，，则的前项和为___________． 课后练习3 1．已知为等差数列，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 4．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 5．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．记为等差数列的前项和，若，，则_____________. 7．已知数列为等差数列，为的前项和，若，则_____________． 8．设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 9．已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $