第五章 三角函数（单元测试-培优卷）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，当时，可得，原函数转化为，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，；当时，； 当时，,因此在上的最大值为1，最小值为0， 故原函数的值域为 3．已知函数，若为偶函数，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 若是偶函数，则图象关于y轴对称，当时，函数取最值， 则有，解得. 选项A ：，选项B ：， 选项C：，选项 D：. 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，得 . ； . 分子分母同除以 ，得 5．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为． 6．已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解得. 因为，所以， 在区间内恰有两个零点， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 7．如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图中相邻最高点A、B的横坐标距离确定周期，结合点确定，再利用正弦函数的单调区间求的递增区间． 【详解】A、B是相邻最高点，故函数周期为从而 由点在图象上，得 又，所以． 因此． 因为系数，当时，正弦函数单调递增． 解得 故A符合. 8．已知，且，则的最小值为（     ）． A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【详解】，； ，，. ； 当且仅当时，得，即，时等号成立； 的最小值为8. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列关于该函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．图象关于点对称 D．最大值为1 【答案】ACD 【详解】由解析式知，A正确； 当时，，则在上单调递增，在上单调递减，B错误； 由时，，C正确； 令，则的最大值为1，D正确. 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间上单调递增 D．若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据图象最值判断的取值，根据与轴的交点计算的值，由最低点代入计算，根据函数解析式及正弦函数的性质可判断选项BCD． 【详解】由最低点可知，．因为图象过点，所以，得． 因为，所以． 由最低点可知，， 取，得，所以．所以． 对于A，，故A错误． 对于B，当时，，所以的图象关于点中心对称，故B正确． 对于C，当时，，因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确． 对于D，的最大值为2，最小值为-2，若，只有或，所以，相隔整数（0除外）个周期，又的最小正周期， 所以的最小值为一个周期，故D正确． 11．已知函数的最小正周期为，在上的图象与直线从左到右交于，两点，与直线从左到右交于，两点，且四边形的面积小于，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由最小正周期得．令，把转化为，分别求出图象与两条水平直线的交点横坐标．四边形为梯形，再由面积条件求的范围，并检验选项． 【详解】函数的最小正周期为． 当时，令，则． 当时，在上述范围内或，所以 当时，在上述范围内或． 又因为从左到右依次为，所以 于是，且，，两平行线间的距离为． 因此 由得． 四个选项中，与满足条件，因此C、D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角α的终边过点则=_______ 【答案】 【分析】根据三角函数定义求出，利用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以. 13．已知函数（）的相邻两个对称中心间的距离为，则___ 【答案】 【分析】先求出的周期，然后求解出，最后计算. 【详解】设函数的周期为. 由题意可知，，，. ，. 14．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得. 因为为偶函数，所以，可得. 因为，所以当时，即得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知． (1)若，是第三象限角，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再通过已知条件求出，结合所在象限求出，代入求值； （2）利用诱导公式化简求值． 【详解】（1）． 因为，所以． 因为是第三象限角，所以． ． （2）． 16．已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用和角公式与降幂公式将函数解析式化成正弦型函数，再由周期公式计算； （2）将看成整体角，借助于正弦函数的图象性质即可求得. 【详解】（1）由 则该函数的最小正周期. （2）由，可得，则 ， 则 ，即， 故在上的取值范围为. 17．已知函数图象的两条相邻对称轴的距离，且的图象关于点中心对称． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有个零点，，，求的取值范围及的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用对称轴求的范围，利用中心对称求表达式，从而确定值； （2）先求出并换元，数形结合求出的范围，利用对称性求和。 【详解】（1）因为两条相邻对称轴的距离，所以，所以． 因为的图象关于点中心对称， 所以，得． 又，所以． 所以． （2）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 所以． 当时，，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以当时，曲线与直线在内有3个交点，即函数在内有3个零点． 因为有3个实数根，且，关于直线对称，，关于直线对称，所以，， 所以， 即，得． 综上，的取值范围是，的值为． 18．在“双碳”目标的推动下，某大型工业园区积极推进绿色生产与智能电网调度．已知该园区月份）的电力消耗量（单位：万千瓦时）满足函数关系式，且该园区7月份的电力消耗量为30万千瓦时，1月份的为10万千瓦时．已知该园区电力消耗量以一年为一个周期，且6月份和8月份的电力消耗量恰好相同． (1)求的解析式； (2)将电力消耗量不低于25万千瓦时的月份称为“用电高峰月”，求一年内该园区一共有多少个“用电高峰月”； (3)为应对电路负荷激增引发的电气故障，该园区每年会在电力消耗量不低于万千瓦时的月份启动消防应急预案，若该应急预案每年仅在3个月内启动，求的取值范围． 【答案】(1)（）； (2)个； (3). 【分析】（1）利用的周期和对称性求参数，结合最值点建立方程组求解解析式； （2）将实际条件转化为三角函数不等式，结合变量取值范围求解； （3）利用函数图象的对称性，结合临界值确定恰好满足条件的参数范围. 【详解】（1）由题意可知，周期，故， 因为，所以是函数的一条对称轴，此时函数取得最大值， 故； 又与相差半个周期，所以时取得最小值， ； 联立解得，. 此时，得， 所以，即， 因为，得， 故（）； （2）由题意令，即， 化简得， 所以， 解得， 因为， 当时，，即，共个月， 所以一年内共有个“用电高峰月”. （3）要使恰有个整数解，结合函数对称性，这个解必为， 计算得： ， ， ， 因此需满足且， 即， 所以的取值范围是. 19．已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数的标准形式,根据给定区间确定化简后中角的取值范围，结合正弦函数的单调性求值域. (2)先写出的表达式，求出其单调递增区间的通式，因为区间是单调递增区间的子集，所以列出关于的不等式组，结合求解. (3)先将问题转化为在上的最大值小于在上的最小值，再利用同角三角函数的平方关系将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求最大值，进而求解的范围. 【详解】（1） 当时，, 由正弦函数性质，上的取值范围是， 因此： 即在该区间的值域为 （2），正弦函数的单调递增区间为： . 解得. 已知在上单调递增，因此该区间必须是上述某个递增区间的子区间， 令区间为某一单调递增区间的子集， 所以，解得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 所以， 因为，所以. （3）题意等价于：对任意恒成立， 即在上的最大值小于在上的最小值， 由(1)知的最小值为，因此只需对所有恒成立. 对换元：令，当时，，且，代入得： , 即二次函数，开口向下，对称轴为，其在上的最大值需小于： 当时，在上单调递减，最大值为，解得，结合前提得； 当时，在对称轴处取最大值，该不等式恒成立，即； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，结合前提得. 综上的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 2．函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若为偶函数，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 5．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值为（     ）． A．2 B．4 C．8 D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列关于该函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．图象关于点对称 D．最大值为1 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间上单调递增 D．若，且，则的最小值为 11．已知函数的最小正周期为，在上的图象与直线从左到右交于，两点，与直线从左到右交于，两点，且四边形的面积小于，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角α的终边过点则=_______ 13．已知函数（）的相邻两个对称中心间的距离为，则___ 14．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知． (1)若，是第三象限角，求的值； (2)若，求的值． 16．已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的取值范围． 17．已知函数图象的两条相邻对称轴的距离，且的图象关于点中心对称． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有个零点，，，求的取值范围及的值． 18．在“双碳”目标的推动下，某大型工业园区积极推进绿色生产与智能电网调度．已知该园区月份）的电力消耗量（单位：万千瓦时）满足函数关系式，且该园区7月份的电力消耗量为30万千瓦时，1月份的为10万千瓦时．已知该园区电力消耗量以一年为一个周期，且6月份和8月份的电力消耗量恰好相同． (1)求的解析式； (2)将电力消耗量不低于25万千瓦时的月份称为“用电高峰月”，求一年内该园区一共有多少个“用电高峰月”； (3)为应对电路负荷激增引发的电气故障，该园区每年会在电力消耗量不低于万千瓦时的月份启动消防应急预案，若该应急预案每年仅在3个月内启动，求的取值范围． 19．已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第五章 三角函数（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 2．函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若为偶函数，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 5．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值为（     ）． A．2 B．4 C．8 D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列关于该函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．图象关于点对称 D．最大值为1 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间上单调递增 D．若，且，则的最小值为 11．已知函数的最小正周期为，在上的图象与直线从左到右交于，两点，与直线从左到右交于，两点，且四边形的面积小于，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角α的终边过点则=_______ 13．已知函数（）的相邻两个对称中心间的距离为，则___ 14．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知． (1)若，是第三象限角，求的值； (2)若，求的值． 16．已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的取值范围． 17．已知函数图象的两条相邻对称轴的距离，且的图象关于点中心对称． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有个零点，，，求的取值范围及的值． 18．在“双碳”目标的推动下，某大型工业园区积极推进绿色生产与智能电网调度．已知该园区月份）的电力消耗量（单位：万千瓦时）满足函数关系式，且该园区7月份的电力消耗量为30万千瓦时，1月份的为10万千瓦时．已知该园区电力消耗量以一年为一个周期，且6月份和8月份的电力消耗量恰好相同． (1)求的解析式； (2)将电力消耗量不低于25万千瓦时的月份称为“用电高峰月”，求一年内该园区一共有多少个“用电高峰月”； (3)为应对电路负荷激增引发的电气故障，该园区每年会在电力消耗量不低于万千瓦时的月份启动消防应急预案，若该应急预案每年仅在3个月内启动，求的取值范围． 19．已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（冲刺卷） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C A C B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）．-----------------------4分 因为，所以．-----------------------8分 因为是第三象限角，所以． ．-----------------------10分 （2）．----------------------13分 16．(15分) 【详解】（1）由 则该函数的最小正周期.----------------------9分 （2）由，可得，则 ， 则 ，即， 故在上的取值范围为.-----------------------15分 17．(15分) 【详解】（1）因为两条相邻对称轴的距离，所以，所以． 因为的图象关于点中心对称， 所以，得． 又，所以． 所以．-----------------------5分 （2）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 所以．-----------------------8分 当时，，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以当时，曲线与直线在内有3个交点，即函数在内有3个零点．-----------------------12分 因为有3个实数根，且，关于直线对称，，关于直线对称，所以，， 所以， 即，得． 综上，的取值范围是，的值为．-----------------------15分 18．(17分) 【详解】（1）由题意可知，周期，故， 因为，所以是函数的一条对称轴，此时函数取得最大值， 故； 又与相差半个周期，所以时取得最小值， ； 联立解得，.-----------------------3分 此时，得， 所以，即， 因为，得， 故（）；----------------------6分 （2）由题意令，即， 化简得， 所以， 解得， 因为， 当时，，即，共个月， 所以一年内共有个“用电高峰月”.-----------------------12分 （3）要使恰有个整数解，结合函数对称性，这个解必为， 计算得： ， ， ， 因此需满足且， 即， 所以的取值范围是.-----------------------17分 19．(17分) 【详解】（1） 当时，, 由正弦函数性质，上的取值范围是， 因此： 即在该区间的值域为-----------------------5分 （2），正弦函数的单调递增区间为： . 解得. 已知在上单调递增，因此该区间必须是上述某个递增区间的子区间， 令区间为某一单调递增区间的子集， 所以，解得，----------------------8分 因为，所以，解得， 因为，所以， 所以， 因为，所以.-----------------------11分 （3）题意等价于：对任意恒成立， 即在上的最大值小于在上的最小值， 由(1)知的最小值为，因此只需对所有恒成立. 对换元：令，当时，，且，代入得： ,-----------------------14分 即二次函数，开口向下，对称轴为，其在上的最大值需小于： 当时，在上单调递减，最大值为，解得，结合前提得； 当时，在对称轴处取最大值，该不等式恒成立，即； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，结合前提得. 综上的取值范围为.-----------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $