第30讲 等差数列及其前n项和讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列
|
2份
|
33页
|
168人阅读
|
2人下载
普通
内容正文：
2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列 · 第30讲 等差数列及其前n项和
第30讲 等差数列及其前n项和
【艺术生专用·全国通用】
考点要求
1．理解等差数列的定义，掌握通项公式与等差中项，能熟练完成基本量运算；
2．掌握前 项和公式的两种形式，能求前 项和的最值并正确处理取等号时的"双峰"；
3．掌握下标和性质与片段和性质，能在选择题、填空题中快速化简条件；
4．掌握等差数列的判定方法，能应对前 项和之比、绝对值求和等综合问题。
考查内容
常见题型
试卷位置
难度
培优得分策略
基本量的运算
选择题、填空题
第3~5题、第13题
易
抓住 、、、、 知三求二
等差数列的判定
解答题
第17~19题
中
定义法看差为常数，中项法看
下标和性质与片段和性质
选择题、填空题
第5~7题、第13题
中
先把下标"凑成相等"，再整体代换
前 项和的最值
选择题、填空题
第7~8题、第14题
中偏难
找 由正变负的临界项，注意 的双峰
两个等差数列前 项和之比
选择题、填空题
第8题、第14题
中偏难
直接用
绝对值求和与综合应用
解答题
第19~20题
中偏难
先找正负分界项，再分段求和
命题规律分析
等差数列是数列章的"第一主角"，在新高考中既单独命题，也常作为解答题的第一问。从试卷位置看，基本量运算与性质应用多落在选择题第3~6题、填空题第13题；前 项和的最值问题常出现在第7~8题、第14题；而"两个等差数列前 项和之比""绝对值求和"则属于第8题与第14题档的拉分题。本讲按"基本量—性质—最值—综合"四步推进，重点突破三处：用下标和性质替代列方程组、用 的符号变化点定位 的最值、用 处理前 项和之比。这三招把大量繁杂计算压缩成一两步判断，是 90~120 分学生提分最有效的抓手。
考点1 等差数列的基本量与前 $n$ 项和
知识点1 定义、通项公式与中项
（常数） 为等差数列；通项公式 。
若 ，， 成等差数列，则 ；对等差数列任意三项有 。
基本量思想：、、、、 五个量知三求二，其中 是最常用的起步式。
【易错清单】
1． 中是 而不是 ，代 检验即可发现；
2． 的下标差要对应，别把 除以 而不是 ；
3．公差可以为 （常数列也是等差数列），也可以为负。
知识点2 前 项和公式与最值
；后者可看成关于 的二次函数 。
最值定位法： 时找使 的最大 ； 时找使 的最大 。若恰有 ，则 同时取到最值。
【易错清单】
1． 的最值要在正整数上取，顶点横坐标不是整数时取两侧相邻整数；
2． 的表达式缺常数项，配方时常数项不能凭空添上；
3． 时容易只写一个最值点，漏掉"双峰"中的另一个。
考点2 等差数列的性质与判定
知识点3 下标和性质与片段和性质
下标和性质：若 ，则 ；特别地 时 。
片段和性质：，，， 成等差数列，公差为 ；由此得 ，。
【易错清单】
1．下标和性质只对下标和相等成立， 与 并不相等；
2．奇数项数列 共 项时，，偶数项时 ；
3．用 时，代入的是 而不是 。
知识点4 等差数列的判定方法
定义法：验证 是与 无关的常数；中项法：验证 （或 ）；前 项和法：（无常数项） 为等差数列。
【易错清单】
1．只验证前三项成等差不能说明整个数列是等差数列，必须对任意 说明；
2． 当 时不是等差数列，首项会"掉队"；
3．用定义法时必须先说明 的表达式，再指出它与 无关。
【题型1 基本量的运算（、 定位）】
【例1】已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知等差数列 中，，则 ____________。
【变式1-3】已知等差数列 中，，，则 ____________。
【题型2 等差数列的判定与证明】
【例2】已知数列 满足 ，，且 （）。
(1) 证明 是等差数列；
(2) 求 与 。
【变式2-1】已知数列 满足 （），，。
(1) 证明 是等差数列；
(2) 求 。
【变式2-2】已知数列 的前 项和 ，求 ，并判断 是否为等差数列。
【变式2-3】已知数列 的前 项和 ，判断 是否为等差数列，并说明理由。
【题型3 等差数列性质的应用（凑下标）】
【例3】已知等差数列 中，，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 ____________。
【变式3-3】已知等差数列 中，，则其前 项和 ____________。
【题型4 前 项和的最值问题】
【例4】已知等差数列 中，，，则其前 项和 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知等差数列 中，，，则其前 项和 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 取得最大值时 ____________。
【变式4-3】已知等差数列 中，，，求 的最大值及取得最大值时 的值。
【题型5 两个等差数列前 项和之比】
【例5】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 ____________。
【变式5-3】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 ____________。
【题型6 等差数列的综合应用】
【例6】已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 ；
(2) 求 的最大值及取得最大值时 的值。
【变式6-1】已知等差数列 的前 项和为 ，，且 ，则 的最大值为 ____________。
【变式6-2】已知等差数列 共有 项，其所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和为 ，则公差 ____________。
【变式6-3】已知等差数列 的前 项和 。
(1) 求 ；
(2) 求 的最大值。
一、单选题
1．（★★）已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（★★）已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（★★）已知等差数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（★★）已知等差数列 中，，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（★★）已知等差数列 中，，，则公差 （ ）
A． B． C． D．
6．（★★★）已知等差数列 中，，前 项和为 ，若 的最小值在 处取得，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（★★★）已知等差数列 中，，，，则使 成立的最大正整数 为（ ）
A． B． C． D．
8．（★★★）已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（★★）已知等差数列 中，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（★★）已知等差数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 最大 B．若 且 ，则 必有最大值 C．若 ，则 必有最大值 D．若 ，则 单调递增
11．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则 取得最大值 C． D．
12．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则下列说法正确的是（ ）
A．公差 B．当 时， 取得最小值 C．使 成立的最小正整数 为 D．
三、填空题
13．（★★）已知等差数列 中，，，则 ____________。
14．（★★）已知等差数列 中，，则 ____________。
15．（★★★）已知等差数列 的公差 ，，前 项和为 ，若 的最小值在 处取得，则 的取值范围是 ____________。
16．（★★★）已知等差数列 中，，公差 ，前 项和为 ，若 的最大值在 处取得，则 的取值范围是 ____________。
四、解答题
17．（★★）已知等差数列 中，，。
(1) 求 ；
(2) 令 ，求数列 的前 项和 。
18．（★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 ；
(2) 求 的最大值及取得最大值时 的值。
19．（★★）已知数列 的前 项和 。
(1) 求 ；
(2) 判断 是否为等差数列，若是，求出公差。
20．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 与 ；
(2) 令 ，求数列 的前 项和 。
21．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，且 。
(1) 求公差 及通项 ；
(2) 求 的最大值及取得最大值时 的值。
22．（★★★）已知等差数列 中，，。
(1) 求 与 ；
(2) 求 的最大值，并求使 成立的最大正整数 。
23．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 ；
(2) 令 ，求数列 的前 项和 ；
(3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最小值。
24．（★★★）已知等差数列 中，，。
(1) 求 与 ；
(2) 令 ，求 （需对 分类讨论）；
(3) 求使 成立的最小正整数 。
—— 本节结束 ——
1
学科网（北京）股份有限公司
$2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列 · 第30讲 等差数列及其前n项和
第30讲 等差数列及其前n项和
【艺术生专用·全国通用】
考点要求
1．理解等差数列的定义，掌握通项公式与等差中项，能熟练完成基本量运算；
2．掌握前 项和公式的两种形式，能求前 项和的最值并正确处理取等号时的"双峰"；
3．掌握下标和性质与片段和性质，能在选择题、填空题中快速化简条件；
4．掌握等差数列的判定方法，能应对前 项和之比、绝对值求和等综合问题。
考查内容
常见题型
试卷位置
难度
培优得分策略
基本量的运算
选择题、填空题
第3~5题、第13题
易
抓住 、、、、 知三求二
等差数列的判定
解答题
第17~19题
中
定义法看差为常数，中项法看
下标和性质与片段和性质
选择题、填空题
第5~7题、第13题
中
先把下标"凑成相等"，再整体代换
前 项和的最值
选择题、填空题
第7~8题、第14题
中偏难
找 由正变负的临界项，注意 的双峰
两个等差数列前 项和之比
选择题、填空题
第8题、第14题
中偏难
直接用
绝对值求和与综合应用
解答题
第19~20题
中偏难
先找正负分界项，再分段求和
命题规律分析
等差数列是数列章的"第一主角"，在新高考中既单独命题，也常作为解答题的第一问。从试卷位置看，基本量运算与性质应用多落在选择题第3~6题、填空题第13题；前 项和的最值问题常出现在第7~8题、第14题；而"两个等差数列前 项和之比""绝对值求和"则属于第8题与第14题档的拉分题。本讲按"基本量—性质—最值—综合"四步推进，重点突破三处：用下标和性质替代列方程组、用 的符号变化点定位 的最值、用 处理前 项和之比。这三招把大量繁杂计算压缩成一两步判断，是 90~120 分学生提分最有效的抓手。
考点1 等差数列的基本量与前 $n$ 项和
知识点1 定义、通项公式与中项
（常数） 为等差数列；通项公式 。
若 ，， 成等差数列，则 ；对等差数列任意三项有 。
基本量思想：、、、、 五个量知三求二，其中 是最常用的起步式。
【易错清单】
1． 中是 而不是 ，代 检验即可发现；
2． 的下标差要对应，别把 除以 而不是 ；
3．公差可以为 （常数列也是等差数列），也可以为负。
知识点2 前 项和公式与最值
；后者可看成关于 的二次函数 。
最值定位法： 时找使 的最大 ； 时找使 的最大 。若恰有 ，则 同时取到最值。
【易错清单】
1． 的最值要在正整数上取，顶点横坐标不是整数时取两侧相邻整数；
2． 的表达式缺常数项，配方时常数项不能凭空添上；
3． 时容易只写一个最值点，漏掉"双峰"中的另一个。
考点2 等差数列的性质与判定
知识点3 下标和性质与片段和性质
下标和性质：若 ，则 ；特别地 时 。
片段和性质：，，， 成等差数列，公差为 ；由此得 ，。
【易错清单】
1．下标和性质只对下标和相等成立， 与 并不相等；
2．奇数项数列 共 项时，，偶数项时 ；
3．用 时，代入的是 而不是 。
知识点4 等差数列的判定方法
定义法：验证 是与 无关的常数；中项法：验证 （或 ）；前 项和法：（无常数项） 为等差数列。
【易错清单】
1．只验证前三项成等差不能说明整个数列是等差数列，必须对任意 说明；
2． 当 时不是等差数列，首项会"掉队"；
3．用定义法时必须先说明 的表达式，再指出它与 无关。
【题型1 基本量的运算（、 定位）】
【例1】已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】用下标和性质把 换成 ，先求出 再得公差。
【解答过程】由下标和性质，，故 。
又 ，所以 ，从而公差 。
。
所以 。故选B。
【多解·巧解】常规做法是列方程组 、 再解，但要算两步代入。用下标和性质只需把两个已知项的下标"凑成与已知项的和相等"，一步得到 ，再相减就是公差。这里还有更快的写法：，于是 ，而 ，连 都不必求。凡是求远离已知条件的项，都从已知项出发跳，不要绕回 。
【易错提醒】① 把 误换成 （下标和不相等）；② 求出 后直接用 （应为 ）；③ 忘记 中系数是 。
【变式1-1】已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】用 求出 ，再求公差。
【解答过程】由 得 。
又 ，故 。
所以 。故选B。
【变式1-2】已知等差数列 中，，则 ____________。
【答案】
【解题思路】把四项按下标和等于 配对。
【解答过程】由下标和性质，，。
故 ，得 。
【变式1-3】已知等差数列 中，，，则 ____________。
【答案】
【解题思路】三个和式依次相差 ，故它们也成等差数列。
【解答过程】设 ，，。
则 ，，故 ，， 成等差数列。
所以 。
【题型2 等差数列的判定与证明】
【例2】已知数列 满足 ，，且 （）。
(1) 证明 是等差数列；
(2) 求 与 。
【答案】(1) 证明见解析；
(2) ，。
【解题思路】把中项式改写成"相邻两项之差相等"，再用定义判定。
【解答过程】(1) 由 得 （）。
这说明相邻两项之差 与 无关，恒为同一常数。
又 ，故 对任意 成立，
所以 是首项为 、公差为 的等差数列。
(2) 。
。
【多解·巧解】还有一条几乎不用写过程的路：先算三项、再猜通项、最后验证。由 、 得 ，于是猜 ，把它代回 验证成立即可。另外要注意本题的判定核心：由"差相等"推出等差，必须强调等式对任意 成立，只验证 是不够的——这是证明题的得分点，也是失分点。
【易错提醒】① 只由 、、 三项成等差就下结论，缺少对任意 的说明，证明不完整；② 把中项式写成 后直接说"由中项性质知是等差数列"，逻辑方向搞反（中项性质是等差的必要条件成立时才可逆用，这里必须回到定义）；③ (2) 中 算成 （把 记成 ）。
【变式2-1】已知数列 满足 （），，。
(1) 证明 是等差数列；
(2) 求 。
【答案】(1) 证明见解析；
(2) 。
【解题思路】移项得相邻差相等。
【解答过程】(1) 由 得 （），
故相邻两项之差恒为常数。又 ，所以 对任意 成立，
是首项为 、公差为 的等差数列。
(2) 。
【变式2-2】已知数列 的前 项和 ，求 ，并判断 是否为等差数列。
【答案】，是等差数列。
【解题思路】先算 ，再作差，最后用定义判断。
【解答过程】。
当 时，
。
时 ，符合，故 。
因为 为常数，所以 是等差数列。
【变式2-3】已知数列 的前 项和 ，判断 是否为等差数列，并说明理由。
【答案】不是等差数列。
【解题思路】求出前三项，看差是否相等。
【解答过程】。
当 时，
。
所以 ，，，但 。
因为 ，，两差不相等，故 不是等差数列。
【题型3 等差数列性质的应用（凑下标）】
【例3】已知等差数列 中，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】五个等距项之和等于中间项的 倍，所求两项的下标和也等于 。
【解答过程】由下标和性质，，
故 ，得 。
又 ，故 。故选C。
【多解·巧解】本类题的核心动作只有一个：把所有下标都"凑"到同一个和上去。已知条件中五个下标 的平均数是 ，所以它们的和等于 ；所求两项的下标和为 ，于是也等于 。以后遇到"奇数个等距项之和"，直接取中间那一项乘以项数，不必再逐项配对了。
【易错提醒】① 把 与 配好后，忘记中间的 也要算进去，误得 ；② 求出 后直接选A，把"两项之和"当成了"中间项"；③ 下标和不相等时乱用性质，如由 直接推出 。
【变式3-1】已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】三个和式依次相差 ，成等差数列。
【解答过程】记 ，，。
因为 ，，故三者成等差数列，
。故选B。
【变式3-2】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 ____________。
【答案】
【解题思路】用片段和性质：，， 成等差数列。
【解答过程】由片段和性质，，， 成等差数列。
又 ，，公差为 ，
故 。
所以 。
【变式3-3】已知等差数列 中，，则其前 项和 ____________。
【答案】
【解题思路】由下标和性质把 换成 。
【解答过程】因为 ，故 。
所以 。
【题型4 前 项和的最值问题】
【例4】已知等差数列 中，，，则其前 项和 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先找 由正变负的临界项，再求该处的前 项和。
【解答过程】。
由 得 ，即 ，故 ，。
所以 在 处取得最大值。
。故选B。
【多解·巧解】求 最值有两条路，第二条更快：把 看成二次函数，对称轴 ，取最接近的正整数 。更实用的是"符号转折法"：只要求出 且 ，立刻知道 最大，连 的表达式都不必写出来。因为 ，项为正时和在涨、项为负时和在跌，这个道理比配方更本质，也更不容易算错。
【易错提醒】① 把 算成 （把 误用成 ，实际 ）；② 忘记 必须是正整数，直接用二次函数的顶点值 当作答案；③ 认为 时 一定有最大值就完事，却没有指出是第几项取得。
【变式4-1】已知等差数列 中，，，则其前 项和 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】找 由负变正的临界项。
【解答过程】。
由 得 ，故 ，。
所以 最小，。故选B。
【变式4-2】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 取得最大值时 ____________。
【答案】
【解题思路】由 得 ，再用下标和化简。
【解答过程】由 得 。
由下标和性质 ，故 ，即 。
又由 知数列先增后减（否则和不会先相等），故 ，
从而 ， 在 处取得最大值。
【变式4-3】已知等差数列 中，，，求 的最大值及取得最大值时 的值。
【答案】最大值为 ，此时 。
【解题思路】找 由正变负的临界项。
【解答过程】。
由 得 ，故 ，。
所以 最大，。
故最大值为 ，此时 。
【题型5 两个等差数列前 项和之比】
【例5】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】用 直接代入。
【解答过程】因为 ，同理 ，
所以 。
代入 得 。
故 。故选A。
【多解·巧解】这个结论值得记牢并能自己推：，而 （下标和为 ），所以 。于是 。记忆口诀："求第 项之比，就代 到和之比里"。有了它，这类题就是纯粹的代入计算，五秒出答案。
【易错提醒】① 直接把 代入得 而误选B——这是最常见的错误，必须代 ；② 记成代 而代入 ，得 误选D；③ 分子分母的位置颠倒。
【变式5-1】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】求第 项之比，代入 。
【解答过程】。故选B。
【变式5-2】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 ____________。
【答案】
【解题思路】求第 项之比，代入 。
【解答过程】。
【变式5-3】已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 ____________。
【答案】
【解题思路】求第 项之比，代入 。
【解答过程】。
【题型6 等差数列的综合应用】
【例6】已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 ；
(2) 求 的最大值及取得最大值时 的值。
【答案】(1) ；
(2) 最大值为 ，此时 或 。
【解题思路】先求公差得通项，再找 的位置，注意此时出现"双峰"。
【解答过程】(1) ，
故 。
(2) 由 得 ，即 ，故 。
于是 ，，。
因为 ，且此后逐项递减，
所以 与 同时取得最大值。
，。
故最大值为 ，此时 或 。
【多解·巧解】判断最值是否有"双峰"，只需看 有没有正整数解。本题 ，于是 ，两个位置并列最大。用二次函数看也一样：，对称轴 ，恰好落在两个整数的正中间，所以 与 等值。最值有双峰 对称轴恰为半整数 存在 ，这三个说法是同一件事，看到 的对称轴是 就要立刻警觉。
【易错提醒】① 只写出 或只写出 ，漏掉另一个——这是本题设计的失分点；② 求出 后认为 最大而 不是最大，理由不清（正确说法是两者相等且同为最大）；③ 把 写成 （少算了 中的 ），导致后面全部错位。
【变式6-1】已知等差数列 的前 项和为 ，，且 ，则 的最大值为 ____________。
【答案】
【解题思路】先由 求公差，再找符号转折项。
【解答过程】由 得 ，
即 ，代入 得 ，。
故 。
由 ， 知 最大，
。
【变式6-2】已知等差数列 共有 项，其所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和为 ，则公差 ____________。
【答案】
【解题思路】用 。
【解答过程】共有 项，奇数项与偶数项各 项。
。
又 ，故 ，。
【变式6-3】已知等差数列 的前 项和 。
(1) 求 ；
(2) 求 的最大值。
【答案】(1) ；
(2) 。
【解题思路】(1) 作差求通项；(2) 用对称轴定位。
【解答过程】(1) 。
当 时，
。
时 ，符合，故 。
(2) ，
故当 时 取得最大值 。
一、单选题
1．（★★）已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】直接用通项公式。
【解答过程】。故选B。
2．（★★）已知等差数列 中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】先求公差，再求目标项。
【解答过程】，故 。故选C。
3．（★★）已知等差数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】作差求出通项。
【解答过程】；当 时，。
时也成立，故 。故选C。
4．（★★）已知等差数列 中，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】用下标和性质。
【解答过程】由 得 ，故 。故选B。
5．（★★）已知等差数列 中，，，则公差 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】两个和式之差等于 。
【解答过程】。
又该差为 ，故 ，。故选A。
6．（★★★）已知等差数列 中，，前 项和为 ，若 的最小值在 处取得，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】把"最小值在 处取得"翻译成相邻项的不等式组，再检验临界。
【解答过程】因为 ， 单调递增，故 的最小值在 处取得
等价于 且 。
由 得 ；由 得 。
检验临界： 时 ， 同为最小值；
时 ， 同为最小值，
两者都满足"最小值在 处取得"。故 ，选B。
7．（★★★）已知等差数列 中，，，，则使 成立的最大正整数 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由符号条件定出正负分界，再用下标和性质把首末两项之和与已知两项之和配对。
【解答过程】若 ，则 ，与 矛盾，
故 ，；又二者异号且 ，所以 。
由 得 ，故 ；
又 得 ，故 。
因 ，当 时 ，有 ，即 ；
当 时 ，有 ，即 。
故最大正整数 ，选C。
8．（★★★）已知等差数列 、 的前 项和分别为 、，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先用下标和把分子、分母分别化成 与 ，再用 转化。
【解答过程】由下标和性质，，，
故 。
又对等差数列有 ，取 得 ，，
所以 。故选A。
二、多选题
9．（★★）已知等差数列 中，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解题思路】求出通项与前 项和后再逐项判断。
【解答过程】，A 正确；
，B 正确；
，C 正确；，D 错误。
故选ABC。
10．（★★）已知等差数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 最大 B．若 且 ，则 必有最大值 C．若 ，则 必有最大值 D．若 ，则 单调递增
【答案】ABC
【解题思路】A 用下标和化简，B、C 用二次函数的开口方向，D 要举反例。
【解答过程】A 中由 得 ，即 ，又 故 ， 最大，正确；
B 中 时 递减且终将为负， 先增后减，必有最大值，正确；
C 中 时 是开口向下的二次函数（关于 ），必有最大值，正确；
D 中若 ，，则 ，，并非单调递增，错误。
故选ABC。
11．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则 取得最大值 C． D．
【答案】ABC
【解题思路】由 得对称轴 ，再用下标和性质逐项推导。
【解答过程】由 得 ，
又 ，故 ，即 ，A 正确；
由 知 关于 对称；若 ，则由 得 ，
的图象开口向下，故 为最大值，B 正确；
由 得 ，故 ，C 正确；
只能说明二者互为相反数：若 则 ，
若 则 ，故 D 不一定成立，错误。
故选ABC。
12．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则下列说法正确的是（ ）
A．公差 B．当 时， 取得最小值 C．使 成立的最小正整数 为 D．
【答案】ABD
【解题思路】由 得对称轴 ，联合 解出公差，再逐项验证。
【解答过程】由 得 ，
又 ，故 。
而 ，，相加得 ，故 ，A 正确；
此时 ，，，
且 ，故 为最小值，B 正确；
，
由 得 ，故最小正整数 ，C 错误；
，D 正确。
故选ABD。
三、填空题
13．（★★）已知等差数列 中，，，则 ____________。
【答案】
【解题思路】直接用前 项和公式。
【解答过程】。
14．（★★）已知等差数列 中，，则 ____________。
【答案】
【解题思路】用下标和性质把三项之和化为 。
【解答过程】由 得 ，
故 ，得 。
又 。
15．（★★★）已知等差数列 的公差 ，，前 项和为 ，若 的最小值在 处取得，则 的取值范围是 ____________。
【答案】
【解题思路】把"最小值在 处取得"转化为 ，再解不等式组。
【解答过程】因 ， 单调递增， 的最小值在 处取得等价于 且 。
由 得 ；由 得 。
检验临界： 时 ， 同为最小值；
时 ， 同为最小值，均满足题意。
故 。
16．（★★★）已知等差数列 中，，公差 ，前 项和为 ，若 的最大值在 处取得，则 的取值范围是 ____________。
【答案】
【解题思路】把"最大值在 处取得"转化为 ，再解不等式组。
【解答过程】因 ， 单调递减， 的最大值在 处取得等价于 且 。
由 得 ；
由 得 。
检验临界： 时 ， 同为最大值；
时 ， 同为最大值，均满足题意。
故 。
四、解答题
17．（★★）已知等差数列 中，，。
(1) 求 ；
(2) 令 ，求数列 的前 项和 。
【答案】(1) ；
(2) 。
【解题思路】(1) 用两式相减求公差；(2) 裂项相消。
【解答过程】(1) ，
故 。
(2) ，
故 。
【多解·巧解】(1) 求通项时可以用 直接从已知项出发，不必先求 ，这样少一步运算也少一次出错机会。(2) 的裂项有一句口诀："分母是两个相差 的奇数，裂项要补 "——因为 ，比原式大了 倍，所以必须乘 。凡是分子为 、分母两因式之差为 的裂项，都要乘 ，这是通用规律。
【易错提醒】(2) 中漏掉 的系数，直接写成 ，正好是正确答案的两倍。检验方法：取 ，，而用 一致，说明系数正确。裂项后随手验一项，就能避免这类系数错误。
18．（★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 ；
(2) 求 的最大值及取得最大值时 的值。
【答案】(1) ；
(2) 最大值为 ，此时 或 。
【解题思路】先求公差，再用 的双峰判断。
【解答过程】(1) ，
故 。
(2) 由 得 ，故 。
又 ，，所以 同时最大。
，，。
故最大值为 ，此时 或 。
【多解·巧解】求最值最快的是先用一次函数定位、再用公式求值：，对称轴 是半整数，立即知道 与 并列最大，再代回 。这里 只是函数值，不是答案——二次函数的顶点值只在对称轴是正整数时才能直接用，否则必须取两侧整数项计算。
【易错提醒】① 把 写成 （没有把 的下标 处理好，导致 变成 ）；② 求出 后只写 ，漏掉 ；③ 直接把顶点值 当作最大值。本题的三处陷阱分别对应"下标处理""双峰""整数取值"，都是等差数列最值题的高频失分点。
19．（★★）已知数列 的前 项和 。
(1) 求 ；
(2) 判断 是否为等差数列，若是，求出公差。
【答案】(1) ；
(2) 是等差数列，公差为 。
【解题思路】作差求通项，再用定义判断。
【解答过程】(1) 。
当 时，
。
时 ，符合，故 。
(2) 因为 为常数，
所以 是等差数列，公差为 。
【多解·巧解】判断 是否为等差数列，最省事的是看 的形态：若 能写成 （没有常数项），则 一定是等差数列；若还多一个常数项 ，则首项会"掉队"，一定不是等差数列。而且公差 ：本题 ，故 ，看一眼就出答案。这个结论在做选择题、填空题时能省掉整整一段作差过程。
【易错提醒】① 作差时把 展开成 之后忘记后面还有 ，导致常数项算错；② 忘记检验 ，虽然本题恰好能合并，但若不写这一步会显得过程不完整；③ 把公差说成 （误用 而不是 ）。
20．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 与 ；
(2) 令 ，求数列 的前 项和 。
【答案】(1) ，；
(2) 。
【解题思路】(1) 由 列方程求公差；(2) 裂项相消，注意补系数 。
【解答过程】(1) 由 得 。
故 ，。
(2) ，
故
。
【多解·巧解】(1) 也可以先求末项再求公差：由 得 ，再由 解得 ，数字比 更小。(2) 的裂项口诀是"分母两个因式相差 、分子为 ，补 "。
【易错提醒】(2) 中漏写 会使结果恰好为正确答案的 倍。自检：取 ，，公式给出 ，一致。
21．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，且 。
(1) 求公差 及通项 ；
(2) 求 的最大值及取得最大值时 的值。
【答案】(1) ，；
(2) 最大值为 ，此时 。
【解题思路】(1) 由 配合下标和性质先定 ；(2) 找符号转折项。
【解答过程】(1) 由 ，
又 ，故 ，即 。
而 ，，相加得 ，故 。
于是 。
(2) 由 ， 知 取得最大值，
。
故最大值为 ，此时 。
【多解·巧解】(1) 中"由 求公差"有通用套路： 配合下标和性质，可先得到关于对称中心项之和为零的等式，再反解 ，避免把 与 两个大式子相减。(2) 中 的对称轴在 ，但用 判断更稳妥——只有 时才在 处取最值。
【易错提醒】① (1) 中误用非整数下标（如把 写成 ）；② 由 求 时首项代入错误，写成 （应为 ）；③ (2) 中只凭对称轴 作答而不验证符号转折，容易与真正的最大值点混淆。自检：，故 ，与 一致。
22．（★★★）已知等差数列 中，，。
(1) 求 与 ；
(2) 求 的最大值，并求使 成立的最大正整数 。
【答案】(1) ，；
(2) 最大值为 （此时 ），。
【解题思路】(1) 由 求公差；(2) 借助 的抛物线（零点与顶点）一次读出最值与最大正整数。
【解答过程】(1) 由 得 。
故 ，。
(2) 由 ， 知 最大，。
由 得 ，解得 ，
故最大正整数 。
【多解·巧解】(2) 的两问都盯着同一条抛物线 ：开口向下，零点为 与 ，顶点为 。所以最大值在离顶点最近的整数 处取得，而 的最大正整数就是零点左侧的 。画出草图，两问答案都能直接读出。
【易错提醒】① (1) 中把 写成 （忘记 的调整，应为 ）；② (2) 中把顶点 直接当作答案，或在 与 之间选错；③ (2) 中把 的最大正整数误答为 ——，必须把临界代回检验。自检：，，确为 。
23．（★★★）已知等差数列 的前 项和为 ，，。
(1) 求 ；
(2) 令 ，求数列 的前 项和 ；
(3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最小值。
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 。
【解题思路】(1) 由 求公差；(2) 裂项相消；(3) 先求 的上确界，再由"恒成立"定 。
【解答过程】(1) 由 得 ，故 。
(2) ，
故
。
(3) 因为 ，
且 随 增大而增大、当 无限增大时趋近于 ，所以 的上确界为 。
要使 对一切 恒成立，需 ，
即 ，故正整数 的最小值为 。
【多解·巧解】(3) 是"恒成立求参数"的典型结构：把 看成阈值，不等式左端 单调递增且有上界，所以阈值必须不低于 的上确界。恒成立 阈值 左端的上确界（左端取不到上确界时，等号也可取）。本题 恒小于 却无限接近，故 时仍成立，对应 ，取整数即 。
【易错提醒】① (2) 中漏掉系数 ，把 写成 ；② (3) 中把"恒成立"误当成"存在某个 使成立"，只代 得 ，错误地取 。检验： 时 ，而 趋近于 ，对大 不成立，故 不合，最小值为 。
24．（★★★）已知等差数列 中，，。
(1) 求 与 ；
(2) 令 ，求 （需对 分类讨论）；
(3) 求使 成立的最小正整数 。
【答案】(1) ，；
(2) 当 时 ；当 时 ；
(3) 。
【解题思路】(1) 由 求公差；(2) 以 的符号转折点分界、分段去绝对值；(3) 在 递增的那一支上解二次不等式。
【解答过程】(1) 由 得 。
故 ，。
(2) 由 得 ，即 ，。
当 时，，故 ；
当 时，前 项非负、第 项起为负，故 。
又 ，所以 。
(3) 当 时，，无解；
当 时，令 ，即 ，
即 ，结合 得 ，
故最小正整数 。
【多解·巧解】(2) 是"含绝对值的数列求和"的标准模型：第一步定界（找 首次变负的位置），第二步分段（转折项之前用 ，之后用 ， 为最后一个非负项的下标）。本题 ，把它归入非负项，故 （）、（）。(3) 只需在 递增的那一支上解不等式：先判断 时 排除即可。
【易错提醒】① (2) 中分界点处理不当： 归入前段才与 自洽；② (2) 中把 误写成 ，符号反了；③ (3) 中忽略 的前提，把 的解写成 或 ，从而误答。自检：，而把 代入 也得 ，两段在 处相接。
—— 本节结束 ——
1
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
