精品解析：广东省珠海市香洲区石花中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

珠海市石花中学2025－2026学年第一学初二数学期中考试试卷 说明： 1.全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2.答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3.用黑色字迹钢笔或签字笔按各愿要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之差小于第三边 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，的度数是（ ） A. 44° B. 55° C. 66° D. 77° 6. 等腰三角形的一边长，一边长，则第三边的长（ ） A. B. C. 或 D. 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是______． 12. 计算：的结果为______． 13. 上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为________海里． 14. 如图，乐乐与诚诚玩跷跷板游戏，支点是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点至地面的距离是，当乐乐从水平位置上升的高度时（，），诚诚离地面的高度为______． 15. 如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为______． 三、解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 如图，在与中，，，求证：． 17. 如图，已知，点D在边上，且． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的周长． 18. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 四、解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）作关于轴的对称图形； （2）求的面积； （3）点是轴上一个动点，请在图中画出点，使得最小． 20. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 23. 在中，，．点在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； （2）如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． （3）如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市石花中学2025－2026学年第一学初二数学期中考试试卷 说明： 1.全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2.答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3.用黑色字迹钢笔或签字笔按各愿要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之差小于第三边 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性．构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性的特征是解题关键． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 根据三角形的三边关系分别判断即可． 【详解】解：、， ，，能组成三角形，故选项A符合题意； B、， ，，不能组成三角形，故选项B不符合题意； C、， ，，不能组成三角形，故选项C不符合题意； D、， ，，不能组成三角形，故选项D不符合题意． 故选：． 4. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意易知带第③块去最省事是因为第③块碎片包含了这个三角形的两个角及一条边，所以最容易还原原三角形，进而问题可求解． 【详解】解：只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法； 故选：B． 5. 如图所示，的度数是（ ） A. 44° B. 55° C. 66° D. 77° 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】在中， ∴∠CAB=180°-30°-95°=55°， ∵， ∴∠EAD=∠CAB=55°， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应角相等找到角度之间的关系． 6. 等腰三角形的一边长，一边长，则第三边的长（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；关键是根据两边相等，第三边分类讨论； 根据等腰三角形的性质，第三边应为或，分情况进行讨论． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长为和， ∴ 第三边可能为或； 若第三边为，则三边为、、， ∵ ， ∴ 不能构成三角形； 若第三边为，则三边为、、， ∵ ， ∴ 第三边长为； 故答案为：A． 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的中线的性质，得到，，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴． 故选C． 9. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 10. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，重心，中点坐标公式的相关知识点． 根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选B． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法，由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质，可得点P关于y轴对称的点的坐标． 【详解】解：由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质， 可得点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 计算：的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项，关键是熟练应用运算法则进行计算； 先利用同底数幂相乘和幂的乘方法则分别计算两部分，再合并同类项． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 13. 上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为________海里． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定． 根据“路程＝速度×时间”可求得的长，又由，，可得，即可证得，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴海里， 即从海岛B到灯塔C的距离是45海里． 故答案为：45海里． 14. 如图，乐乐与诚诚玩跷跷板游戏，支点是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点至地面的距离是，当乐乐从水平位置上升的高度时（，），诚诚离地面的高度为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时诚诚离地面的高度是． 故答案为：15． 15. 如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为______． 【答案】4或8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， 则； ②当时， 则； 综上，长为4或8， 故答案为：4或8． 三、解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 如图，在与中，，，求证：． 【答案】 证明：在与中，， ， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据直角三角形中斜边直角边判定，由全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 17. 如图，已知，点D在边上，且． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的周长． 【答案】（1） 点即为所求： （2）8 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 18. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）作关于轴的对称图形； （2）求的面积； （3）点是轴上一个动点，请在图中画出点，使得最小． 【答案】（1） 如图，为所作的图形； （2）5 （3） 如图，点P即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）由直角梯形的面积减去旁边的两个直角三角形的面积即可解答； （3）作点C关于y轴的对称点D，连接，则与y轴的交点即为P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ∵点C关于y轴的对称点D， ∴， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，可得此时的值最小． 20. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】（1）①，； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【小问1详解】 解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ② 略 【小问2详解】 解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】 证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，．  是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】 【解析】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】略 【方法应用】略 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 23. 在中，，．点在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； （2）如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． （3）如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 【答案】（1） 证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）①；②2 （3）4；3或6或9或18． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①平分，平分，， ∴，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点； 当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3： ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图4： 设点到三边的距离为， 则由得， ∴， 同理， ， ， 点到直线的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：，则， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，这样的点有4个，点D到直线l的距离是3或6或9或18． 故答案为：4；3或6或9或18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $