吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分， 1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B 7.B 8.A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.ABD 10.AB 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12.g 13. 4V5 3 14.9 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(8分) 【解答】(1)（方法一）由圆心C在直线y=-2x上，可设C(a,-2a). 由|CAHCB|,有Va2+(2a-3)2=V(a-2)2+(2a-1)2,解得a=1. 故圆心C的坐标为L,-2),圆C的半径rCA=√2， 所以，圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (方法二)由圆C经过A,B两点可知，圆心C在线段AB的垂直平分线上. AB中点的坐标为(L,-2),直线AB的斜率为1， 故线段AB垂直平分线的方程为y+2=-(x-1),即x+y+1=0. 联立两条直线的方程，得 x+y+1=0,解得=1 ,即C1,-2). y=-2x y=-2 圆C的半径rCA=√2，故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)记图心C到直线1的距离为d,则由y-万，1N-2,有d-2-(-1. 当l与x轴垂直时，1的方程为x=0,此时d=1,符合题意. 当l不与x轴垂直时，设1的斜率为k,则1的方程为y=c+2. 由d-1,有k+4,解得k=号，即1的方程为 Vk2+1 8t+2. 综上，直线1的方程为x=0或15x+8y-16=0. 16.(10分) 【解答】(1)如图，记AB=M,AD=b,AA'=c,则 a曰b=1,|c=2,a.b=0,ac=bc=1. BD'=AD'-AB=b+c-a, BD=a2+b+c2+2(-a.b-ac+b.9=6,故BD=√6. (2)B'C=b-c,B'C-b+c2-2b.c=3,B'C=√3. D' BD'.B'C=(b+c-a).(b-c)=b2-c2-a.b+a.c=-2. A 设直线BD与B'C所成角为O,则 C0s0cos(BD BC)BD.BC 2 √ IBDIB'C6.33 所以，直线8D与BC所成角的余弦值为 3 17.(12分) 【解答】(1)用数字m表示第一次摸出小球的标号，数字n表示第二次摸出小球的标号， 则数组(m,表示试验的一个样本点，试验的样本空间为 2={(m,m)lm,n∈1,2,3,4,5,6}}. 由题意，2中共有36个样本点，且各样本点出现是等可能的，此试验为古典概型. A={1,1),1,2),1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1), (3,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}, B={1,1),1,3),1,5),(2,2)(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}, AB={1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),1,3),(3,1)}. 故有n(A)=14,n(B)=18,n(AB)=8. 从血，0-图6g到图8图0号 n(2)369 7 因为P(A)·P(B)=≠P(AB),所以事件A与B不独立. 36 1/4 (2)由(1)可知，方案1下的中奖概率为P(A0=乙 8 设方案2下的中奖为事件C,则根据方案2的中奖规则，有 C={(4,6),(5,5),(6,4),(6,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5) (2,5),(4,5),(1,6),(3,6)}. mC=14,pc)=n9-14-7, 7 即方案2下的中奖概率为 n(2)3618 18 所以，两种兑奖方案的中奖概率相等 18.（13分) 【解答】(1)由己知，PA2+AD=4=PD,故PA⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PAS平面PAD, 所以，PA⊥平面ABCD (2)(i)取BC中点E,连接AE,由己知易得，四边形AECD是边长为1的正方形 M 1 由(1)，AE,AD,AP两两垂直，据此，以A为原点，AE,AD,AP所在的直线为x 轴、y轴、二轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 4aa9.00cm1,aLo,sn-10,时5。 反a00,而-o1-6.ac=a10.4w=分分9. 2) 设平面PCD的法向量为m=(:,,三)，则 mm-0'即{-5：-0取%=5，则5=0，：=1. mDc=0,即5=0 所以，m=(0,V3,1)是平面PCD的一个法向量. 设平面ACM的法向量为n=(x,为2，=2)，则 m:4c=0,即5+y=0。 n4-0’{%+5=0取5=5，则⅓=5，与=-2. 所以，n=(5,-V3,-2)是平面ACM的一个法向量. 设平面ACM与平面PCD的夹角为6，则cos0cos(mDF|m.m-,5=0 |m‖lnl2.√104 所以，平面4CM与平面PCD夹角的余弦值为 4 8》方法)白2，四=(9.历=(120. 2 设平面ax的法向量为p=(x,y,=),则由BD∥a,CMca,有 PB0,即+2y=0。 nCM-0'{x-3y+V5e=0取y=5,则x=2W5,:=5. 所以，卫=(23，V√3,5)是平面x的一个法向量. 由点L在棱PA上，设AL=AP=(0,0,√3)(0≤1≤1)，则 CZ=AL-AC=(-1,-1,V3). 因为CLca,故p.C⑦=0，即-25-V5+55=0,解得元=3 所以，亚-亚-0.035. 5 因为BD∥a,BDs平面PBD,∩平面PBD=N,故BD∥MN. 又因治在APBD,M为阳丰点，故N为PD中点，N@分9。 所。及=-孤-Q分得从新 (方法二)因为BD∥a,BDS平面PBD,a∩平面PBD=MN,故BD∥MN. 又因为在△PBD中，M为PB中点，故N为PD中点. 11 - M K队 二二 D B二二 如图，取PD中点N,连接MN.记AC与BD的交点为O,连接PO交MN于2， 连接CQ并延长交PA于一点，由CQ≤可知此点即为L. 在平面ABCD中，由AD∥BC,有 OA AD 1 OC-BC-2 在△PBD中，由MN为中位线，有PQ=OQ. 在△PAC中，过O作OK∥CL交PA于K,则AK:KL:LP=1:2:2, 所以，4L:ZP=3:2,从而PZ=2PA=25 5 5 在△PZN中，PL=2 5 ,PN=1,∠APD=T,由余弦定理，有 6 7 LN2=Pr+PN2-2PL·PN.cos∠APD= 25 所以，N= 5 19.(15分) 【解答】(1)当m=1时，P点坐标为(1,1). 设过P的圆C的切线斜率为k,则切线方程为y-1=k(x-1). 由圆心C(-1,0)到切线的距离等于半径1，有 2--1,解得k-0或等 V2+1 3 故两条切线的方程分别为y=1,4x-3y-1=0. 不纺设PA的方程为y=1,PB的方程为4x-3y-1=0,则B(0,),F0,-3. △a5的言积5-E比-号 (2)(方法一)由题意PA⊥AC,PB⊥BC, 故A,B均在以PC为直径的圆上（记作圆⊙），如图中虚线所示. 所以，线段AB为圆o与圆C的公共弦， A D 2u2-m,CL0,得圆o圆心为0,2%，半径r=m+旷+2-m 所以.圆0的方程为x"2+02-少0m,整到： 4 x2+y2+(1-m)x+(-2)y-m=0. 将圆o的方程与圆C的方程(x+1)2+y2=1作差，可得直线AB的方程为 (1+m)x+(2-m)y+m=0. 将直线AB的方程化为(x-y+1)+x+2y=0, 令x-y+1=0 2。,得子片高以京线扣过点（号月 /4 (方法二)设A(5,),B(:,),则直线4C的斜率kc=片(4C不垂直x轴时)， 5+1 由PALAC,直线PA的方程为y-乃=-5+ 二(x-x),整理得， (:+1)x+乃y-x-片-=0. 当AC垂直x轴时，上述方程依然成立. 由A(:,乃)在圆C上，有x++2x=0,将-X-=2x代入上式得， (+1)x+乃y+=0,即(x+1(x+1)+y=1. 所以，直线PA的方程为(+1)(x+1)+y=1, 同理，直线PB的方程为(x+1)(x+1)+y=1. 由于点P(m,2-m为直线PA与PB的交点，故有 (x+1)(m+1)+(2-m)=1,(x+1)(+1)+,(2-m=1. 根据上述两式，A,B两点的坐标均满足二元一次方程(x+1)(m+1)+y(2-m=1, 所以，直线AB的方程即为(x+1)(m+1)+y(2-m)=1. 由此，易得直线AB恒过点（ 21 )(步骤同方法一) (3)因为切线PA,PB关于直线PC对称，所以∠APC=∠BPC. 在△PEF的外接圆中，由∠APQ=∠BPQ得QE=QF,故Q在EF的垂直平分线上. 所以，Q为EF的垂直平分线与直线PC的交点. 设过P的圆C的切线斜率为k,则切线方程为y-(2-m)=k(x-m)· 由圆心C1,0到切线的距离等于半径1，有2-m-+m-1,整理得， k2+1 (m+1)k2-2(m+1)(2-mk+m2-4m+3=0. 设直线PA,PB的斜率分别为k,k,则k,k为上述关于k的二次方程的两根. 由韦达定理，片+么=20m+02-m m(m+2) 在直线PA,PB的方程中分别令x=0,可得E(0,2-m-km),F(0,2--km). 所以，EF的垂直平分线方程为y=+2=2-m-医+店)m_2-m 2+m 由Pm2-m,C(-10),易得直线PC的方程为y=2"x+D. 2+1 2-m 1 y= (x+1) X=一 联立两条直线方程得 +1 解得 2+,即0(， 1 2-m 2-m P 2- 2+m2+m y= 2+ 2+m 由9点坐标，有4x。+ye=- 4 +2-m=-2-m=-1,即4x2+%+1=0. 2+m2+m2+m 所以，点Q在直线4x+y+1=0上. 2026-2027学年上学期东北师大附中 高二年级期中考试数学试卷 本试卷共3页，19小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．已知空间向量，，若与垂直，则 A．15 B．4 C．1 D． 3．已知直线：与：，若，则实数a的值为 A．或3 B．1或 C． D． 4．如图，在四面体中，，，，，分别在棱，上，且，，则 A． B． C． D． 5．已知直线：与圆：交于、两点，则的最小值为 A． B．1 C． D． 6．柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，现从中随机地取出2只，设事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是同一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件关系，下列说法正确的是 A． B．A与B是独立事件 C．C与D是对立事件 D．A与D是互斥事件 7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知在平面直角坐标系中，，分别是x轴和y轴上的动点，以线段为直径的圆与直线相切，则此圆面积的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B为一个随机试验中的两个事件，，，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若A，B互斥，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B独立，则 10．已知圆：，圆：，则 A．的面积为 B．若，则与内切 C．若与外切，则 D．当时，与相交且公共弦所在直线的方程为 11．在三棱台中底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点，记二面角的大小为，则 A． B．当时，直线与平面所成的角为 C．当时，直线与夹角的余弦值为 D．当时，平面截该三棱台所得截面为等腰梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12．甲、乙两名同学填报高考志愿，已知甲、乙只能在，，三所院校中各选择一所填报，假设两位同学选择各院校是等可能的，且两人的选择互不影响，则甲、乙两人中至少有一人选择院校的概率为_________． 13．在空间直角坐标系中，已知直线过点，直线的一个方向向量为，则点到直线的距离为_________． 14．已知圆：与圆：，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（8分） 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 16．（10分） 如图，在平行六面体中，，、，． （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值． 17．（12分） 某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中装有大小和质地完全相同的6个小球，其中有3个红球（标号为1，2，3），2个黄球（标号为4，5）和1个白球（标号为6），每位抽奖者从箱中有放回地依次随机摸出2个球（摸出一个球并放回后再摸第二个球）． （1）设事件=“摸出的2个球颜色相同”，事件=“摸出的2个球标号之和为偶数”．判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． （2）主办方为抽奖活动制定了以下两种备选的兑奖方案： 方案1：若2个球的颜色相同，则中奖； 方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得分为两球标号之和的一半；否则，得分为2个球标号中较大的数．若得分，则中奖． 试比较上述两种兑奖方案的中奖概率，说明哪种方案的中奖概率更高． 18．（13分） 如图，四棱锥中，平面平面，，．在梯形中，，，，． （1）证明：平面； （2）若为中点． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）过作平面，使得，记与棱，的交点分别为，，求． 19．（15分） 在平面直角坐标系中，过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为和，设直线，分别与轴交于，两点． （1）当时，求的面积； （2）证明：直线恒过定点； （3）设直线与的外接圆交于点（异于），证明：点在定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $