第1章 直角三角形的边角关系 质量评估（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级下册数学（北师大版·新教材）

第一章质量评估 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其 中 中只有一个是正确的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 汕 答案 1.tan60°的值为 A.3 B③ C.3 3 D0.2 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=√7，则cosA的值 是 A.①4 B.②T 2 c D. B D (第2题图) (第4题图) (第6题图) 3.在R△ABC中，∠C-90,snA-号，BC-6,则AC的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 4.汽车智能随动大灯能实时根据路况转动.如图，一汽车转弯时， 车灯照明的中心线OA会主动转至OB,转动的角度∠AOB= a.若OA的长为m,则AB的长为 ) A.mtan a B.m C.msin a D.m tan a cos a 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是( ) A.sin A=sin B B.cos A=cos B C.tan A=tan B D.sin A=cos B 6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.已知CD=2, AC=3,则cos∠BCD的值是 ( A号 4 B. c D. 4 7在△ABC中，锐角∠A,∠B清足如A-引+(csB =0, 则△ABC是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8.如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射 后在成像图层上形成光点M和N.若入射角∠1=45°，∠2= 60°，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为4dm,则M,N 两点之间的距离为 A.4 dm B.8 dm C.(4√3-4)dm D.(8√3-8)dm 平面镜 M 六成像图层 A (第8题图) (第9题图) 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于 点E.若AC=8,CD=2,cosB=-号，则DE的长为 ( A.3.2 B.4 C.4.5 D.4.8 10.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上. 若∠DAE=30,tan∠EAC=号，则BD的长是 A.3-√3 B.3+√3 C.33 D.√3 B D (第10题图) (第13题图) (第14题图) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2,BC=2,那么AC 的长为 12.某商场在一楼与二楼之间安装了一部长25m的手扶电梯，一 楼与二楼之间的高度为10m,则手扶电梯的倾斜角的度数约 为 .(结果精确到1') 13.如图，在平面直角坐标系中，点P在射线OA上，OP=13, c0sa=3,则点P的坐标为 14.“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步.两塔 之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往 喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间 的距离.”如图，已知AC⊥AB,BD⊥AB,M是AB上一点， CM=DM,AC=30,BD=20,在C处测得点M的俯角为60°， 则AB的长为 15.在△ABC中，0为AC的中点，点P在AC上.若OP=5, 2’ tanA=7,∠B=120,BC=23,则AP的长为 2 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：2sin30°+c0s60°+cos245°； (2)如图，在R△ABC中，∠C=90°，BC=12,tanB=2,求 cosA的值. 17.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上， ∠BDC=45°，BD=10√2，AB=20,求sinA的值， B 45 18.(8分)由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了 “如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=☐，AC=4√3， 求AB的长.”这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10.请 你帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么， 一3一 19.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中 点，BE⊥CD,交CD的延长线于点E.已知AC=9,cosA= 多，求线段CD的长及os∠DBE的值。 20.(9分)如图，为了测量河对岸A,B两点间的距离，数学兴趣小 组在河岸南侧选定观测点C,测得点A,B均在点C的北偏东 37°方向上，沿正东方向行走100m至观测点D,测得点A在 点D的正北方向，点B在点D的北偏西53°方向上.求A,B 两点间的距离.（结果精确到1m,参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 北 东 E B 37 、53 21.(10分)如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD,AE⊥ BC,垂足为E,AE=9,sin∠CBD=3 4 (1)求BD的长； (2)若BD=CD,求tan∠BAE的值. -4 22.(10分)项目背景：陶寺遗址古观象台是我国现存最早的古观 象台遗址，由13根夯土柱组成，呈半圆形排列.古人从观测点 通过夯土柱夹缝观测塔尔山日出方位，确定季节、节气，安排 农耕.综合实践小组的同学围绕“古观象台夯土柱高度的测量 与计算”开展项目式学习活动，形成了如下活动报告. 项目主题 古观象台夯土柱高度的测量与计算 活动内容 利用解直角三角形等有关知识进行测量与计算 图①为该遗址的实物图，图②为测量方案示意图，观 测，点O位于圆心，OD垂直于水平地面CD,夯土柱 BC垂直于水平地面CD,A为夯土柱BC上夹缝位 置处的一点，点A,B,C在同一竖直平面内.过观测 点O作OM∥CD交BC于，点M,则OM为观测，点O 方案到夯土柱BC的水平距离，OD为观测点底座的高 说明度.图中各点都在同一竖直平面内 B 活动过程 图① 图② 在观测，点O处测得夯土柱项端B的仰角为25°，测得 数据 夯土柱夹缝A处的仰角为10°，观测点O到夯土柱 测量 BC的水平距离OM为10.5m,观测点底座高度OD 为0.03m 计算 交流展示 … 请根据上述内容，计算夯土柱的高度BC和夯土柱夹缝A处 到顶端的距离AB.（结果精确到0.1m,参考数据：sin10°≈ 0.17,cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin25°≈0.42，cos25°≈ 0.91,tan25°≈0.47) -5 23.(12分)通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中， 锐角A的正弦值等于这个角的对边与斜边的比，记作snA= ∠A的对边.对于锐角A的每一个确定的值，sinA都有唯一 斜边 确定的值与它对应，显然，0<sinA<1,因此建立了直角三角 形中的边与角的关系.类似地，可以在等腰三角形中建立边角 之间的联系.规定：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正 对(sad).如图①，在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作 sdA,此时dA=整-=S如：当∠A=60时，d0 1.根据上述信息，解答下列问题： (1)求sad90°的值； (2)对于0°<∠A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 (3)如图@，在Rt△ABC中，已知∠C=90,sinA=(∠A为 锐角)，求sadA的值. 图① 图② —6