精品解析：吉林四平市实验中学2026-2027学年上学期期中高二数学试卷

高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 经过、两点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线（斜率不为）交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线，的方向向量分别为，，若，则 D. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 11. 在直三棱柱中，是的中点，，，，为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离是 D. 线段的长的最大值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则______ 13. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 14. 如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线的方程为，若在轴上的截距为2，且. （1）求直线与的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程. 16. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同的A，B两点，与x轴交于点D，证明：为定值． 18. 已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． （1）求此圆的标准方程； （2）若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 19. 如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. （1）求的长； （2）若平面，请确定点的位置； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 经过、两点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则，且，故. 故选：B. 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线（斜率不为）交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准形式求出长半轴长a，再利用椭圆的定义计算△ABF₂的周长. 【详解】将两边同除以225，可得，由此得，即. 对椭圆上的点，有，. 的周长，其中， 代入得： . 故选：A. 4. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法法则结合题意直接求解即可. 【详解】因为直三棱柱中，若， 所以， 故选：B． 5. 与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由题得所求直线的斜率为， ∴所求直线方程为， 整理为． 故选：A 【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）. 6. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 7. 下列说法正确的是（ ） A. 两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线，的方向向量分别为，，若，则 D. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系与对应方向向量、法向量的数量关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】对于选项A，，，可得，即与共线，因此，故A错误. 对于选项B，，即，因此，故B错误. 对于选项C，由可得，则，解得，故C错误. 对于选项D，，即，因此，故D正确. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接， 在中，因为是的中点， 所以，平方得， 将代入可得， 因为，所以， 所以， 在，， 所以， 当且仅当即时，取等号, 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量的模长公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线系方程求出直线所过定点判定A与D；由两直线平行直与系数的关系列式求得值判断B；由两直线垂直与系数的关系列式求得值判断C． 【详解】对于A，， 由解得，所以始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B错误； 对于C，若，则有，得或2，故C正确； 对于D，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ACD． 11. 在直三棱柱中，是的中点，，，，为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离是 D. 线段的长的最大值是2 【答案】CD 【解析】 【分析】先以为原点建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，求出平面的一个法向量的坐标，对于A，求出的坐标，计算即可判断对错；对于B，分别求出与的坐标，利用向量的夹角即可求出两直线的夹角；对于C，求出的坐标，利用点面距的向量公式即可求解；对于D，根据点的位置，设出点的坐标，求出的坐标，利用平面，将线段的长度表示为关于的函数，即可求解最大值. 【详解】在直三棱柱中，， 所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 所以，，， ，，， ， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 对于A，因为， 因为， 所以与平面不平行，故A错误； 对于B，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，， 所以点到平面的距离为： ，故C正确； 对于D，因为为侧面（含边界）上一点， 所以设，，， 则， 因为平面，且平面， 则，即， 得， 则，即， 则线段的长为 对于函数，， 开口向上，对称轴为直线， 所以当时， ， 当时， ， 所以线段的长的最大值是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 13. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 14. 如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，,则，，根据直线斜率的坐标公式，可分别求得直线的斜率，又，所以，从而，再根据点在椭圆上化简即可. 【详解】设，,则，， 所以，， 因为，所以，所以，即. 又， 所以，即，解得，即椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线的方程为，若在轴上的截距为2，且. （1）求直线与的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 直线的方程为，所以直线的斜率， 因为，所以直线的斜率， 在轴上的截距为2，所以直线过点， 所以直线的方程为，即， 联立直线与直线的方程：，解得， 所以直线与的交点坐标为； 【小问2详解】 直线经过与的交点， 由题意可知直线的斜率存在，且不为0， 所以设直线的方程为， 令，得， 令，得， 所以，解得或， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 16. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同的A，B两点，与x轴交于点D，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）由消去得，设， ，则，，而， 因此 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）求出而得椭圆C的方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理计算得证. 【小问1详解】 由椭圆C：过点，得，而椭圆的半焦距，则， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． （1）求此圆的标准方程； （2）若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，设圆心坐标，列圆的标准方程，代入，即可求出的值，从而得到圆的标准方程. （2）求得直线恒过定点，取BC中点为，则，可得点D的轨迹方程，可求得的取值范围，进而可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可设此圆的方程为， 把点坐标代入得，则， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 直线l方程为，即， 则有，可得定点， 取线段BC中点为，则，令原点为O，， 即，化简可得， 即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆， A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为， 所以的取值范围为． 19. 如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. （1）求的长； （2）若平面，请确定点的位置； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】（1）2； （2）点的位置为靠近的4等分点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据台体体积公式得到方程，求出； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出平面的法向量，根据得到方程，求出答案； （3）求出平面的法向量，在（2）基础上，设出面面角，利用向量夹角余弦公式得到，结合自变量取值范围，求出最大值. 【小问1详解】 底面是边长为2的正方形，， 故底面是边长为1的正方形， 所以底面的面积为，底面的面积为， 底面，故为棱台的高， 故棱台的体积为，解得； 【小问2详解】 因为底面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知， 则， 设，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以， 因为平面，所以， 解得，此时，点的位置为靠近的4等分点； 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 由（2）知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 令， 则， 因为，故当，即时，取得最大值， 最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $