专题6.2等差数列及其前n项和（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 6.2 等差数列及其前n项和（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式 ； 2．掌握等差中项的概念，会由两项求等差中项； 3．掌握等差数列的前 项和公式 ； 4．理解等差数列的下标和性质，会用性质与函数观点解决前 项和的最值问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 通项公式与基本量 选择题、填空题 第3~6题／第12题 基础 设 与 列方程，代 前 项和公式 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第17题 基础／中档 优先用 ，缺和项时改用含 的公式 等差中项 选择题、填空题 第3~5题／第12题 基础 抓住 ，三项成等差直接取平均值 下标和相等的性质 选择题、多选题 第6题／第10题 中档 把条件与所求的下标相加，凑成相等的两对下标 前 项和的最值 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题 中档 配方求顶点；或找 由正变负的临界项 命题规律分析 等差数列是数列板块分值最高、套路最固定的内容，新高考中常出现在选择题第3~6题、多选题第9~10题、填空题第12~13题，解答题也常以"求通项、求前 项和"为背景压在第15~17题位置。本讲定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档"垫脚题"通过套公式也能拿下。拿分要点：见到"等差"先设首项 与公差 ，用通项或前 项和列方程组解出这两个基本量，这是绝大多数等差数列题目的通用起点；涉及下标和相等时优先用性质"化零为整"，能省去大量运算；求 的最值先看 是关于 的二次函数，再用配方或判断 的符号变化。 考点1 等差数列的概念与通项公式 知识点1 定义与通项公式 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示。 即对任意 ，都有 （ 为常数）。公差 时数列递增， 时数列递减， 时为常数列。 若等差数列 的首项为 ，公差为 ，则通项公式为 ；推广可得 。 【方法技巧】 1．求通项的通用方法是"设 与 ，列方程（组）解出基本量"，再代入通项公式； 2．已知两项 与 求公差用 ，比先求 更快； 3．通项 表明等差数列是关于 的一次函数，可用于判定。 【易错清单】 1．公差 必须是每一项与前一项之差，方向不能颠倒，否则符号出错； 2．通项公式中是 而不是 ，求第 项代入时不要多加一个 ； 3．由 求 时，分母是 ，别写成 。 知识点2 等差中项 如果 ，， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，且 ，即 。 反过来，若 ，则 ，， 也成等差数列。因此"三个数成等差"与"中间数是两边数的平均值"是等价的。 对等差数列 ，任意相邻三项 ，， 都满足 。 【方法技巧】 1．判断三个数是否成等差数列，只需检验中间数是否为另外两数的算术平均值； 2．已知两个数求等差中项，直接取两数之和的一半； 3．三个数成等差时，常设为 ，，，利用对称性减少运算量。 【易错清单】 1．等差中项是唯一确定的（只要 与 给定），不存在"两个值"的情况； 2． 中的系数 不能漏，写成 是最常见的错误； 3．三个数成等比时中项有正负两种可能，而等差中项只有一个，两者不要混淆。 考点2 等差数列的前 $n$ 项和 知识点3 前 项和公式 等差数列 的前 项和记作 ，其公式有两种等价形式。 第一形式 ，适合已知首项与末项（或已知和项关系）的情形。 第二形式 ，适合已知首项与公差的情形。两式可互相推导，结果一致。 【方法技巧】 1．已知 ，（或 ）时，用第一种形式 最快； 2．已知 与 时，用第二种形式 ； 3．求具体某一项可用 （），求某一和可用 公式直接代入。 【易错清单】 1．两个公式中的 都表示项数，不要与下标混淆； 2． 中含 ，系数容易漏掉或算错，建议先写 再乘 ； 3．用 时默认 ，求 必须单独用 。 知识点4 前 项和的最值 因为 ，所以 是关于 的二次函数（缺常数项）， 取正整数。 当 时， 有最小值；当 时， 有最大值。 求最值的两种方法：一是配方求二次函数顶点对应的正整数 ；二是找 由正变负（或由负变正）的临界项。 【方法技巧】 1．配方法：把 写成 的形式，顶点横坐标 附近的正整数即为最值点； 2．符号法： 时若 且 ，则 在第 项处取最大值； 3．顶点横坐标为半整数时，比较相邻两个正整数对应的 ，取较大者（或较小者）。 【易错清单】 1． 只能取正整数，配方得到的顶点横坐标要就近取整，不能直接取任意实数； 2． 时 有最大值而非最小值， 时结论相反，判断方向不要弄反； 3．当 时， 同时取到最值，此时对应两个正整数 。 考点3 等差数列的性质与判定 知识点5 下标和相等的性质与判定方法 下标和性质：若 ，则 ；特别地，若 ，则 。 例如 ，这类关系能把零散的条件"凑"到所求项上，是选择题的常用技巧。 判定一个数列为等差数列，可用定义法：验证 为与 无关的常数；也可用中项法：验证 ；若给出前 项和 ，则 为关于 的二次式（缺常数项）时 为等差数列。 【方法技巧】 1．用性质时把条件与所求的下标分别相加，若两边相等即可整体替换； 2．判定等差优先用定义法，只要 是常数即可下结论； 3．已知 求通项：先由 求 ，再检验 是否吻合，吻合才能合并。 【易错清单】 1．性质 成立的前提是 ，不要凭"看起来对称"就套用； 2．用定义法判定时要说明 为常数，且对 都成立； 3．由 是二次式判定等差时，必须缺常数项，否则首项会不符合通项，需分段。 【题型1 求通项公式】 【例1】已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知等差数列 中，，，则公差 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知等差数列 中，，，则公差 ____________，____________。 【题型2 求前 项和】 【例2】已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知等差数列 中，，公差 ，则 ____________。 【变式2-3】已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 等差中项】 【例3】若 ，， 成等差数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】若 ，， 成等差数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知三个数成等差数列，它们的和为 ，则中间的那个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 性质应用】 【例4】已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 的最值】 【例5】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 等差数列的判定】 【例6】已知数列 的通项公式为 ，则数列 （　　） A．是公差为 的等差数列　B．是公差为 的等差数列　C．不是等差数列　D．是公比为 的等比数列 【变式6-1】已知数列 的前 项和 ，则数列 （　　） A．是公差为 的等差数列　B．是公差为 的等差数列　C．是公差为 的等差数列　D．不是等差数列 【变式6-2】已知数列 的通项公式为 ，则数列 （　　） A．是公差为 的等差数列　B．是公差为 的等差数列　C．是公差为 的等差数列　D．不是等差数列 【变式6-3】已知数列 满足 ，（），则数列 （　　） A．是等差数列　B．不是等差数列　C．是公差为 的等差数列　D．是常数列 一、单选题 1．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）已知等差数列 中，，，则公差 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）若 ，， 成等差数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★）已知等差数列 中，下列等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★）已知等差数列 中，，公差 ，前 项和为 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C． 的最大值为 　D．数列 是递增数列 三、填空题 12．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则 ____________。 13．（★★）已知等差数列 中，，，则 ____________。 14．（★★）已知等差数列 的前 项和 ，则 ____________（）。 四、解答题 15．（★）已知等差数列 中，，。 (1) 求公差 与通项公式 ； (2) 求前 项和 。 16．（★）已知等差数列 中，，。 (1) 求 与公差 ； (2) 求 。 17．（★）已知等差数列 中，，公差 。 (1) 求通项公式 ； (2) 求前 项和 ； (3) 求 。 18．（★★）已知等差数列 中，，公差 。 (1) 求通项公式 ； (2) 求前 项和 的最大值及此时 的值。 19．（★★）已知等差数列 中，，。 (1) 求 与公差 ； (2) 求前 项和 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题6.2 等差数列及其前n项和　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 6.2 等差数列及其前n项和（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式 ； 2．掌握等差中项的概念，会由两项求等差中项； 3．掌握等差数列的前 项和公式 ； 4．理解等差数列的下标和性质，会用性质与函数观点解决前 项和的最值问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 通项公式与基本量 选择题、填空题 第3~6题／第12题 基础 设 与 列方程，代 前 项和公式 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第17题 基础／中档 优先用 ，缺和项时改用含 的公式 等差中项 选择题、填空题 第3~5题／第12题 基础 抓住 ，三项成等差直接取平均值 下标和相等的性质 选择题、多选题 第6题／第10题 中档 把条件与所求的下标相加，凑成相等的两对下标 前 项和的最值 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题 中档 配方求顶点；或找 由正变负的临界项 命题规律分析 等差数列是数列板块分值最高、套路最固定的内容，新高考中常出现在选择题第3~6题、多选题第9~10题、填空题第12~13题，解答题也常以"求通项、求前 项和"为背景压在第15~17题位置。本讲定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档"垫脚题"通过套公式也能拿下。拿分要点：见到"等差"先设首项 与公差 ，用通项或前 项和列方程组解出这两个基本量，这是绝大多数等差数列题目的通用起点；涉及下标和相等时优先用性质"化零为整"，能省去大量运算；求 的最值先看 是关于 的二次函数，再用配方或判断 的符号变化。 考点1 等差数列的概念与通项公式 知识点1 定义与通项公式 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示。 即对任意 ，都有 （ 为常数）。公差 时数列递增， 时数列递减， 时为常数列。 若等差数列 的首项为 ，公差为 ，则通项公式为 ；推广可得 。 【方法技巧】 1．求通项的通用方法是"设 与 ，列方程（组）解出基本量"，再代入通项公式； 2．已知两项 与 求公差用 ，比先求 更快； 3．通项 表明等差数列是关于 的一次函数，可用于判定。 【易错清单】 1．公差 必须是每一项与前一项之差，方向不能颠倒，否则符号出错； 2．通项公式中是 而不是 ，求第 项代入时不要多加一个 ； 3．由 求 时，分母是 ，别写成 。 知识点2 等差中项 如果 ，， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，且 ，即 。 反过来，若 ，则 ，， 也成等差数列。因此"三个数成等差"与"中间数是两边数的平均值"是等价的。 对等差数列 ，任意相邻三项 ，， 都满足 。 【方法技巧】 1．判断三个数是否成等差数列，只需检验中间数是否为另外两数的算术平均值； 2．已知两个数求等差中项，直接取两数之和的一半； 3．三个数成等差时，常设为 ，，，利用对称性减少运算量。 【易错清单】 1．等差中项是唯一确定的（只要 与 给定），不存在"两个值"的情况； 2． 中的系数 不能漏，写成 是最常见的错误； 3．三个数成等比时中项有正负两种可能，而等差中项只有一个，两者不要混淆。 考点2 等差数列的前 $n$ 项和 知识点3 前 项和公式 等差数列 的前 项和记作 ，其公式有两种等价形式。 第一形式 ，适合已知首项与末项（或已知和项关系）的情形。 第二形式 ，适合已知首项与公差的情形。两式可互相推导，结果一致。 【方法技巧】 1．已知 ，（或 ）时，用第一种形式 最快； 2．已知 与 时，用第二种形式 ； 3．求具体某一项可用 （），求某一和可用 公式直接代入。 【易错清单】 1．两个公式中的 都表示项数，不要与下标混淆； 2． 中含 ，系数容易漏掉或算错，建议先写 再乘 ； 3．用 时默认 ，求 必须单独用 。 知识点4 前 项和的最值 因为 ，所以 是关于 的二次函数（缺常数项）， 取正整数。 当 时， 有最小值；当 时， 有最大值。 求最值的两种方法：一是配方求二次函数顶点对应的正整数 ；二是找 由正变负（或由负变正）的临界项。 【方法技巧】 1．配方法：把 写成 的形式，顶点横坐标 附近的正整数即为最值点； 2．符号法： 时若 且 ，则 在第 项处取最大值； 3．顶点横坐标为半整数时，比较相邻两个正整数对应的 ，取较大者（或较小者）。 【易错清单】 1． 只能取正整数，配方得到的顶点横坐标要就近取整，不能直接取任意实数； 2． 时 有最大值而非最小值， 时结论相反，判断方向不要弄反； 3．当 时， 同时取到最值，此时对应两个正整数 。 考点3 等差数列的性质与判定 知识点5 下标和相等的性质与判定方法 下标和性质：若 ，则 ；特别地，若 ，则 。 例如 ，这类关系能把零散的条件"凑"到所求项上，是选择题的常用技巧。 判定一个数列为等差数列，可用定义法：验证 为与 无关的常数；也可用中项法：验证 ；若给出前 项和 ，则 为关于 的二次式（缺常数项）时 为等差数列。 【方法技巧】 1．用性质时把条件与所求的下标分别相加，若两边相等即可整体替换； 2．判定等差优先用定义法，只要 是常数即可下结论； 3．已知 求通项：先由 求 ，再检验 是否吻合，吻合才能合并。 【易错清单】 1．性质 成立的前提是 ，不要凭"看起来对称"就套用； 2．用定义法判定时要说明 为常数，且对 都成立； 3．由 是二次式判定等差时，必须缺常数项，否则首项会不符合通项，需分段。 【题型1 求通项公式】 【例1】已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 直接代入通项公式 。 【解答过程】由通项公式 。故选B。 【方法点睛】通项中是 ，求第 项乘的是 个公差而不是 个，这一步最容易多算一次。 【变式1-1】已知等差数列 中，，，则公差 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 列方程求 。 【解答过程】由 得 ，解得 ，。故选B。 【变式1-2】已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用推广式 ，从 推到 。 【解答过程】由 。故选C。 【方法点睛】已知第 项求第 项时，从 到 一共跨了 个公差，别数错跨数。 【变式1-3】已知等差数列 中，，，则公差 ____________，____________。 【答案】， 【解题思路】先用 求公差，再由 求首项。 【解答过程】因为 ，所以 ，得 ；又 ，即 ，得 。 【方法点睛】先求公差再回代求首项，比直接解方程组更稳；注意下标差 对应 个公差。 【题型2 求前 项和】 【例2】已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】已知首项与公差，用 。 【解答过程】。故选B。 【方法点睛】 是项数配对的结果，先算 再除以 ，避免漏乘。 【变式2-1】已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】已知首项与末项，用 。 【解答过程】。故选C。 【变式2-2】已知等差数列 中，，公差 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】直接用含首项与公差的求和公式展开、化简。 【解答过程】。 【方法点睛】 中的 可以约去，得到 ，化简后结果更简洁。 【变式2-3】已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先由两项求公差，再求 ，最后用 。 【解答过程】由 得 ，；再由 得 。所以 。故选B。 【方法点睛】求 时也只需首项与末项，先解出基本量再代入，全程都是套路。 【题型3 等差中项】 【例3】若 ，， 成等差数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】三项成等差时，中间数是两边数的算术平均值。 【解答过程】由等差中项公式 。故选B。 【方法点睛】等差中项唯一，直接取平均值；注意先加后除以 ，不要算成 。 【变式3-1】若 ，， 成等差数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】中间数等于两边数的平均值。 【解答过程】由 ，得 。故选B。 【变式3-2】已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】，用 。 【解答过程】因为 ，由等差中项性质得 ，所以 ，。故选B。 【方法点睛】下标和相等则两项之和相等，把 整体换成 ，一步到位。 【变式3-3】已知三个数成等差数列，它们的和为 ，则中间的那个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】三项成等差且和已知时，中间数等于和的 。 【解答过程】设三个数为 ，，，则它们的和为 ，得 ，即中间的那个数为 。故选B。 【方法点睛】三项成等差设为 ，，，求和时公差恰好抵消，是处理"和"类问题的固定套路。 【题型4 性质应用】 【例4】已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】比较两组下标之和：，用下标和性质整体替换。 【解答过程】因为 ，由下标和性质得 ，所以 。故选B。 【方法点睛】用性质前先把两组下标分别相加，凑出平方和相等，再证明两项之和相等。 【变式4-1】已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 凑成 ，再用前 项和公式。 【解答过程】因为 ，由下标和性质得 ，所以 。故选B。 【方法点睛】求和时把条件里的两项"移"成首末两项的和，就能直接套用 。 【变式4-2】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 用 表示，反解 。 【解答过程】由 ，得 。故选B。 【方法点睛】这类题是"由和求项和"的反向操作，把 看作一个整体直接解出即可。 【变式4-3】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】，， 成等差数列，用等差中项求第三段。 【解答过程】因为 为等差数列，所以 ，， 也成等差数列。，，公差为 ，所以 ，得 。故选C。 【方法点睛】把前 项和按等长分段，，， 依次成等差数列，是重要的整体性质。 【题型5 的最值】 【例5】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】写出 关于 的二次式并配方，取顶点处对应的正整数。 【解答过程】。当 时取得最大值 。故选C。 【方法点睛】 时 有最大值，配方后顶点横坐标若恰为正整数就直接取，否则比较相邻两项。 【变式5-1】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】配方求二次函数最值。 【解答过程】，当 时取得最大值 。故选C。 【变式5-2】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】找 由正变负的临界项， 在最后一项非负处取最大值。 【解答过程】通项 。因为 ，，所以前 项都为正、从第 项起为负， 在第 项处取最大值 。故选B。 【方法点睛】当末项恰为 时相邻两个 同时取最值；本题 而 ，最大值为 。 【变式5-3】已知等差数列 中，，公差 ，则前 项和 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】配方后顶点横坐标为半整数时，比较两侧相邻正整数。 【解答过程】。顶点横坐标为 ，比较 与 ：，，两者相等，所以最大值为 。故选B。 【方法点睛】顶点横坐标为半整数时，两侧相邻正整数对应的 相等且同为最大值，不要只取一个。 【题型6 等差数列的判定】 【例6】已知数列 的通项公式为 ，则数列 （　　） A．是公差为 的等差数列　B．是公差为 的等差数列　C．不是等差数列　D．是公比为 的等比数列 【答案】A 【解题思路】用定义法验证 是否为常数。 【解答过程】，是与 无关的常数，所以 是公差为 的等差数列。故选A。 【方法点睛】判定等差一律先算 ，只要能化简为常数即可下结论，不要被"含 "迷惑。 【变式6-1】已知数列 的前 项和 ，则数列 （　　） A．是公差为 的等差数列　B．是公差为 的等差数列　C．是公差为 的等差数列　D．不是等差数列 【答案】A 【解题思路】先由 求通项，再验证相邻两项之差是否为常数。 【解答过程】当 时，。又 ，两者一致，故 （）。于是 ，是公差为 的等差数列。故选A。 【方法点睛】由 判定等差时， 缺常数项，说明首项也能并入通项，无需分段。 【变式6-2】已知数列 的通项公式为 ，则数列 （　　） A．是公差为 的等差数列　B．是公差为 的等差数列　C．是公差为 的等差数列　D．不是等差数列 【答案】A 【解题思路】用定义法计算 。 【解答过程】，是与 无关的常数，所以是公差为 的等差数列。故选A。 【变式6-3】已知数列 满足 ，（），则数列 （　　） A．是等差数列　B．不是等差数列　C．是公差为 的等差数列　D．是常数列 【答案】B 【解题思路】算前几项，检验相邻两项之差是否为常数。 【解答过程】，，。则 ，但 ，两者不相等，所以数列 不是等差数列。故选B。 【方法点睛】递推式 中右端随 变化，不是常数，故不是等差数列。 一、单选题 1．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】代入通项公式求第 项。 【解答过程】。故选C。 2．（★）已知等差数列 中，，，则公差 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】公差即后项与前项之差。 【解答过程】。故选B。 3．（★）已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用 。 【解答过程】。故选C。 4．（★）若 ，， 成等差数列，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】中间数等于两边数的平均值。 【解答过程】由 。故选B。 5．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】代入通项公式，注意公差为负。 【解答过程】。故选A。 6．（★★）已知等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先由两项求公差，再由首项与公差的关系求 。 【解答过程】由 得 ，；再由 得 。故选C。 7．（★★）已知等差数列 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】，用 。 【解答过程】因为 ，由等差中项性质得 ，。故选B。 8．（★★）已知等差数列 中，，公差 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用含首项与公差的求和公式展开化简。 【解答过程】。故选A。 二、多选题 9．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项代入通项公式与前 项和公式验证。 【解答过程】A中 ，正确；B中 ，正确；C中 ，正确；D中 ，，，错误。故选ABC。 10．（★）已知等差数列 中，下列等式一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】用下标和相等的性质逐一核对。 【解答过程】A中下标 ，故 ，正确；B中下标 ，故 ，正确；C中下标 ，故 ，正确；D中 ，而 ，两者一般不相等，错误。故选ABC。 11．（★★）已知等差数列 中，，公差 ，前 项和为 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C． 的最大值为 　D．数列 是递增数列 【答案】ABC 【解题思路】先写通项，再逐项判断，并用符号法求 的最大值。 【解答过程】通项 。A中 ，正确；B中 ，正确；C中 ，，故 在第 项处取最大值 ，正确；D中 ，数列递减，错误。故选ABC。 三、填空题 12．（★）已知等差数列 中，，公差 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】代入通项公式求第 项。 【解答过程】。 13．（★★）已知等差数列 中，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先由两项求公差，再由 求首项。 【解答过程】由 得 ，；再由 得 。 14．（★★）已知等差数列 的前 项和 ，则 ____________（）。 【答案】 【解题思路】用 （）求通项，再检验首项。 【解答过程】当 时，。又 ，两者一致，所以 （）。 四、解答题 15．（★）已知等差数列 中，，。 (1) 求公差 与通项公式 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(1) 由 求公差，再写通项； (2) 用 。 【解答过程】(1) 由 得 ，解得 ，所以 。 (2) 。 16．（★）已知等差数列 中，，。 (1) 求 与公差 ； (2) 求 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(1) 由两项列方程求基本量； (2) 先求 ，再用 。 【解答过程】(1) 由 得 ，；又 ，得 。 (2) ，所以 。 17．（★）已知等差数列 中，，公差 。 (1) 求通项公式 ； (2) 求前 项和 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 代入通项公式； (2) 用含首项与公差的求和公式； (3) 把 代入 。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 (3) 把 代入得 。 18．（★★）已知等差数列 中，，公差 。 (1) 求通项公式 ； (2) 求前 项和 的最大值及此时 的值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，此时 。 【解题思路】(1) 代入通项公式； (2) 写出 配方，取顶点处对应的正整数。 【解答过程】(1) 。 (2) 。因为 为正整数，当 时 取得最大值 ，且 ，，与各项符号变化一致。 19．（★★）已知等差数列 中，，。 (1) 求 与公差 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(1) 把 用首项与公差表示，联立 求解； (2) 代入含首项与公差的求和公式。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 ①；又 ②。②减①得 ，，代回①得 。 (2) 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题6.2 等差数列及其前n项和　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $