第一章 直角三角形的边角关系（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章直角三角形的边角关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知为锐角，且 os(a-20)=2 ,则a等于() A.45° B.55 C.60° D.65° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=5,则下列三角函数表示正确的是() A.sind=12 3 B.cos4=12 13 C.tand=5 12 D.tanB=12 3.一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度=1：3），则此时该小车的竖直高度上升() A.米 50 B.25米 C.510米 D.10W5米 4.如图，边长为1的正方形网格中，AB与CD交于P点，则tan∠BPC的值为() B 1 A.2 B.2 C.2 D.3 5.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°，BC=44cm,则高 AD约为()（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A.9.98cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6如图.B为正方形ABCD内一点，∠AED=90,5m∠FAD 5,连接AC,若DE=3,则AC的长为 () D ◇E A.5V2 B.10 C.6 D.4V2 7.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF,连接AE,EF.若 AB=2,AD=3,则CoS∠AEF的值是() D E B 5 2 A.5 B.2 C.2 D.2 8.某商场计划在一块长23米，宽88米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此 方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计)·如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽 3米，中间安全空间的距离不小于08米，则最多可以设置停车位() 5m 车3m 安全空间 车位 A.18个 B.10个 C.9个 D.8个 9.构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现.在计算tanl5°时，如图，在Rt△ACB中， ∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15°，令AC=1,则 219 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC 1 2-5 am1s°=CD2+32+32-同 =2-V3 AB=BD=2'BC=V3,所 类比这种方法，计算 tan22.5°的值为() 30T 15I B D A.V2+1 B.√2-1 C.2 D. 10.如图，己知矩形ABCD,点E是BC边的中点，BC:AC=4:5,DE与AC相交于点F,连接BF,下 3 列结论：①S=Sm:②am∠CBD=2:③Se=2Sa;④4C1DB,其中正确的结论有〈） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，P是∠a一边0A上的点，点P的坐标为 2,5）,则sna y P(12,5) A a 12.如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和45°，如果这时气球的高度CD为 100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为米（结果保留根号）· E. C -3045 319 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，AD是AABC的商，AB=6,∠ABD=30,m2C1D-号，则AC的长为 D C 14在aMBC中，AB的为说角，且满足(mB-+ 2-c0sA=0 则∠c 15.如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点A距离地面4米（即AB=4米），遮阳设 5 施的宽度4C为2.6米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角α的余弦值为13，当太阳光与地面的夹角为60时，遮 阳设施在地面上的影长BD为 米.（结果保留小数点后一位，参考数据： 5≈1.73) BD人60° 7777777777777777777777 16.己知在oABCD中，∠ABC=105°，对角线AC、BD交于点O,∠DAC=30°，AC=6,点P从点B出 发，沿着BC方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是一 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： aV3-vi8+π-V5'+6sin45°， 419 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22026-x°-Vi2+6sim60°-1-v 图，在AMBC中，点D是BC的中点，连接D,CD=D,∠B=45°，B,日 4 B D (1)求BC的长： (2)求tan∠ADB 19.图1、图2是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上.仅用无刻度的直尺在给定 的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. 图1 图2 (I)在图1中，在线段AC上确定一点D,连接BD,使得tan∠ABD=1: AE 3 (②)在图2中，确定线段4B上一点E,使得BE2,连接CE,请直接写出线段CE的长。 20.我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实.某科研团队研发的人形机器人“小智”，右 臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度AB=30©m,前臂长度BC=20cm.如图，“小智” 在工作前，∠ABC=120°，BC与地面平行：工作时，∠AB'C'=135°，AB与地面平行. B B -C 77地面 (1)点B与点A在水平方向上的距离为 cm (②求点C与点C在竖直方向上的距离，（结果精确到lm,参考数据： 3≈1.732≈1.41 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2L刻图，在4D中MB1DE是边D上一点，使∠B1E:∠AD6:且m∠DB 2, (I)求BD的长： ②过点B作BC/D,交4柜延长线于点C,若BC=v5,求CD的长 22.1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战.1987 年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑.石外某班社会实践小组在了解石家庄历史 过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用AD来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车 站的售票厅BC,其中售票厅BC高18米.从A,B之间的E点(A,E,B在同一水平线上)测得纪念碑顶 部的D点，售票厅顶部C点的仰角分别为75和30°，从C点测得D点的仰角为30° 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： 30°C 75 b☑30° E (1)填空：∠CDE= CE= (2)求C,D两点之间的距离； (3)求纪念碑AD的高度， 23.如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B C21A2 图① 图② 图③ 图④ (1)sin'4+cos24= sin2,+cos2= (2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，则有sinA+cos2A= (3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,C,利用三角函数的定义和 勾股定理，证明你的猜想. 4)若0°<∠A<900, 且sin 4.cos=12 5,求sin4+cosA的值. 24.【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： 1809 150° 30° 120° 609 水平线 量角器 M 图① 图② (I)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆 OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径 两端点A、B共线（如图②，此时目标P的仰角是图②中的∠ 一，目标P的仰角与图②中的∠- 相等，请写出这两个角相等的证明过程 (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角 ∠P00=60° 观测点与树的距离KH为5米，点0到地面的距离O水为5米，求树高PH.V5≈1.，73 ， 结果精确到0.1米) 719 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图③ (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论， 决定先在水平地面上选取观测点E、F,E、F、H在同一直线上，分别测得点P的仰角=45°， B=30,测得E、F间的距离2米，点9.0 2到地面的距离 0E、0,F均为15米，求PH的长（结果保 留根号) E 图④ ④【拓展探究】在（③）的条件下，分别测得点P的仰角“、B .0102 再测得E、F间的距离”，点O、 到 地面的距离 均为”，则用含a,Bm OE OF ”的式子表示PH为 25女周，在。C中，2C=90:B=20血B-号，点p为边份的中点，点Q为边AC上一动点： 连接P№，将线段P№绕点P顺时针旋转90°并延长到点N,使线段PN=2PO,以线段P№、PW为邻边作 矩形PQMW 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q dC B M B W 备用图 (1)线段AC的长为 (②)当点Q为边AC的中点时，求矩形POMN的面积： (3)当AQ=P2时，求点N到直线AB的距离： 4④当P№=35 时，直接写出CW的长 919 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据特殊角三角函数值得出，求解得到，验证为锐角，得到结果． 【详解】解：∵已知为锐角，， ∴， ∴． 2．在中，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形．本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别判断每个选项的三角函数值是否正确． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， 根据锐角三角函数定义： ，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：A． 3．一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（    ） A．米 B．25米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理的应用．先根据坡度定义设出竖直高度与水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设小车竖直高度上升了米， ∵坡度 ∴水平宽度为米， ∵小车沿斜坡行驶的距离为斜边，长度为50米， 根据勾股定理得：， 解得（舍去负根）， 即此时该小车的竖直高度上升为米． 故选：C． 4．如图，边长为1的正方形网格中，与交于P点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过构造辅助线，利用正方形的性质得到相关线段的关系，再根据相似三角形的性质求出线段比例，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】解：如图，连接，交于点F， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出． 【详解】解：∵，为高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先解直角三角形求出，然后根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：A． 7．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 8．某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意．过点作，交的延长线于点，求出，，进一步求出，从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果． 【详解】解，如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意得m，m，m， 由勾股定理得，m， 在直角中，， ， ， ， ， ， 在直角中，， ， ， 故取整数5， 另一侧与其对称， ， 故选：B． 9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再令，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令，则， ∴， ∴在中，． 10．如图，已知矩形，点是边的中点，，与相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质得出，， ，再由中线的性质得出，再利用相似三角形的判定以及性质即可得出，，，再根据矩形的性质进一步可得出， 设，根据勾股定理得到，可知，根据，，，即可得出，进而可判断与不垂直． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ①③正确， ， 设，则，， ∴， ∴， 故②正确， ， ， ， ， 与不垂直， 故④不正确， 正确的是①②③，共3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，P是一边上的点，点P的坐标为，则__________． 【答案】 【分析】过P作轴于E，首先利用勾股定理计算出的长，然后再求出的正弦值即可． 【详解】解：过P作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴建筑物A、B之间的距离为米． 13．如图，是的高，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先在中利用角求出，再根据求出，最后利用勾股定理求出斜边． 【详解】解：是的高， ， ，， ， ， ，即， ， ． 14．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】/度 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 15．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】 【分析】作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，进而即可求解． 【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图， 在中，米，， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，米，， ∴米， ∴米． 16．已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形性质求出，分点在上和上两种情况，再分别讨论和，利用三角函数计算长并验证点是否在边上． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在中， ， ， 当点在边上时，， ①若， 在Rt中，； ②若， 在Rt中，； 当点在边上时， ③若， 在Rt中，； ④若， 在Rt中，， 作于， 设， ， ， ， ， ， ， 前三种情况点均在边上，符合题意， ， 第四种情况点在延长线上，舍去， 综上所述，的长是或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简二次根式、零次幂，代入特殊角三角函数值，再合并同类二次根式； （2）分别计算绝对值、零次幂、二次根式、代入特殊角三角函数值，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （2）解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 19．图1、图2是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，在线段上确定一点，连接，使得； (2)在图2中，确定线段上一点，使得，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一线三直角构造，连接与的交点即为点D； （2）根据平行线结合网格特点构造出，得到，连接，过点C作于点D，求出，，，根据三角形的面积公式，求出，继而由勾股定理求出，根据，求出，得到，再由勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求，图略； 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴． （2）解：如图所示，点E即为所求，图略； 理由如下： ∵， ∴， ∴， 连接，过点C作于点D，如图 由图可得，，， ， ∴， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 21．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由题意可得，利用正切的定义可得；再利用勾股定理列方程求得，最后利用正切的定义求的长即可； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，即，再利用勾股定理列方程求得，则，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去），即， ∵， ∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 22．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 【答案】(1)，36米 (2)米 (3)米 【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可； （2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答． （3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； 在中，，米， ∴米． （2）解：如图：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米． （3）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， 在中，，米， ∴米． ∴米． 23．如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 24．【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【答案】(1)，； 证明：， ， ； (2)米． (3)米； (4) 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果； （2）根据题意得出四边形是矩形，再根据锐角三角函数求解即可； （3）根据题意推出米，米，设米，在直角三角形中，利用锐角三角函数得出，进而解方程即可； （4）同（3）理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， （米）， （米）， 答：树高为米． （3）解：由题意可知，，，，米， ，， 点、到地面的距离、均为米， 米， 四边形是矩形， ，米， ， 米， 设米， 在中，， 米， 在中，， （米）， ， ， ，即米， 米， 答：的长为米； （4）解：由（3）可得，，， 设， 在和中，，， ， ， 解得：，即， ． 25．如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段，以线段、为邻边作矩形． (1)线段的长为___________； (2)当点为边的中点时，求矩形的面积： (3)当时，求点到直线的距离； (4)当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据正弦的定义计算即可得出结果； （2）由勾股定理可得，证明为的中位线，得出，由题意可得，再结合矩形的面积公式计算即可得出结果； （3）求出，过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，，由正弦的定义可得，结合勾股定理求出，从而可得，证明出，从而可得，求出，最后由勾股定理计算得出，即可得出结果； （4）取的中点，连接，则为的中位线，由中位线的性质可得，，由勾股定理可得，再分两种情况：当点在之间时；当点在之间时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵点为边的中点，点为边的中点 ∴为的中位线， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段， ∴， ∵以线段、为邻边作矩形， ∴矩形的面积为； （3）解：∵点为边的中点， ∴， 由（2）可得， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； （4）解：如图，取的中点，连接，则， ∵点为边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图，当点在之间时，过点作于点，过点作的延长线于点，连接，令交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点和点重合， ∴； 如图，当点在之间时，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点到的水平距离为，即点在的延长线上， ∴； 综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章直角三角形的边角关系·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案■ A C A B A ⊙ ⊙ C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 5 12 (100W3+100） 13.v10 14.105°/105度 15.0.7 35 3v√2 16.2或23或2 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分，第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分， 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：原式 5-32+1+6x2 2 =V3-3W2+1+3V2 =N5+l.3分 ②解：原式=123+6x5-5- =1-25+3W5-V5+1 =2.6分 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18 【详解】(1)解：过点A作AH⊥BC,垂足为H, H D C 在Rt△ABH中，∠B=45°， sin45°=4H AB· cos45°=BH AB· :4H=4B-sim45°=22BH=4B-co45°=2V2 在RtACH中，tanC=4=1 HC 4 HC=4AH=82 ,BC=BH+HC=2√2+8√2=10√2 :.3分 (2)解：已知D是BC中点， :BD=)BC=)x10N2=5N2 .BH=2 DH BD-BH=52-22=32 在Rt△AHD中， a<ADB=-222 DH323.6分 P 19.(1) E.3分 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 6分 CE=17 20. 【详解】(I)解：过点A作AH⊥CH,交CB的延长线于点H, E A B B C ∠ABC=120°， .∠ABH=60° 在RIABH中，AB=30cm, BH-AB.cosLABH=30x-15(cm) 2 ∴.点B与点A在水平方向上的距离为l5cm.3分 (2)解：过点C作CM⊥AM,交AB的延长线于点M, E B M H B AH=AB.sin∠ABH=30x5-155(em） LAB'C'=135, .∠C"B'M=45°， .BC=B'C'=20cm, 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CM-CB'sinCRM-20x 2 2=10W2(cm) “点C与点C在竖直方向上的距离为： AH+CM=153+102≈40(cm）.…6分 21. tan∠BAE= 1 BE 1 2:即AB2 ∴.AB=2BE, “AB=A8+B.E=5 :〔侵5=+E 2 解豹侧-2（发位已合去），甲83 :tam∠ADB=l 2 AB131 BD2,即BD2,解得：BD=64分 (2)解：如图，过C作CF⊥BD于F, BC∥AD. .∠DBC=∠ADB」 ·tan∠DBC=CF=1 BF=2,即BF=2CF, .BC2 BF2+FC2, .(5=(2FC+FC2, 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得FC=1(负值已舍去)， .∴.BF=2,DF=BD-BF=4, CD=JCR+DR .8分 22. 【详解】(I)解：如图：过点C作CF∥AB交AD于点F,交DE于点G,则四边形AFCB是矩形， D 30°_1C 75 130 .·∠AED=75°，CF∥AB, ∴.∠DGF=∠AED=75°， ∠CDE=∠DGF-∠GCD=75°-30°=45°： 在RtAEBC中，∠BEC=30°，BC=18米， EC=2BC=36米.3分 (2)解：如图：过点E作EH⊥DC于点H, D 30-C 750 ■ 30° E B ∠BEC=30°，CF∥AB, ∴.∠FCE=∠BEC=30°， .∠ECH=60°， .∠CEH=30°， 1 :HC=EC=18米， 2 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH=VEC2-HC2=36-18=183米， ·∠CDE=45°，EH⊥DC, ∴.∠DEH=∠CDE=45°， .DH=EH=185米， :DC=CH+DM-(18+185)米.6分 (3)解：：四边形AFCB是矩形，BC=18米， ∴.AF=BC=18米， 在R△CFD中，∠DCF=30°，DC-(8+18)米， DF-Dc=9+9)米 :4D=AF+DF=(27+95同)米.…8分 23 【详解】(1)解：如图①、图②， B2 B V2 C√3 A 图① 图② 根据正弦、余弦的定义得： m4治-日.m4指.m4-器-号.4-受 49=1= AB 2, m4m4-份[图1面4+o4-91,分 (2)解：如图③， 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 5 C; 4 图③ 根据正弦、余弦的定义得： m4+os4-验-得- 根据(1)得： sin2+cos2 14w4 根据上述计算，可猜想：sinA+cos2A=1.4分 (3)证明：如图④， B a b 图④ 根据正弦、余弦的定义得： sin?4+cos= +{-(8+- 根据勾股定理得：a2+b2=c2, .sinA+cos=+b2 c2 c2.21, .sin2A+cos2A=1.6分 ④)解：“6m24+cos2A=1,sn4cos4 25, 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'(sinA4+cos/)2=sin24+cos24+2sin4.cos4=1+ 2449 2525' .0°<∠A<90°， .sinA>0,cos>0. sind+cos4-(sin4d+cos)=5, 497 1 sinA+cosA的值为5.8分 24. 【详解】(1)POC,OG: 证明：'∠PON=∠COG=90° ∴.∠PON-∠CON=∠COG-∠CON. .∠POC=∠N0G;3分 (2)解：∠OKH=∠QHK=∠OQH=90° 四边形OKH0是矩形， ..OK=OH=1.5 00=KH=5 米， 米， :Rt△PO0,∠POg=60° 在 中， ÷tan∠P00=tan60°=g=V5 09 .P9=V309=5V3 (米)， PH=P0+QH=5V3+1.5≈10.2 (米)， 答：树高PH为10.2米.6分 (3解：由题意可知，PH1刚，O511,0F1H,F=2米， ∴∠OEF=∠O,FE=90°OE∥O,F 002 点 OE OF 、到地面的距离 2F均为15米， 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0E=02F=1.5 米， OEFO, ·四边形 是矩形， ∴.OO2I‖EFOO2=EF=2 米， ..OD FH ∴.OE=DH=1.5 米， 设PD=x米， PD tan a =tan45°=1 :在RtAODP中， OD ∴.OD=PD=x 米， 在RtaO,DP中， tanB=PD O,D =tan30°= 3, O,D=3PD=3Bx(米)， 002=02D-0D 3x-x=2 x=5+l,即PD-(N5+米， :PH=PD+DH=3+1+15=(5+25)米， 容：Pm的张为5+2.5)米：9分 OE=0,F=DH=n 00,=EF=m (4)解：由(3)可得， 设PD=x, 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtO.DP和RtAO,Dp中，QD=PD-,x tanatang,D tan B tan B' 002=02D-0D .:_T -=m tan B tana 解得：x=mtan a tan B tana-tanB,PD=mtanatanB tana-tanB, ∴PH=PD+DH=m tan a tan p .+n tan a-tan B 12分 25. 【详解】(1)解：在。4BC中，∠C=90,AB=20: sin B=4 5 .sin B=4C_AC 4 AB205, .AC=16;3分 (2)解：：在△ABC中，∠C=90°，AB=20,AC=16. BC-AB-AC=12 ,点P为边AB的中点，点Q为边4C的中点 ∴.PQ为△ABC的中位线， 0-ac=6 :将线段P9绕点P顺时针旋转90°并延长到点N,使线段PN=2P吧， PW=2P9=12 :以线段PO、PW为邻边作矩形POMN, .矩形PMN的面积为POPN=6x12=72;6分 (3)解：点P为边AB的中点， 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP=)AB=10. 由(2)可得BC=12, .'.sin 4=BC=12 3 AB205: 如图，过点Q作D⊥AB于点D,过点N作NE⊥AB于点E, D ..A0=PO :4D=PD-AP=5,∠A=∠AP2: 2 :sinA=Dg、3 A05 .D0=号Ag, 5 由勾股定理得 AD2+DO2=AO2 s+40j八=40 40=25 4 :P吧=A0=25 4, .PN=2PO :PW=25 2 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形POMN为矩形， ∠QPN=90°， NE⊥AB, ∴.∠ENP+∠NPE=∠NPE+∠APQ=90° .∠ENP=∠AP9=∠A, ·sin∠BNP=sin乙A=3 EPEP 3 :PN255, 2 EP=3x2515 522， EN=Pw2-EP=20-10. .点N到直线AB的距离为10；9分 (4)解：如图，取AC的中点E,连接PE,则CE=AE=8, ,点P为边AB的中点， ∴.PE为△ABC的中位线， PE-1BC-6. 2 PE∥BC ∠C=90° .∠AEP=∠C=90°， 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BO=PO2-PE2=3 如图，当点2在EC之间时，过点P作PG⊥BC于点G,过点N作NH⊥BC的延长线于点H,连接CN, 令NP交BC于点K, E B(H)K G M 则∠PGC=∠PEC=∠C=90°， .四边形PECG为矩形， .PG=CE=8,∠EPG=90°，CG=PE=6, ,四边形PNMQ为矩形， :∠NPO=90°.PN=2P0=6N5 :.∠NP2-∠GP9=∠EPG-∠GPQ. ∠KPG=∠QPE. ·∠KGP=∠QEP=90°， .△KGP∽aQEP」 KG KP PG 8 ..EO PO PE 6' KG KP 8 .3356 :KP=45KG=4 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NK PN-KP=25 .NH⊥BC, ∴.∠NHK=∠PGK=90°. ∠NKH=∠PKG, ∴.△NKH∽aPKG. HK NH NK 25 1 .KG PG PK 45 2, HK NH 1 .4=82 .HK=2,NH=4, ∴.HK+KG+CG=2+4+6=12=BC, ∴点H和点B重合， CN-BN+BC2+12=410 如图，当点Q在AE之间时，过点N作NG⊥PE于点G, A Ec ∠NP9=90°， .∠GPN+∠EPg=90°， :∠NGP=90°， .∠GPW+∠GNP=90°， .∠EPg=∠GNP、 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠NGP=∠PEQ=90°， ..APEOANGP NG PG PN :PE EO PO' ..PN=2PO. PG=2E0=6,NG=2PE=12, :点N到AC的水平距离为PG-PE=0,即点N在AC的延长线上， .CNW=WG-EC=12-8=4: 综上所述，C 的长为4或4i0 .12分 15/15………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 2．在中，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（    ） A．米 B．25米 C．米 D．米 4．如图，边长为1的正方形网格中，与交于P点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 6．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 7．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 8．某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．10个 C．9个 D．8个 9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知矩形，点是边的中点，，与相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，P是一边上的点，点P的坐标为，则__________． 12．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 13．如图，是的高，，，，则的长为__________． 14．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 15．如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 16．已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 19．图1、图2是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，在线段上确定一点，连接，使得； (2)在图2中，确定线段上一点，使得，连接，请直接写出线段的长． 20．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 21．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 22．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 23．如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 24．【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 25．如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段，以线段、为邻边作矩形． (1)线段的长为___________； (2)当点为边的中点时，求矩形的面积： (3)当时，求点到直线的距离； (4)当时，直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $