精品解析：广东珠海市紫荆中学2026-2027学年第一学期八年级期中考试数学试卷

珠海市紫荆中学2026-2027学年第一学期初二年级期中考试数学试卷 满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 有两个内角互余 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的周长是，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③两个全等三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，中，，，、的平分线、交于点．过点作，分别交、于点、，则的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 10. 如图，是等腰直角三角形，其中，．点D是边上一点，点F是边上一点，C点和F关于所在直线对称，交于点E，连接；，交的延长线于点G．下面结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称，则的值为___________． 13. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___． 14. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则__________． 15. 如图，在中，，，E为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则_______． 三、解答题（一）（共3题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）已知，，求的值； （2）计算：． 17. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长的最大值． 18. 如图，点在上，已知，求证：． 四、解答题（二）（共3题，每小题9分，共27分） 19. 如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图2，小明的作法是：以点B为圆心，为半径作弧，交于点D，连接．请你帮助小明说明这样作图的理由； （2）请用另一种作法完成作图． 20. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 21. 如图，中，的平分线与的外角的平分线交于点D，过点D作于E，连接． （1）求证：平分； （2）若周长为20，求的长． 五、解答题（三）（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 和是等腰直角三角形，，，． （1）如图，连接，，求证：； （2）如图，在（1）的前提下，连接，延长交于点，若恰为中点，求证：； （3）若点、、在同一条直线上，求的度数． 23. 综合与实践最短路径问题 （1）如1图，点A，B是直线同侧两个定点． ①在直线上作出点P，使的值最小（作图允许使用刻度尺） ②的值最小的依据是________； （2）运用（1）的方法证明法国数学家费马提出的“光行最速原理”．如2图，一束光线从起点A出发经直线上的点C反射后抵达终点B，，；D是直线上不与C重合的一点，求证：； （3）如3图，一块形如的三角形草坪面积为，其中，；在三边，，上分别取点A，B，C，将其顺次连接建造一圈形如的三角形步道（忽略步道的宽度），当步道的总长最小时，求点M到所在直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市紫荆中学2026-2027学年第一学期初二年级期中考试数学试卷 满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此判断即可． 【详解】解：观察图形可知A、B、C都不是轴对称图形，不符合题意； D是轴对称图形，符合题意． 2. 如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【详解】解：初中数学中，三角形按边的相等关系分类，可分为两类：三边都不相等的三角形，和至少有两边相等的等腰三角形；而等边三角形是特殊的等腰三角形，满足三边都相等，属于等腰三角形的子集，对应图里嵌套在等腰三角形内部的Q，因此Q表示等边三角形． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 4. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 有两个内角互余 【答案】A 【解析】 【分析】两个锐角无法确定三角形的形状，可先锁定A选项，再结合三角形内角和定理验证其余选项． 【详解】解：A选项：仅知，为锐角，第三个角可能为锐角、直角或钝角，不能确定是直角三角形，符合题意； B选项：最大内角为，可确定是直角三角形，不符合题意； C选项：由得， ∵， ∴， 即，可确定是直角三角形，不符合题意； D选项：两个内角互余，则这两个角的和为，第三个内角为，可确定是直角三角形，不符合题意． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 6. 的周长是，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据的周长是，，得到，由等腰三角形“三线合一”得到，即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的周长是，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 7. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明． 【详解】解：由作图方法可得， ∴． 8. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③两个全等三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先写出题干中各命题的逆命题，然后分别判断真假即可解答． 【详解】解：①原命题：若，则． ∵当，时，，但， ∴原命题为假命题． 逆命题：若，则． ∵当，时，，但， ∴逆命题为假命题． ②原命题：若，则，是真命题． 逆命题：若，则． ∵时，， ∴逆命题为假命题． ③原命题：两个全等三角形的面积相等，是真命题． 逆命题：面积相等的两个三角形全等． ∵同底等高的三角形面积相等，但不一定全等， ∴逆命题为假命题． 综上，原命题与逆命题均为真命题的个数是0． 9. 如图，中，，，、的平分线、交于点．过点作，分别交、于点、，则的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 的周长为：14， 故选：C． 10. 如图，是等腰直角三角形，其中，．点D是边上一点，点F是边上一点，C点和F关于所在直线对称，交于点E，连接；，交的延长线于点G．下面结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由对称性可得垂直平分，结合等腰直角三角形性质可证为等腰直角三角形；利用同角的余角相等及可证；通过角度计算判断与的关系；在上截取线段构造等腰三角形，利用线段和差关系验证结论④． 【详解】解：∵C点和F关于所在直线对称， ∴垂直平分， ，，，， 是等腰直角三角形，， ， 点在边上， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ①正确； ， ， ，， ， 在和中， ， ， ②正确； 由①可得， ， ， ③错误； 在线段上取一点，使得，连接， ， 为等腰直角三角形，， ， ， 点在上，点在上， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ④正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为点与点关于y轴对称， 所以点与点横坐标互为相反数，纵坐标相同， 所以， 则． 13. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 14. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，E为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分面积，得到，根据角平分线的性质定理以及等高三角形的面积比等于底边比，求出，即可得出结果. 【详解】解：∵在中，E为中点，为的角平分线， ∴为的中线，点到和的距离相等， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴. 三、解答题（一）（共3题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）已知，，求的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先逆用同底数幂的乘法法则，将待求式拆分为已知幂的乘积形式，然后代入数值计算即可； （2）按照幂的相关运算法则逐项化简原式，再合并同类项即可解答． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 17. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）是等边三角形 （2）的周长的最大值为19 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 18. 如图，点在上，已知，求证：． 【答案】 证明：， ， ． ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，得到，即可得证． 【详解】略 四、解答题（二）（共3题，每小题9分，共27分） 19. 如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图2，小明的作法是：以点B为圆心，为半径作弧，交于点D，连接．请你帮助小明说明这样作图的理由； （2）请用另一种作法完成作图． 【答案】（1） 理由如下： ∵ ∴ 由作图可知， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2） 如图所示  或 【解析】 【分析】（1）分别求出，即可得到； （2）可以作的垂直平分线或者的角平分线都可以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，中，的平分线与的外角的平分线交于点D，过点D作于E，连接． （1）求证：平分； （2）若周长为20，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：过点D作于P，于Q， ∵ ，平分，平分， ∴，， ， ∵，， ∴平分． （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、角平分线的性质与判定等知识点，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图：过点D作于P，于Q，由角平分线的性质证明，则由角平分线的判定定理可得证明结论． （2）证明可得，同理、，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得，据此即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，由（1）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：、， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：． 五、解答题（三）（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 和是等腰直角三角形，，，． （1）如图，连接，，求证：； （2）如图，在（1）的前提下，连接，延长交于点，若恰为中点，求证：； （3）若点、、在同一条直线上，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中，， ， ； （2）证明：如下图所示， ， ， 又， ， ， 又点恰为中点， 是的垂直平分线， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； （2）由可得：，根据对顶角相等可知，根据三角形内角和定理可证，又因为点恰为中点，所以是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可证结论成立； （3）根据等腰直角三角形的性质可知，根据可知． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ； 23. 综合与实践最短路径问题 （1）如1图，点A，B是直线同侧两个定点． ①在直线上作出点P，使的值最小（作图允许使用刻度尺） ②的值最小的依据是________； （2）运用（1）的方法证明法国数学家费马提出的“光行最速原理”．如2图，一束光线从起点A出发经直线上的点C反射后抵达终点B，，；D是直线上不与C重合的一点，求证：； （3）如3图，一块形如的三角形草坪面积为，其中，；在三边，，上分别取点A，B，C，将其顺次连接建造一圈形如的三角形步道（忽略步道的宽度），当步道的总长最小时，求点M到所在直线的距离． 【答案】（1）①如图，点P即为所求； ②两点之间线段最短 （2）证明：如图，过点B作，交的延长线于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∴垂直平分， ∴，， ∴，， 两点之间线段最短，故， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①先作点A 关于直线的对称点，连接交直线于点P，点P即为所求；②依据是两点之间线段最短； （2）过点B作，交的延长线于点E，连接，结合反射角条件推导出等角，证明，得到垂直平分，进而得、，再利用两点之间线段最短，由得出； （3）先分别作点A关于、的对称点、，借助轴对称性质把的周长转化为，判定、B、C、四点共线时周长最小，最小值为，再由全等推导角度，得到、、，结合垂线段最短确定时最小，由已知面积及长利用三角形面积公式求出长，求出M到（也就是）的距离． 【小问1详解】 解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接， 由轴对称性质可得垂直平分， ∴， ∴， 两点之间线段最短，故当B、P、在同一直线时，的值最小，因此点P即为所求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接、，作点关于直线的对称点，连接、、，过点M作于点D， 由轴对称性质可得垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， 两点之间线段最短，故当、B、C、在同一直线上时，取得最小值，最小值为，即的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时最小， ∵点M是顶点，点在上， ∴当时，最小， 如图，，最小，此时最小，即步道的总长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点M到所在直线的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $