第五章 三角函数（单元测试·能力提升卷）高一数学人教A版必修第一册
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内容正文：
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………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
此卷只装订不密封
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………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测
第五章 三角函数函数·能力提升卷
建议用时：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点B位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，则蚂蚁爬行的最短路程（ ）
A． B． C．5 D．
3．（26-27高三上·江西·阶段检测）若为第二象限角，且角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）下列命题不正确的是（ ）
A．
B．若一扇形的圆心角为，半径为cm，则扇形面积为cm2
C．设是第一象限角，则为第一或第三象限角
D．不等式的解集为
5.（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数的相邻两个零点为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27高三上·江苏·期中）已知中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）（ ）
A． B． C． D．
8．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（26-27高三上·安徽·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．若是第四象限角，则
B．若角的终边过点，则
C．
D．
10．（26-27高三上·江苏·期中）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．对任意，都有
D．的最大值为
11．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为直线
C．函数的一个对称中心为
D．向左平移个单位长度得到的函数为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且为第二象限角，则的值为______．
13．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）若函数是奇函数，则______．
14．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）若，则＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）已知
(1)化简；
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值.
16．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知 ， 均为锐角，且 ， ．
(1)求和的值；
(2)求的值;
(3)求的值.
17．（26-27高三上·江苏·学业考试真题）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若关于的方程在上有解，求实数k的取值范围．
18．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）设函数的最小正周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
(3)若，，求的值．
19．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，．
(1)求的最小正周期和值域；
(2)若在上的最大值为，求的最小值；
(3)若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围．
试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）
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2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测
第五章 三角函数函数·能力提升卷
建议用时：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，即，
由于，可知，得 ，
所以 .
2．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点B位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，则蚂蚁爬行的最短路程（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【详解】因为圆的周长为，圆的半径，即，解得，
所以圆的半径为；
因为，所以，即圆的半径为；
将圆台补为顶点为的圆锥，如图所示，
由题可知母线，
因为，所以，即，解得，
则；
上图的侧面展开图，如图所示，
小扇形的半径等于小圆锥的母线长，所以；
大圆锥的底面周长等于侧面展开大扇形的弧长，设大扇形的圆心角为，弧长为，半径为，
则，，
由得，；
蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，蚂蚁爬行的最短路程是侧面展开图中、两点的直线距离；
在中，由余弦定理可得，
，
，
，
综上所述蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，蚂蚁爬行的最短路程为.
3．（26-27高三上·江西·阶段检测）若为第二象限角，且角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为角的终边经过点，所以，解得，
又角为第二象限角，所以，所以，
则，
因为角为第二象限角，所以，
所以，
又，所以.
4．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）下列命题不正确的是（ ）
A．
B．若一扇形的圆心角为，半径为cm，则扇形面积为cm2
C．设是第一象限角，则为第一或第三象限角
D．不等式的解集为
【答案】B
【详解】因为，所以，故A正确；
若一扇形的圆心角为，半径为cm，则扇形面积为cm2，故B错误；
若是第一象限角，则，
则，
则为第一或第三象限角，故C正确；
不等式的解集为，故D正确.
5.（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数的相邻两个零点为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由辅助角公式可得：，
其中，所以.
因为是的相邻两个零点，
所以，
化简得：，
由是相邻零点，可得，
整理得：，即，
所以.
已知，故，
所以.
6．（26-27高三上·江苏·期中）已知中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 在中，.
∴ .
代入已知等式，得.
，代入整理得.
由辅助角公式的有界性：对任意实数，恒有，
因此
即.
若，则，
结合三角形内角范围可验证左边无法取非正值，故，
不等式两边均为正数，平方得
.
整理得.
解得.
7．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
.
8．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，
，
代入，得，
整理得，
验证，若，则或，但，，
若，则，代入上式左边为，右边为，矛盾，故，
，两边同时除以得，
设，，在第二象限，，
代入上式：，利用正切和角公式得，
整理得，
，令，则，，，
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（26-27高三上·安徽·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．若是第四象限角，则
B．若角的终边过点，则
C．
D．
【答案】AD
【详解】对于选项A：若是第四象限角，则，故A正确；
对于选项B：若角的终边过点，则，故B错误；
对于选项C：原式，故C错误；
对于选项D：原式，故D正确.
10．（26-27高三上·江苏·期中）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．对任意，都有
D．的最大值为
【答案】BC
【详解】对于A，，
故的最小正周期不是，A错；
对于B，，
所以点是函数图象的一个对称中心，B对；
对于C，由 ，
故，
因为恒成立，
故对任意，都有，C正确，
对于D，因为，
即为的一个周期，考虑区间，
令，
可得，解得或，
所以在，单调递增，
由可得，解得，
所以，函数在单调递减，
此时区间上，，
所以的最大值为错误，D错误.
11．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为直线
C．函数的一个对称中心为
D．向左平移个单位长度得到的函数为偶函数
【答案】AD
【详解】对于，
由图可知，，
，，
由于，即.
所以，则，所以.
将图象上的所有点向右平移个单位得到函数.
对于选项A，的最小正周期为，故A正确；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，点的纵坐标是，所以不是的对称中心，故C错误；
对于选项D，再向左平移个单位得到，
则，所以函数为偶函数，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且为第二象限角，则的值为______．
【答案】
【详解】因为为第二象限角，所以.
将所求分式的分子、分母同时除以，得.
将代入上式：原式.
13．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）若函数是奇函数，则______．
【答案】/
【详解】因为是上的奇函数，故，得.
又，则.
所以.
14．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）若，则＝________．
【答案】
【详解】由题设，则，
两式相加得，可得，
由，则，故，
代入，则，
所以，
则，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）已知
(1)化简；
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
（2）由可得，即，
由于 是第三象限角，故，
因此
（3）当时，
16．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知 ， 均为锐角，且 ， ．
(1)求和的值；
(2)求的值;
(3)求的值.
【答案】(1)，．
(2)1
(3)．
【详解】（1）依题意可得，，则，
又 ，所以,则，
所以，
又，所以．
（2） ，
（3），，则，
结合，所以．
17．（26-27高三上·江苏·学业考试真题）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若关于的方程在上有解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，
所以，即，
所以，
又，
所以此时为奇函数，符合题意；
（2）易知函数在上单调递增，
由，得，
得，
得，
由题意在上有解，
当时，，所以，
所以，则
故的范围为
18.（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）设函数的最小正周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
(3)若，，求的值．
【答案】(1)（）
(2)最大值为，最小值为
(3)
【详解】（1） ，
已知最小正周期，，由周期公式，解得，
故.
因为的单调递增区间为，令，则 ，
解得，即的单调递增区间为.
（2）当，则，令，在单调递增，在单调递减，
当，即时，有，
当，即时，有.
（3） 由，得， 已知，则， 由同角三角函数平方关系得： ，
将配凑为，则，
由两角差的余弦公式：
.
19．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，．
(1)求的最小正周期和值域；
(2)若在上的最大值为，求的最小值；
(3)若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为，值域为
(2)
(3)
【详解】（1）
．
当，，即，时，
，则．
当，，即，时，
，则．
故
可得的最小正周期为，值域为
（2）（方法一）由的图象可知，若，则在上的最大值为2，不符合题意．
若，则在上的最大值为或，
若在上的最大值为，则，得，
则由的图象可得，，且，得．
若在上的最大值为，则，得，
则由的图象可得，，，且，，得
，．
因为，所以的最小值为．
（方法二）由，得．
因为，所以，．
又在上的最大值为，所以的最小值满足，
解得的最小值为．
（3）由，可得，得，
则或，，
解得或，．
结合的图象可知，当，时，在上的图象与直线的交点个数为0，不符合条件；
当，时，在上的图象与直线的交点个数为奇数，符合条件；
当，时，在上的图象与直线的交点个数为偶数，不符合条件．
综上所述，的取值范围为．
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第五章 三角函数函数·能力提升卷
建议用时：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点B位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，则蚂蚁爬行的最短路程（ ）
A． B． C．5 D．
3．（26-27高三上·江西·阶段检测）若为第二象限角，且角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）下列命题不正确的是（ ）
A．
B．若一扇形的圆心角为，半径为cm，则扇形面积为cm2
C．设是第一象限角，则为第一或第三象限角
D．不等式的解集为
5.（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数的相邻两个零点为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27高三上·江苏·期中）已知中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）（ ）
A． B． C． D．
8．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（26-27高三上·安徽·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．若是第四象限角，则
B．若角的终边过点，则
C．
D．
10．（26-27高三上·江苏·期中）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．对任意，都有
D．的最大值为
11．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为直线
C．函数的一个对称中心为
D．向左平移个单位长度得到的函数为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且为第二象限角，则的值为______．
13．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）若函数是奇函数，则______．
14．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）若，则＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）已知
(1)化简；
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值.
16．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知 ， 均为锐角，且 ， ．
(1)求和的值；
(2)求的值;
(3)求的值.
17．（26-27高三上·江苏·学业考试真题）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若关于的方程在上有解，求实数k的取值范围．
18．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）设函数的最小正周期为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
(3)若，，求的值．
19．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，．
(1)求的最小正周期和值域；
(2)若在上的最大值为，求的最小值；
(3)若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围．
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2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测
第五章 三角函数函数·能力提升卷（参考答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
D
B
C
C
C
A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9
10
11
AD
BC
AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．1/ 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），（4分）
（2）由可得，即， （6分）
由于 是第三象限角，故， （8分）
因此 （9分）
（3）当时， （13分）
16．【答案】(1)，．
(2)1
(3)．
【详解】（1）依题意可得，，则， （1分）
又 ，所以,则， （2分）
所以， （4分）
又，所以． （6分）
（2） ， （10分）
（3），，则， （12分）
结合，所以． （15分）
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，
所以，即， （2分）
所以， （3分）
又，
所以此时为奇函数，符合题意； （6分）
（2）易知函数在上单调递增，
由，得，
得， （9分）
得， （10分）
由题意在上有解， （11分）
当时，，所以， （12分）
所以，则
故的范围为 （15分）
18.【答案】(1)（）
(2)最大值为，最小值为
(3)
【详解】（1） ，（2分）
已知最小正周期，，由周期公式，解得， （3分）
故.
因为的单调递增区间为， （4分）
令，则 ，
解得，即的单调递增区间为.（6分）
（2）
当，则，
（3）
令，在单调递增，在单调递减， （8分）
当，即时，有， （9分）
当，即时，有. （11分）
（3）
由，得， 已知，则，
由同角三角函数平方关系得： ，
将配凑为，则， （13分）
由两角差的余弦公式：
（17分）.
19．【答案】(1)最小正周期为，值域为
(2)
(3)
【详解】（1）
． （2分）
当，，即，时，
，则．
当，，即，时，
，则．
故
可得的最小正周期为，值域为 （5分）
（2）（方法一）由的图象可知，若，则在上的最大值为2，不符合题意．
若，则在上的最大值为或，
若在上的最大值为，则，得，
则由的图象可得，，且，得．
若在上的最大值为，则，得，
则由的图象可得，，，且，，得
，．
因为，所以的最小值为． （11分）
（方法二）由，得．
因为，所以，．
又在上的最大值为，所以的最小值满足，
解得的最小值为． （11分）
（3）由，可得，得， （12分）
则或，，
解得或，． （14分）
结合的图象可知，当，时，在上的图象与直线的交点个数为0，不符合条件；
当，时，在上的图象与直线的交点个数为奇数，符合条件；
当，时，在上的图象与直线的交点个数为偶数，不符合条件．
综上所述，的取值范围为． （17分）
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