第18讲分式方程培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册
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精品
内容正文：
第18讲·分式方程·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册
参考答案与试题解析
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解分式方程的定义，会判断一个方程是否为分式方程
· 掌握解分式方程的基本步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、验根
· 理解增根产生的原因，会求使方程产生增根的字母取值
· 会讨论含参分式方程无解、有整数解、解为正（负）数等情况
· 会列分式方程解决行程、工程、销售等实际问题并检验解的合理性
📚 知识梳理
☆ 1.分式方程的概念与解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程。判断标准只有一条：未知数是否在分母上，在就是分式方程，不在就不是（如 +1=3 不是）。
解分式方程的四步：① 找最简公分母；② 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程；③ 解这个整式方程；④ 把解代入最简公分母验根，分母为零则是增根，必须舍去。
去分母的关键是「每一项都要乘」，包括不含分母的整数项。漏乘某一项是这套流程最常见的错误。
验根不能省。分式方程的根必须使原方程所有分母都不为零，这一步既是检验也是必要步骤，答题时要写出「经检验」。
解出的整式方程若本身无解，则原分式方程也无解，这种情况要单独说明，不能说「没有验根」。
概念辨析例题：解方程 +3=
答案：x=3
解析：最简公分母是 x−2。两边同乘 (x−2)：1+3(x−2)=x+1，展开得 1+3x−6=x+1，即 3x−5=x+1，移项得 2x=6，解得 x=3。代回检验：x=3 时 x−2=1≠0，分母不为零，验根通过。所以原方程的解是 x=3。要点：去分母时整数项 3 也要乘 (x−2)，漏乘是这题最常见的错误。
☆ 2.增根、无解与含参讨论
增根的定义：去分母时两边同乘的最简公分母为零，使原方程分母为零的整式方程的根就是增根。增根不是原方程的解，必须舍去。
求增根对应参数值的通法：先确定使最简公分母为零的 x 值（即可能的增根），把这个 x 值代入去分母后得到的整式方程，解出参数。
注意「无解」与「有增根」不等价。原方程无解包含两种情形：① 整式方程本身无解；② 整式方程有解但全部是增根。讨论时必须两种都考虑到。
含参方程解为正数（负数）的讨论：先解出 x 用参数表示，再令 x>0（或 x<0），同时必须附加「x 不等于使分母为零的值」这一限制，两个条件取交集。
解为整数（正整数）的讨论：先解出 x 的表达式，再让分母整除分子，逐个枚举参数取值，并逐一检验是否产生增根、是否符合题目范围。
概念辨析例题：若关于 x 的分式方程 −2= 有增根，求 m 的值
答案：m=3
解析：最简公分母是 x−3，使分母为零的 x 值是 x=3，这就是可能的增根。两边同乘 (x−3) 得 x−2(x−3)=m，化简得 −x+6=m。把 x=3 代入：m=−3+6=3。所以 m=3 时方程产生增根 x=3。要点：先定增根候选值，再代入整式方程求参数，顺序不能反。
☆ 3.分式方程的实际应用
列分式方程解应用题的五步：审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程并验根、写出符合实际的答案。
行程问题核心关系：时间 = 路程 ÷ 速度。常见模型是「同时出发不同时到达」「速度成倍数关系」，等量关系通常落在「时间差」上。
工程问题核心关系：工作总量 = 工作效率 × 时间，总量常设为 1。合作问题把效率相加，这是列方程的关键。
销售问题核心关系：总价 = 单价 × 数量，利润 = 售价 − 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价。单价变化引起的数量变化是常见等量关系。
列方程解出后必须双检验：既要验根（分母不为零），又要验是否符合实际意义（时间、人数、长度为正数）。
概念辨析例题：某工程甲队单独做需 x 天完成，乙队单独做比甲队多用 3 天。两队合作 2 天后，剩下的由乙队单独做，恰好按甲队单独做的天数完成，求 x。
答案：x=6
解析：把工程总量设为 1，甲队效率 ，乙队效率 。合作 2 天完成 2(+)，剩下 1−2(+)，由乙队单独做还需 乘上剩余量，合计总工期等于 x 天。列方程 2(+)+=1，解得 x=6。检验：x=6 时分母均不为零且符合实际。
☆ 4.换元法与阅读探究题
换元法的适用特征：方程中出现重复的整体结构，如 与 互为倒数，可设 y 为其中一个，把原方程化为关于 y 的整式方程。
换元的完整流程：设新元 → 写出反解关系 → 代入原方程化为整式方程 → 解出新元 → 回代求原未知数 → 验根。
换元后必须回代。只解出新元的值而不回代，等于没做完。回代时可能有多个值，要逐个求出原未知数再验根。
阅读探究题的作答套路：先读懂示范的解法思路，再照着同样的思路处理新问题，最后用自己的话总结规律。答题要写出推理过程，不能只给结论。
错解辨析题：逐行检查每一步的依据，重点看去分母是否漏乘、符号是否变对、验根是否省略，通常错误出在这三处。
概念辨析例题：用换元法解方程 += 时，若设 y=，则原方程可化为？
答案：3y+=，即 6y2−7y+2=0
解析：设 y=，则 =。代入原方程得 3y+=。两边同乘 2y 化为整式方程：6y2+2=7y，即 6y2−7y+2=0。因式分解得 (2y−1)(3y−2)=0，所以 y= 或 y=。注意换元后要写清 y 与 x 的对应关系，回代时才有依据。
📋 知识总结表
情形
处理方法
关键提醒
解分式方程
去分母→解整式→验根
每项都要乘，验根不能省
产生增根
令最简公分母为零求 x
增根不是原方程的解
方程无解
整式方程无解 或 解全为增根
两种情形都要讨论
解为正（负）数
解出 x 后令 x>0（<0）
同时排除使分母为零的值
解为整数
让分母整除分子，枚举参数
逐个检验是否增根
行程问题
时间=路程÷速度
等量关系多落在时间差
工程问题
总量设为 1，效率=1÷时间
合作时效率相加
销售问题
总价=单价×数量
单价变化引起数量变化
换元法
设重复整体为 y，回代求 x
必须回代并验根
⚠️ 核心考点
【考点1】分式方程的解法与验根
· 四步法：找公分母、去分母、解整式、验根
· 去分母时每一项都要乘，整数项不能漏
· 验根看原方程每个分母是否为零
· 答题必须写「经检验」
· 分母是多项式时先因式分解再找公分母
1．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，去分母时，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，据此求解即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以得，
故选：B．
2．（25-26八年级上·全国·单元复习）若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考出了分式方程的解、解分式方程等知识点，掌握方程的解使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．
将代入方程可得，然后解关于m的分式方程即可．
【详解】解：将代入方程可得，即，
，
，
经检验，是分式方程的解，
所以m的值为2．
故选D．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案.
【详解】解：代数式和的值相等，
则，
去分母得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
故选：C
4．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）下面是嘉嘉同学解分式方程的错误过程，该解答过程是从第_____（填序号）步开始出现错误的．
解：方程两边同乘，
得，，①
解得，②
经检验，是原分式方程的解．③
【答案】②
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
先写出解分式方程的正确步骤，再对比嘉嘉同学的错误过程，即可得出答案．
【详解】解：正确解答为：方程两边同乘，
得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
∴该解答过程是从第②步开始出现错误的．
故答案为：②．
5．（25-26八年级下·广东茂名·期末）已知是分式方程的根，则实数的值为________．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】把代入分式方程即可求解．
【详解】解：把代入分式方程得，
，
．
6．（22-23八年级上·全国·阶段检测）若与互为倒数，则x的值为__________．
【答案】
【知识点】倒数、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程，根据题意列出分式方程，并按分式方程解法求解即可得到答案．
【详解】若与互为倒数，
则 ，
去分母：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式方程的解是，则______．
【答案】3
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的解是解题的关键；把代入分式方程中，得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵分式方程的解是，
∴，即，
解得：，
故答案为：3．
8．（2025·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为_______．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可．
【详解】解：，
去分母得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，原分式方程的解为，
故答案为：．
9．（2025·浙江温州·模拟预测）若，则______．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据解分式方程的计算方法，求解即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
经检验，可得是原方程的解，
故答案为：．
10．（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）若为方程的解，则_______．
【答案】0
【知识点】根据分式方程解的情况求值、等式的性质2
【分析】本题主要考查了分式方程的解、等式的基本性质等知识点，掌握分式方程的解是满足分式方程成立的未知数的值成为解题的关键．
根据分式方程的解为可得，即；然后根据等式的基本性质即可解答．
【详解】解：∵为方程的解，
∴，即，
∴．
故答案为0．
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式方程的解是，则的值为__________．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【详解】解：把代入方程得：，
解得，
经检验，当时，满足分母不为0的条件，符合题意，
所以，的值为．
12．（2023九年级·浙江杭州·竞赛）分式方程的解是 ________ ．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
13．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若分式与的值互为相反数，则的值为______．
【答案】0
【知识点】相反数的应用、解分式方程（化为一元一次）
【分析】根据题意得关于x的分式方程，解分式方程即可．
【详解】解：∵分式与的值互为相反数，
∴，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解为，
即当x的值为0时，分式与的值互为相反数．
14．（2024·广东广州·模拟预测）关于的方程的解为___________．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意一定要对求出来的未知数的值进行检验．首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：，解一元一次方程即可求出方程的解为，再把求出的解代入最简公分母检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项可得：，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
15．（13-14八年级下·福建漳州·阶段检测）解分式方程：．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查分式方程，去分母是解题的关键．
根据题意两边都乘，再化简求解、检验即可．
【详解】原方程化为：，
方程两边都乘，
得，
解这个方程，得．，
经检验，是原方程的根．
16．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后要检验。
（1）先找到方程中两个分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后进行检验；
（2）先找到方程中两个分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后进行检验，注意增根的情况。
【详解】（1）解 ：
方程两边同乘，得，
解这个整式方程，得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘，得，
解这个整式方程，得．
检验：当时，．
所以，是原分式方程的增根．
所以，原分式方程无解．
17．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
把代入得：，
∴是原方程的增根，原方程无解．
【考点2】增根、无解与含参讨论
· 增根：令最简公分母为零，求出候选 x 再代入整式方程
· 无解包含整式方程无解和全为增根两种情形
· 解为正（负）数：解出 x 后加不等式，再排除增根
· 解为整数：分母整除分子，枚举后逐个检验
· 由解反求参数：直接把已知解代入原方程
18．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是分式方程的根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】将代入分式方程，再解方程即可得解．
【详解】解：是分式方程的根，
，
方程两边都乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得．
19．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解；
【详解】解：去分母得，，
方程的解是负数，
，
解得：
，
的取值范围是．
故选：．
20．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】实数概念理解、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的解．原方程分母为和，故增根可能为或，将方程转化为整式方程后，解出的表达式，再代入可能的增根求解的值．
【详解】解：
去分母得，，
整理得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有增根，
∴或，
当增根为，则，解得；
当增根为，则，方程无解，舍去；
∴综上所述，实数a的值为
故选：B．
21．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
系数化为1得：，
∵，且为整数，为整数，
∴
∴可取，，，
∴的可能取值的和为，
故选：B．
22．（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代数式表示x，根据方程有整数解求出a的所有值，再去掉产生增根的a的值，再求出满足条件的所有整数a的和即可
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
∵分式方程有整数解，且
∴
∴，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故选：B
23．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________．
【答案】且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解．
【详解】解：
，
解得，
∵关于的方程的解是非负数
∴，
解得，
∵是增根，
∴
∴，
∴的取值范围是且．
24．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
【答案】，，
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，先将分式化为整式，然后解方程得到用m表示的分式方程的解，然后根据解为正整数讨论可得到m的值，注意分式的分母不能为0．
【详解】解：，，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得，
分式方程的解为正整数，
为正整数，
可为1，2，3，6，
整数m的值为，，，1，
，即，
，
即，
整数m的值为，，，
故答案为：，，．
25．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案．
【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得
，
解得，
由于分式方程的增根是，
所以，
即，
因为分式方程的解是正整数，而，
则x的最小值为2，
所以，
解得，
故答案为：4．
26．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．
解：设张老师骑车的速度为．
依题意，得
【答案】其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
根据方程中左右两个代数式的含义即可解答．
【详解】解：∵张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，
∴表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间，
∴被墨迹弄污的条件应是其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．
故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．
27．（2021八年级上·湖南郴州·竞赛）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____________ ．
【答案】/
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】先将分式方程化成整式方程，根据增根的定义可得是分式方程的增根，再将增根代入整式方程中即可求出m的值．
本题考查了分式方程的增根．增根是将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大，对于整式方程来说，求出的解成立，但对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义,所以这个解不是分式方程的解．掌握增根的定义是解题的关键．
【详解】解：给方程两边同乘以，得
，
∴，
∴，
∴，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得或，
经检验，不是整式方程的根，
∴是分式方程的增根，
将代入，
得，
解得，
故答案为：．
28．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若关于的方程的解是正数，则的取值范围是________．
【答案】且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查分式方程的解，解题的关键是先确定方程的解，再建立关于a的不等式是求解即可．
【详解】解：∵，
在方程两边乘以，得：，
∴，
∵方程的解是正数．
∴，
解得：且，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
29．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________．
【答案】，1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：原方程为
方程两边同乘最简公分母去分母得：，
展开并移项合并同类项得：，
分两种情况讨论：
当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即
，解得，此时，符合要求；
当整式方程的解为原分式方程的增根时，
原分式方程分母为和，因此增根为，
将代入得：
，
解得，符合要求；
综上，的值为或．
30．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：．
31．（25-26八年级上·全国·课前预习）若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为______．
【答案】1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解的一种情况是，其化简后的整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根，可以根据增根的意义列出方程，求出a的值，先把分式方程转化成整式方程，根据分式方程无解得出分母，求出x的值，把x的值代入整式方程求出即可．
【详解】解：，
去分母得：，
即，
关于x的分式方程的实数范围内无解，
，
，
．
故答案为：1．
32．（25-26八年级上·上海·期中）当_______， 方程 会产生增根．
【答案】或
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分别方程，以及分式方程的增根，理解分式方程产生增根的条件是解题的关键．通过求解方程，用m表示x，再令x等于使分母为零的值，求出m．
【详解】解：方程两边同时乘以公分母，得，
化简得，
当，即或时，分式方程有增根，
把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
或时，方程 会产生增根．
33．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则__________．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】先解分式方程得出，再结合题意可得是分式方程的增根，由此计算即可得出结果．
【详解】解：去分母得，
去括号得，
解得，
∵关于的分式方程无解，
∴是分式方程的增根，则，即，
∴，
∴．
34．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）关于x的分式方程．
(1)若，求分式方程的解；
(2)若分式方程的解是正数，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
（1）利用解分式方程的步骤进行求解即可；
（2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：当时，，
两边乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
两边乘，得：，
解得：，
∵分式方程的解是正数，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
∴且．
35．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？
两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值．
小临同学
这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！
小港同学
你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况．
【答案】
解：小港同学的说法有道理，
，
整理得：，
，
∵分式方程无解，
∴①分式方程有增根；
∴或
∴或
当时，，；
当时，，；
②整式方程无解，，，
综上：小港同学的说法有道理，当或或时，此方程无解．
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，关键是无解需分情况讨论；
分式方程无解包括有增根和分式方程化成的整式方程无解两种情况，分类讨论即可．
【详解】略
【考点3】分式方程的实际应用
· 行程：时间=路程÷速度，抓时间差
· 工程：设总量为 1，合作效率相加
· 销售：总价=单价×数量，抓数量差
· 解出后双检验：验根 + 验实际意义
· 设未知数要带单位，答案要有单位
36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
【答案】D
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
37．（22-23八年级上·广西贵港·期末）为了改善生态环境，防止水土流失；某村计划在荒坡上种480棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果提前4天完成任务．则原计划每天种树（ ）
A．30棵 B．28棵 C．25棵 D．20棵
【答案】A
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
原计划每天种树30棵．
故选：A
38．（26-27九年级上·北京·课前预习）大同到太原的铁路长274千米，动车运行后的平均速度是原来火车平均速度的1.8倍，这样由大同到太原的行驶时间缩短了2小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了列分式方程，根据题意可知动车的平均速度为，再根据动车行驶的时间等于原来火车行驶的时间减去2小时得出方程即可．
【详解】解：根据题意，得
．
故选：C．
39．（2025·四川·模拟预测）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
40．（25-26八年级上·山东青岛·期末）某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（ ）
A．表示模型A处理400GB数据的时间
B．表示模型B每小时能处理多少GB数据
C．表示模型B处理数据的时间
D．表示模型A每小时能处理多少数据
【答案】C
【知识点】分式方程的工程问题、列分式方程
【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键
本题需结合工作总量、工作效率、工作时间的关系（工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），分析方程中变量的实际意义．
【详解】对于方程①：
∵ 等式左边为模型A处理400GB数据的时间，右边为模型B处理300GB数据的时间，且A的时间是B的2倍
∴ 表示模型A每小时处理的GB数据量，故A、B选项错误
对于方程②：
∵ 为模型B的每小时处理量，为模型A的每小时处理量，且B比A每小时多处理10GB
∴ 表示模型B处理300GB数据的时间，故C选项正确，D选项错误
故选：C
41．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成，若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（ ）
A．2天 B．3天 C．5天 D．6天
【答案】D
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】设规定的时间是天，再求出甲、乙工作效率，再结合题意列出分式方程，解方程即可得出结果．
【详解】解：设规定的时间是天，
根据题意，甲的效率为，乙的效率为，
由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成可知：
甲工作了2天，乙工作了天，共同完成工作，总工作量为1，
可列方程，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意；
规定时间为6天．
42．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是________天．
【答案】6
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】首先设规定的工期是天，则乙队单独施工需要天，根据题意可得等量关系：甲、乙两队的工作效率乙的工作效率，根据等量关系列出方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲和乙工作效率，再找出等量关系，列出方程．
【详解】解：设规定的工期是天，
由题意得，
解这个方程得，
经检验是原方程的解且符合题意，
答：规定工期是6天．
故答案为：6
43．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则______到达出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”）
【答案】乙先到达
【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是准确找到数量关系，建立方程．根据题意设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，列出方程解得乙从体验区到的速度和到的速度，进而比较两人行走时间，比较即可得到结果．
【详解】解：设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，
乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，米，米，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
即乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，
二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，
甲从体验区前往出口的速度是米/分钟，
甲从体验区前往出口的时间为分，乙从体验区前往出口的时间为分，
，
乙先到达出口．
故答案为：乙先到达．
44．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）华联商厦进货员在广州发现一种饰品，预计能畅销市场，就用8000元购进所有饰品，每件按58元很快卖完．由于销路很好，又在上海用13200元购进，这次比在广州多进了100件，单价比广州贵了，但商厦仍按原售价销售，最后剩下的15件按八折销售，很快售完．
(1)求第一次购进饰品的单价
(2)求该商厦这两批饰品生意共赚了多少钱？（不考虑其他因素）
【答案】(1)元
(2)元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程的应用．
（1）设第一次进价为元，后根据进货量多了100件列出方程求出的值，
（2）分别求出第一次和第二次共卖了多少钱，再根据利润=售价－成本得出答案．
【详解】（1）解：设第一次进价为元，根据题意得
解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：第一次进价为元；
（2）第一次每件的进货价为40元，进了件，一共卖了（元） ，
第二次进了件，前285件，每件卖58元，一共卖了（元），最后15件卖了（元），
两次一共卖了（元），
成本一共是（元），
所以一共赚了（元）．
答：该商厦这两批饰品生意共赚了7626元．
45．（24-25七年级下·安徽六安·期末）2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元．
(1)求，两种客房的单价分别是多少；
(2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少?
【答案】(1)A，B两种客房的单价分别是元，元
(2)有3种方案，分别为：方案1：租住客房间，则租住客房间；方案2：租住客房间，则租住客房间；方案3：租住客房间，则租住客房间，最省钱方案的费用为元．
【知识点】不等式组的方案选择问题、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的解法，根据题意列出分式方程、一元一次不等式组是解题的关键．
（1）设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设租住客房间，则租住客房间，根据题意列一元一次不等式组，再解一元一次不等式组求出取值范围，再求整数解，确定有几种方案即可．
【详解】（1）解：设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意，
得：，
解得：，
检验：时，，
是原分式方程的解．
答：A，B两种客房的单价分别是元，元．
（2）解：设租住客房间，则租住客房间，根据题意，
得：，
解得：，
为整数，即或或，
故有3种方案，分别为：
方案1：租住客房间，则租住客房间
费用是（元）；
方案2：租住客房间，则租住客房间；
费用是（元）；
方案3：租住客房间，则租住客房间．
费用是（元）；
∵
∴最省钱方案的费用为元
46．（21-22八年级下·河南驻马店·阶段检测）某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完．
(1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？
(2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？
【答案】(1)该种水果第一次进价是每千克5元
(2)超市第二次销售该种水果盈利了3800元
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】（1）设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）利用（1）的结论求解即可．
【详解】（1）解：设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，
依题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该种水果第一次进价是每千克5元；
（2）解：（千克），
（元）．
答：超市第二次销售该种水果盈利了3800元．
47．（25-26八年级上·山东德州·期末）“好客山东，品行天下”，5月31日至6月1日在德州举办的“德州新青年音乐节”，得到全国各地人民的一致好评，音乐节将开放包容的城市形象与年轻人的活力紧密结合，成功宣推了“活力青春”的德州城市形象．当地某组织部门计划采购具有德州特色的零食礼包进行城市宣传，已知用8800元采购的A型礼包的数量是用4200元采购的B型礼包数量的2倍，其中A型礼包比B型礼包的单价多1元．
(1)求A，B两种型号礼包的单价分别是多少元？
(2)若计划采购A，B两种型号的礼包共1000个，且所花费用不超过21600元，求最多能购买多少个A型号的礼包？
【答案】(1)A种型号礼包的单价是22元，B种型号礼包的单价是21元
(2)最多能购买600个A型号的礼包
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】（1）设A型礼包的单价是x元，则B型礼包的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验可得答案；
（2）根据所花费用不超过21600元，列不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：设A型礼包的单价是x元，则B型礼包的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型礼包的单价是22元，B型礼包的单价是21元；
（2）解：设能采购y个A型的礼包，则能采购个B型的礼包，
根据题意得：，
解得：，
答：最多能购买600个A型的礼包．
48．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？
【答案】
小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的其它实际问题
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是小王跳的时间＝小李跳的时间．通过设未知数，利用时间相等的条件建立分式方程求解即可
【详解】解：设小李平均每分钟跳次，则小王平均每分钟跳次
根据题意，得方程：
解得
检验：当时，，所以是原方程的解
∴小王平均每分钟跳次
答：小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次
【考点4】换元法与阅读探究题
· 识别互为倒数的重复结构，设 y 换元
· 换元后化为整式方程，解出 y 再回代
· 回代得到的 x 都要验根
· 阅读题照示范思路处理新问题并总结规律
· 错解辨析重点查去分母、符号、验根三处
49．（25-26八年级下·全国·课后作业）若小菁按如图所示的流程输入后，输出的，则输入的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解分式方程（化为一元一次）
【分析】分和两种情况，把分别代入两个代数式，得出一个分式方程和一个一元一次方程，分别解方程求出的值，取符合题意的值即可．
【详解】解：当时，，
去分母得，，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意；
当时，，
解得：，（与矛盾，舍去）
∴输入的值为．
50．（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）已知关于的方程：．
(1)若方程有增根，求的值；
(2)若方程无解，求的值．
【答案】(1)的值为6或12．
(2)的值为9、6或12
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【详解】解：方程两边同时乘，得到，整理得．
（1）由原分式方程有增根，得最简公分母，解得增根为或，当时，；当时，．
答：的值为6或12．
（2）分两种情况：
去分母整理得到的整式方程无解，从而分式方程无解．即当时，该整式方程无解，此时．
整式方程有解，但它是分式方程的增根，从而分式方程无解．当时，这时分式方程有增根，由（1）得或．
综上所述，的值为9、6或12．
答：的值为9、6或12．
【易错点分析】易出现把分式方程无解等同于有增根的情况．分式方程无解包含两种情况：去分母整理得到的整式方程无解；分式方程有增根．
51．（24-25七年级下·全国·单元复习）已知关于x的方程．
(1)当此方程的解为时，求k的值；
(2)当此方程会产生增根时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程的增根，
（1）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得，再结合得出方程，求出解即可；
（2）当时原方程有增根，可得方程，求出解即可．
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
因为，所以．
当此方程的解为时，，解得；
（2）当此方程会产生增根时，，
即，
所以，
解得．
52．（24-25八年级上·湖南常德·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验．
先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论．
【详解】解：解方程得；
经检验是方程的解；
∵两方程的解相同；
∴将代入方程中得，
解得，
经检验是方程的解
∴．
💯 课后巩固
复习建议
· 分式方程判断标准：未知数是否在分母上
· 解法四步：去分母、解整式、验根、写答案
· 去分母每一项都要乘，整数项最容易漏
· 增根：令最简公分母为零，代入整式方程求参数
· 无解两种情形：整式方程无解、解全为增根
【作业1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件，
则可列方程为，
故选：A．
【作业2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解．
设两台汽车的续航里程为千米，根据燃油车每千米费用比新能源车多元列方程求解．
【详解】解：设续航里程为千米．
燃油车加满一箱油需360元，每千米费用为元；
新能源车充满一次电需36元，每千米费用为元．
根据题意，燃油车每千米费用比新能源车多元，
列方程：，
解得：，
经检验，是方程的解且符合实际意义．
因此，续航里程为600千米，
故选：A．
【作业3】（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系，是解题的关键．设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，合作效率为各自效率之和，即，合作时间小时完成整个工作（工作量为1），故效率之和等于，即可列出方程．
【详解】解：设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，根据题意得：
．
故选：B．
【作业4】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】将跑道一圈长度设为单位1，利用行程问题中路程、速度、时间的关系，根据“秒后哥哥比弟弟多跑一圈”的条件列等式即可．
【详解】解：把跑道一圈的长度看作单位1，
∵哥哥跑一圈需要120秒，弟弟跑一圈需要150秒，
∴哥哥的速度为，弟弟的速度为，
∵秒后哥哥比弟弟多跑一圈，
∴，
∴．
【作业5】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．乙同学的速度是甲同学的倍，甲同学比乙同学提前到达活动地点．若设甲同学的速度是，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查分式方程的应用、审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键．
设甲同学的速度为，则乙同学的速度为，再根据“甲、乙两人的路程分别为和，乙的速度是甲的倍，且甲比乙提前5分钟到达”列出分式方程即可．
【详解】设甲同学的速度为，则乙同学的速度为，甲到达活动地点的时间为分钟，乙到达的时间为分钟．
由甲比乙提前5分钟到达，则乙的时间比甲多5分钟，即：．
故选C．
【作业6】（24-25八年级下·上海金山·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是________．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，先根据题意得到，则原方程可化为，再把方程化为整式方程即可得到答案．
【详解】解：设，则，
∴原方程可以化为，即，
故答案为：，
故答案为：．
【作业7】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________．
【答案】/
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并找出等量关系是解题的关键．
设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据时间相等列出方程即可．
【详解】解：型机器人搬运千克所用时间为，
型机器人搬运千克所用时间为，
因为时间相等，所以，
故答案为：．
【作业8】（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华根据这一数量关系列出方程为，则方程中未知数表示的意义是______________．
【答案】每行驶1千米纯用电的费用
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查用分式方程解决实际问题，正确理解题意是解题的关键．根据分式方程中的两个分母x与，结合语句“已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元”即可判断x表示每行驶1千米纯用电的费用．
【详解】解：根据方程中的两个分母x与，结合语句“已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元”，即可判断x表示每行驶1千米纯用电的费用，则有．
故答案为：每行驶1千米纯用电的费用．
【作业9】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m．
【答案】1600
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求．
【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得
，
解得．
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意．
所以．
故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有．
故答案为：1600
【作业10】（23-24八年级上·河北衡水·期末）某希望学校收到帮助单位的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件，结果还差3件．改为每班少分1件，结果剩余14件．这所希望学校有多少个教学班？
【答案】17个
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．设希望学校有x个教学班，根据现在每班分得的数量比原来每班分得的数量少1，列出方程求解即可．
【详解】解：设希望学校有个教学班，根据题意得：
解得：，
经检验是原方程的解．
答：这所希望学校有17个教学班．
【作业11】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍．
(1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度；
(2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？
【答案】(1)每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为
(2)最多还可以摆90本数学书
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出方程，解出的值即可解答；
（2）设还可以摆本数学书，根据题意列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，
由题意得，，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
则，
答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为．
（2）解：设还可以摆本数学书，
由题意得，，
解得：，
答：最多还可以摆90本数学书．
【作业12】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段检测）某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．
②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天．
③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天?
(2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）．
【答案】(1)甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天
(2)③
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，掌握了以上知识是解答本题的关键；
（1）设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天；
（2）解：选择方案③最节省工程款；
方案①的费用为万元，
方案②的费用万元，但耽误工期，不符合题意（舍）
方案③的费用为万元．
综上所述：选择方案③最节省工程款．
【作业13】（23-24八年级下·重庆·阶段检测）对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】数字类规律探索、解分式方程（化为一元一次）
【分析】将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④．
【详解】解：∵，
当时，，故①错误，
∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确；
∵，，， ，……
∴，故③正确；
∵，，，……
∴，
故④错误，
综上，正确的有2个．
【作业14】（24-25八年级上·湖南永州·期中）观察下列各式：
，
，
，
，
……
(1)请用含字母（为正整数）的等式表述上述式子的一般规律；
(2)仿照以上方法解分式方程：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式的加减，分式方程的知识，解题的关键是掌握分式的加减，解分式方程，根据题意，找到式子的一般规律，进行解答，即可．
（1）观察上述式子，找到规律，进行解答，即可；
（2）方程利用得出的规律变形，计算，即可．
【详解】（1）解：由上述式子得，．
（2）解：由（1）得，
∴，
∴方程变形为，
∴，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
【作业15】（2025·浙江杭州·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式…①，
…②，
…③．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是 （填序号），请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值．
【答案】(1)②；
正确的化简过程如下：
原式
；
(2)
【知识点】异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤②错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可；
（2）根据题意得，然后解分式方程，并检验即可．
【详解】（1）略
（2）解：根据题意得，
，
经检验，是原分式方程的解，
则题目中被墨水遮住的x的值为．
【作业16】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是．若装裱后与的比是，且，，求上边衬的宽度．
【答案】上边衬的宽度为0.1m．
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得，．
装裱后与的比是，
，解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．故上边衬的宽度为．
故答案为：上边衬的宽度为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程成为解题的关键．
【作业17】（24-25八年级下·上海长宁·期末）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？
【答案】10人
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划医疗队每分钟多检测x人，根据若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务建立方程可求出，设现在每分钟还要多检测y人，根据要再提早小时完成任务建立方程求解即可．
【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人，
由题意得，，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
设现在每分钟还要多检测y人，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区．
【作业18】（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
解：设，则原方程化为，方程两边同乘以y，得，解得．
经检验：都是方程的根．
所以当时，，解得；
当时，，解得．
经检验：或都是原分式方程的根．
所以原分式方程的根为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程中，设，则原方程可化为__________，原方程的根为______；
(2)模仿上述换元法解方程：．
【答案】(1)，或
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据分式的加减，可得：，根据换元法，可得答案．
【详解】（1）解：设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以得：，
解得：或2，
经检验：和2都是方程的解．
当时，，解得；
当时，，解得．
经检验：和是原分式方程的解，
（2）解：原方程可化为 ，
即 ，
整理得 ，
设，则原方程化为，
方程两边同乘以y，得，
解得．
经检验：都是方程的根．
所以，当时，，该方程无解，
当时，，解得，
经检验：是原分式方程的根，
所以，原分式方程的根为．
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第18讲·分式方程·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解分式方程的定义，会判断一个方程是否为分式方程
· 掌握解分式方程的基本步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、验根
· 理解增根产生的原因，会求使方程产生增根的字母取值
· 会讨论含参分式方程无解、有整数解、解为正（负）数等情况
· 会列分式方程解决行程、工程、销售等实际问题并检验解的合理性
📚 知识梳理
☆ 1.分式方程的概念与解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程。判断标准只有一条：未知数是否在分母上，在就是分式方程，不在就不是（如 +1=3 不是）。
解分式方程的四步：① 找最简公分母；② 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程；③ 解这个整式方程；④ 把解代入最简公分母验根，分母为零则是增根，必须舍去。
去分母的关键是「每一项都要乘」，包括不含分母的整数项。漏乘某一项是这套流程最常见的错误。
验根不能省。分式方程的根必须使原方程所有分母都不为零，这一步既是检验也是必要步骤，答题时要写出「经检验」。
解出的整式方程若本身无解，则原分式方程也无解，这种情况要单独说明，不能说「没有验根」。
概念辨析例题：解方程 +3=
答案：x=3
解析：最简公分母是 x−2。两边同乘 (x−2)：1+3(x−2)=x+1，展开得 1+3x−6=x+1，即 3x−5=x+1，移项得 2x=6，解得 x=3。代回检验：x=3 时 x−2=1≠0，分母不为零，验根通过。所以原方程的解是 x=3。要点：去分母时整数项 3 也要乘 (x−2)，漏乘是这题最常见的错误。
☆ 2.增根、无解与含参讨论
增根的定义：去分母时两边同乘的最简公分母为零，使原方程分母为零的整式方程的根就是增根。增根不是原方程的解，必须舍去。
求增根对应参数值的通法：先确定使最简公分母为零的 x 值（即可能的增根），把这个 x 值代入去分母后得到的整式方程，解出参数。
注意「无解」与「有增根」不等价。原方程无解包含两种情形：① 整式方程本身无解；② 整式方程有解但全部是增根。讨论时必须两种都考虑到。
含参方程解为正数（负数）的讨论：先解出 x 用参数表示，再令 x>0（或 x<0），同时必须附加「x 不等于使分母为零的值」这一限制，两个条件取交集。
解为整数（正整数）的讨论：先解出 x 的表达式，再让分母整除分子，逐个枚举参数取值，并逐一检验是否产生增根、是否符合题目范围。
概念辨析例题：若关于 x 的分式方程 −2= 有增根，求 m 的值
答案：m=3
解析：最简公分母是 x−3，使分母为零的 x 值是 x=3，这就是可能的增根。两边同乘 (x−3) 得 x−2(x−3)=m，化简得 −x+6=m。把 x=3 代入：m=−3+6=3。所以 m=3 时方程产生增根 x=3。要点：先定增根候选值，再代入整式方程求参数，顺序不能反。
☆ 3.分式方程的实际应用
列分式方程解应用题的五步：审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程并验根、写出符合实际的答案。
行程问题核心关系：时间 = 路程 ÷ 速度。常见模型是「同时出发不同时到达」「速度成倍数关系」，等量关系通常落在「时间差」上。
工程问题核心关系：工作总量 = 工作效率 × 时间，总量常设为 1。合作问题把效率相加，这是列方程的关键。
销售问题核心关系：总价 = 单价 × 数量，利润 = 售价 − 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价。单价变化引起的数量变化是常见等量关系。
列方程解出后必须双检验：既要验根（分母不为零），又要验是否符合实际意义（时间、人数、长度为正数）。
概念辨析例题：某工程甲队单独做需 x 天完成，乙队单独做比甲队多用 3 天。两队合作 2 天后，剩下的由乙队单独做，恰好按甲队单独做的天数完成，求 x。
答案：x=6
解析：把工程总量设为 1，甲队效率 ，乙队效率 。合作 2 天完成 2(+)，剩下 1−2(+)，由乙队单独做还需 乘上剩余量，合计总工期等于 x 天。列方程 2(+)+=1，解得 x=6。检验：x=6 时分母均不为零且符合实际。
☆ 4.换元法与阅读探究题
换元法的适用特征：方程中出现重复的整体结构，如 与 互为倒数，可设 y 为其中一个，把原方程化为关于 y 的整式方程。
换元的完整流程：设新元 → 写出反解关系 → 代入原方程化为整式方程 → 解出新元 → 回代求原未知数 → 验根。
换元后必须回代。只解出新元的值而不回代，等于没做完。回代时可能有多个值，要逐个求出原未知数再验根。
阅读探究题的作答套路：先读懂示范的解法思路，再照着同样的思路处理新问题，最后用自己的话总结规律。答题要写出推理过程，不能只给结论。
错解辨析题：逐行检查每一步的依据，重点看去分母是否漏乘、符号是否变对、验根是否省略，通常错误出在这三处。
概念辨析例题：用换元法解方程 += 时，若设 y=，则原方程可化为？
答案：3y+=，即 6y2−7y+2=0
解析：设 y=，则 =。代入原方程得 3y+=。两边同乘 2y 化为整式方程：6y2+2=7y，即 6y2−7y+2=0。因式分解得 (2y−1)(3y−2)=0，所以 y= 或 y=。注意换元后要写清 y 与 x 的对应关系，回代时才有依据。
📋 知识总结表
情形
处理方法
关键提醒
解分式方程
去分母→解整式→验根
每项都要乘，验根不能省
产生增根
令最简公分母为零求 x
增根不是原方程的解
方程无解
整式方程无解 或 解全为增根
两种情形都要讨论
解为正（负）数
解出 x 后令 x>0（<0）
同时排除使分母为零的值
解为整数
让分母整除分子，枚举参数
逐个检验是否增根
行程问题
时间=路程÷速度
等量关系多落在时间差
工程问题
总量设为 1，效率=1÷时间
合作时效率相加
销售问题
总价=单价×数量
单价变化引起数量变化
换元法
设重复整体为 y，回代求 x
必须回代并验根
⚠️ 核心考点
【考点1】分式方程的解法与验根
· 四步法：找公分母、去分母、解整式、验根
· 去分母时每一项都要乘，整数项不能漏
· 验根看原方程每个分母是否为零
· 答题必须写「经检验」
· 分母是多项式时先因式分解再找公分母
1．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·全国·单元复习）若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）下面是嘉嘉同学解分式方程的错误过程，该解答过程是从第_____（填序号）步开始出现错误的．
解：方程两边同乘，
得，，①
解得，②
经检验，是原分式方程的解．③
5．（25-26八年级下·广东茂名·期末）已知是分式方程的根，则实数的值为________．
6．（22-23八年级上·全国·阶段检测）若与互为倒数，则x的值为__________．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式方程的解是，则______．
8．（2025·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为_______．
9．（2025·浙江温州·模拟预测）若，则______．
10．（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）若为方程的解，则_______．
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式方程的解是，则的值为__________．
12．（2023九年级·浙江杭州·竞赛）分式方程的解是 ________ ．
13．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若分式与的值互为相反数，则的值为______．
14．（2024·广东广州·模拟预测）关于的方程的解为___________．
15．（13-14八年级下·福建漳州·阶段检测）解分式方程：．
16．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)．
17．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程：
(1)
(2)
【考点2】增根、无解与含参讨论
· 增根：令最简公分母为零，求出候选 x 再代入整式方程
· 无解包含整式方程无解和全为增根两种情形
· 解为正（负）数：解出 x 后加不等式，再排除增根
· 解为整数：分母整除分子，枚举后逐个检验
· 由解反求参数：直接把已知解代入原方程
18．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是分式方程的根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
21．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
22．（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
23．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________．
24．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
25．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________．
26．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．
解：设张老师骑车的速度为．
依题意，得
27．（2021八年级上·湖南郴州·竞赛）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____________ ．
28．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若关于的方程的解是正数，则的取值范围是________．
29．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程 无解，则________．
30．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
31．（25-26八年级上·全国·课前预习）若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为______．
32．（25-26八年级上·上海·期中）当_______， 方程 会产生增根．
33．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则__________．
34．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）关于x的分式方程．
(1)若，求分式方程的解；
(2)若分式方程的解是正数，求k的取值范围．
35．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？
两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值．
小临同学
这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！
小港同学
你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况．
【考点3】分式方程的实际应用
· 行程：时间=路程÷速度，抓时间差
· 工程：设总量为 1，合作效率相加
· 销售：总价=单价×数量，抓数量差
· 解出后双检验：验根 + 验实际意义
· 设未知数要带单位，答案要有单位
36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
37．（22-23八年级上·广西贵港·期末）为了改善生态环境，防止水土流失；某村计划在荒坡上种480棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果提前4天完成任务．则原计划每天种树（ ）
A．30棵 B．28棵 C．25棵 D．20棵
38．（26-27九年级上·北京·课前预习）大同到太原的铁路长274千米，动车运行后的平均速度是原来火车平均速度的1.8倍，这样由大同到太原的行驶时间缩短了2小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．（2025·四川·模拟预测）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
40．（25-26八年级上·山东青岛·期末）某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（ ）
A．表示模型A处理400GB数据的时间
B．表示模型B每小时能处理多少GB数据
C．表示模型B处理数据的时间
D．表示模型A每小时能处理多少数据
41．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成，若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（ ）
A．2天 B．3天 C．5天 D．6天
42．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是________天．
43．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则______到达出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”）
44．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）华联商厦进货员在广州发现一种饰品，预计能畅销市场，就用8000元购进所有饰品，每件按58元很快卖完．由于销路很好，又在上海用13200元购进，这次比在广州多进了100件，单价比广州贵了，但商厦仍按原售价销售，最后剩下的15件按八折销售，很快售完．
(1)求第一次购进饰品的单价
(2)求该商厦这两批饰品生意共赚了多少钱？（不考虑其他因素）
45．（24-25七年级下·安徽六安·期末）2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元．
(1)求，两种客房的单价分别是多少；
(2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少?
46．（21-22八年级下·河南驻马店·阶段检测）某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完．
(1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？
(2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？
47．（25-26八年级上·山东德州·期末）“好客山东，品行天下”，5月31日至6月1日在德州举办的“德州新青年音乐节”，得到全国各地人民的一致好评，音乐节将开放包容的城市形象与年轻人的活力紧密结合，成功宣推了“活力青春”的德州城市形象．当地某组织部门计划采购具有德州特色的零食礼包进行城市宣传，已知用8800元采购的A型礼包的数量是用4200元采购的B型礼包数量的2倍，其中A型礼包比B型礼包的单价多1元．
(1)求A，B两种型号礼包的单价分别是多少元？
(2)若计划采购A，B两种型号的礼包共1000个，且所花费用不超过21600元，求最多能购买多少个A型号的礼包？
48．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？
【考点4】换元法与阅读探究题
· 识别互为倒数的重复结构，设 y 换元
· 换元后化为整式方程，解出 y 再回代
· 回代得到的 x 都要验根
· 阅读题照示范思路处理新问题并总结规律
· 错解辨析重点查去分母、符号、验根三处
49．（25-26八年级下·全国·课后作业）若小菁按如图所示的流程输入后，输出的，则输入的值为（ ）
A． B． C．0 D．
50．（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）已知关于的方程：．
(1)若方程有增根，求的值；
(2)若方程无解，求的值．
51．（24-25七年级下·全国·单元复习）已知关于x的方程．
(1)当此方程的解为时，求k的值；
(2)当此方程会产生增根时，求k的值．
52．（24-25八年级上·湖南常德·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值．
💯 课后巩固
复习建议
· 分式方程判断标准：未知数是否在分母上
· 解法四步：去分母、解整式、验根、写答案
· 去分母每一项都要乘，整数项最容易漏
· 增根：令最简公分母为零，代入整式方程求参数
· 无解两种情形：整式方程无解、解全为增根
【作业1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【作业2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ）
A． B． C． D．
【作业3】（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业4】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业5】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．乙同学的速度是甲同学的倍，甲同学比乙同学提前到达活动地点．若设甲同学的速度是，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业6】（24-25八年级下·上海金山·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是________．
【作业7】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________．
【作业8】（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华根据这一数量关系列出方程为，则方程中未知数表示的意义是______________．
【作业9】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m．
【作业10】（23-24八年级上·河北衡水·期末）某希望学校收到帮助单位的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件，结果还差3件．改为每班少分1件，结果剩余14件．这所希望学校有多少个教学班？
【作业11】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍．
(1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度；
(2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？
【作业12】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段检测）某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．
②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天．
③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天?
(2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）．
【作业13】（23-24八年级下·重庆·阶段检测）对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【作业14】（24-25八年级上·湖南永州·期中）观察下列各式：
，
，
，
，
……
(1)请用含字母（为正整数）的等式表述上述式子的一般规律；
(2)仿照以上方法解分式方程：．
【作业15】（2025·浙江杭州·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式…①，
…②，
…③．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是 （填序号），请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值．
【作业16】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是．若装裱后与的比是，且，，求上边衬的宽度．
【作业17】（24-25八年级下·上海长宁·期末）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？
【作业18】（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
解：设，则原方程化为，方程两边同乘以y，得，解得．
经检验：都是方程的根．
所以当时，，解得；
当时，，解得．
经检验：或都是原分式方程的根．
所以原分式方程的根为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程中，设，则原方程可化为__________，原方程的根为______；
(2)模仿上述换元法解方程：．
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