精品解析：重庆市第二十九中学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

重庆市29中学2026-2027学年度上期 八年级数学半期测试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此判断即可求解． 【详解】解：、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】A、a2•a3=a5，故此选项错误； B、a7÷a3=a4，正确； C、（a3）5=a15，故此选项错误； D、（ab）2=a2b2，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 4，4，5 B. 1，3，4 C. 5，6，12 D. 1，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 A、，能组成三角形，故此选项符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不合题意； C、，不能组成三角形，故此选项不合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不合题意． 故选：A． 4. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 5. 若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值( ) A. B. 2 C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则求出乘积，再根据“乘积中不含的一次项”可得的一次项的系数等于0，由此即可得． 【详解】解： ， 多项式与的乘积中不含的一次项， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 6. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得 ，，从而得出 ，在  中利用角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，结合  即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ， 在  中，， ， ， ，即 ，  ． 7. 如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 8. 甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，根据梯形面积公式可得，由此求出，结合求出的值，进而求出，最后利用平方差公式可得． 【详解】解：设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b， 甲乙两个正方形的面积和为10， ， 图1中阴影部分面积为8， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， 即图2中阴影部分面积为8． 9. 如图，中，，角平分线交于点I，交于F，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】如图延长交于，于．利用角平分线的性质定理，全等三角形的性质一一判断即可；本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图延长交于，于． ，角平分线、交于点， ， ， ， ， ，故①正确， ，，， ， ，，， ， ， ，故②正确， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 故③错误． 故选：C． 10. 已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等， 顶角是40°， 它的底角为 ． 故答案为： ． 12. 若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：将等式左边展开得， 由题意得， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解方程组得， 则． 13. 已知点A（a，﹣2）与点B（﹣1，b）关于x轴对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，横坐标相等，纵坐标互为相反数列式求值即可． 【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（﹣1，b）关于x轴对称， ∴a＝﹣1，b＝﹣（﹣2）＝2， ∴a+b＝﹣1+2＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数的特点，熟记知识点是本题的解题关键． 14. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由整理得到和，再对所求多项式进行降次变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 则 ． 15. 如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过构造辅助线（取中点K），证明，从而将求动线段的最值问题转化为求定点K到直线的距离问题，最后利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质求解． 【详解】解：如图①，取的中点K，连接，． ∵是等边三角形，， ∴，． ∵是等边的中线， ∴E是的中点，平分（三线合一）， ∴，． ∵K是的中点， ∴， ∴． ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴． 根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图所示： 在中，，， ∴， ∴的最小值为2． 16. 如图，在等腰中，，，则____，若点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 _________ ． 【答案】 ①. 32 ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．将拼接到，连接交于点G，推出，当点E与点G重合时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：等腰中，，， ． 如图，将拼接到，连接交于点G， 则， ，，， ， 当点E与点G重合时，的值最小， ， ， ， ， ， 即当的值最小时，的大小是， 故答案为：32，． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 四、解答题（每小题10分，共70分） 19. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义和三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ 20. 在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明． 请根据下列解题思路完成填空： 为线段的垂直平分线， ， 为的角平分线， ①， 在和中， ， ③， EF为线段BD的垂直平分线， ④， ． 【答案】（1） （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】由角平分线、线段垂直平分线的性质，得到线段相等关系，再通过角边角全等判定完成三角形全等证明，最终通过等量代换得到要证明的结论． 【小问1详解】 解：作图略． 【小问2详解】 解：由角平分线的性质得到①；再通过角边角全等判定完成三角形全等证明，故②，③；由线段垂直平分线的性质得到④；最终通过等量代换得到要证明的结论． 21. 化简并求值，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算乘法公式，再计算括号内的整式加减，然后计算多项式除以单项式，最后利用完全平方公式和偶次方的非负性求出，的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴原式． 22. 如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． （1）求证：； （2）作，垂足为G，求证：． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 在和中 ， ， ； （2） 证明：，垂足为， ， ． ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识， （1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解； （2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解； 熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 23. 发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． （1）如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； （2）如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； （3）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； （4）如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】（1）＝ （2） （3）2 （4）27 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． 【小问4详解】 解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． 24. “数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． （1）观察图①，用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是 ； （2）在（1）中公式里，若，（，），求的值． 【类比探究】 （3）若满足，求的值．小度的想法是设，，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 （4）如图②，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】（1） （2）13 （3）10 （4） 【解析】 【分析】（1）根据对图形面积的两种计算方式可解题目； （2）根据代入计算即可； （3）设，，则，，根据进行计算即可； （4）设米，米，由题意得，，根据求出的值即可． 【小问1详解】 解：由图形知，大正方形的面积等于边长的平方，也等于里面四个图形的面积和，则得： ； 【小问2详解】 解：，而，， ∴， ，， ； 【小问3详解】 解：设，，则，， ， ， ， 即； 【小问4详解】 解：设米，米，由题意得，米，平方米， 即，， ， ， ， 种草区域的面积和（平方米）． 25. 如图，在中，，点为所在平面内一点，连接、、． （1）如图1，点在线段上，若，，求的度数； （2）如图2，点为外一点，线段与交于点，，，点在线段上，连接，若，用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，，平分，以线段为边，在线段左侧构造等边，连接，点在线段上，，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）． （2），证明如下： 在线段上取点，连接，使平分． 设 ，则 ；设 ． ， ． 点 在 上，点 在 上， ，． ， ， ，即 ．① ， ， ， ． 结合①可知 在 中， ，， ， ， ． 平分 ， 则 ； 点 在 上， ． ，， ． 在 与 中， ，，， ， ． ， ， ， ． ∴ ． （3）． 【解析】 【分析】（1）由 得 ，由 得 ，结合 列方程求 ． （2）设 、，由 得 ，由 得 ，即 ；由 得 ；在 中算出 ，得 ；再在 上取 使 平分 ，用“ASA”证 得 ，最后证 ，即得 ； （3）由 得 为等边三角形；由 、、 用“”证，推出，利用等边三角形三线合一证明垂直平分，从而推出，利用线段转化即可推出，把 化为 ，取最小值时 、、 共线；利用推出的延长线垂直平分，即可证明平分，再用角平分线的性质与面积比定出 ，最后用“同高的三角形面积比等于底之比”求面积比． 【小问1详解】 解：， ． ， ． 点 在线段 上，， ， ， 解得 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ，， 是等边三角形，，． 平分 ， ． 是等边三角形，且点 在 的左侧， ，． ， ， ∴ ． 在 与 中， ，，， ， ． 为等边三角形，平分， 垂直平分， ， ，， ， ∴ ，当 、、 三点共线时取最小值， ∴ 当 取最小值时， 是 与 的交点，如图所示，连接， ∵ ，， ∴ ． ， 点始终在线段的垂直平分线上， 的延长线垂直平分， 为等边三角形， 点 在 的平分线 上， 点 到 、 的距离相等， ； 这两个三角形在 边上的高相同， ， ． 点 在线段 上， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市29中学2026-2027学年度上期 八年级数学半期测试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 4，4，5 B. 1，3，4 C. 5，6，12 D. 1，6，8 4. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 5. 若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值( ) A. B. 2 C. D. -2 6. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 8. 甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 9. 如图，中，，角平分线交于点I，交于F，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为________． 12. 若，则的值为________． 13. 已知点A（a，﹣2）与点B（﹣1，b）关于x轴对称，则a+b＝_____． 14. 已知，则_____． 15. 如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，则的最小值为________． 16. 如图，在等腰中，，，则____，若点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 _________ ． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 四、解答题（每小题10分，共70分） 19. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 20. 在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明． 请根据下列解题思路完成填空： 为线段的垂直平分线， ， 为的角平分线， ①， 在和中， ， ③， EF为线段BD的垂直平分线， ④， ． 21. 化简并求值，其中，满足． 22. 如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． （1）求证：； （2）作，垂足为G，求证：． 23. 发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． （1）如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； （2）如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； （3）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； （4）如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 24. “数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． （1）观察图①，用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是 ； （2）在（1）中公式里，若，（，），求的值． 【类比探究】 （3）若满足，求的值．小度的想法是设，，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 （4）如图②，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 25. 如图，在中，，点为所在平面内一点，连接、、． （1）如图1，点在线段上，若，，求的度数； （2）如图2，点为外一点，线段与交于点，，，点在线段上，连接，若，用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，，平分，以线段为边，在线段左侧构造等边，连接，点在线段上，，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $