第十八章 分式 /数学活动 ---探究比例的性质 教学设计 2026-2027学年人教版 数学八年级上册

人教版八年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 八年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 数学活动 课 型 新授课 教学 目标 1. 通过探究比例的性质，能运用分式的基本性质和运算验证合比、分比、更比、反比等常见结论，发展逻辑推理能力。 2. 经历“观察→猜想→验证→归纳→应用”的数学活动过程，体会从特殊到一般的探究方法，积累数学活动经验。 3. 能运用分式知识解决浓度、行程、工程等实际问题，建立数学模型，体会数学与生活的密切联系。 4. 在小组合作与交流中，敢于猜想、严谨求证，培养合作意识和科学探究精神。 重点 运用分式的基本性质和运算探究比例的性质；运用分式方程解决浓度等实际问题。 难点 从具体实例中抽象出一般规律并用分式运算加以验证；在实际问题中建立分式模型。 教学 方法 实践活动法、小组合作探究法、问题链引导法。 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、活动导入 1. 问题情境：我们知道，如果两个数的比值相等，就说这四个数成比例，即若a/b=c/d（b、d≠0），那么a、b、c、d叫做成比例的数。 2. 提出问题：由a/b=c/d，你还能推出哪些新的相等关系？例如，(a+b)/b与(c+d)/d相等吗？(a−b)/b与(c−d)/d呢？ 3. 活动任务：本节课我们通过数学活动，自主探究比例的有关性质，并运用分式知识解决生活中的实际问题。 任务驱学 任务1（活动一）：探究比例的性质。给定a/b=c/d，先猜想下列各式是否成立，再用分式运算验证： ①(a+b)/b=(c+d)/d； ②(a−b)/b=(c−d)/d； ③a/c=b/d； ④b/a=d/c。 任务2（活动二）：浓度问题探究。把20 kg含盐15%的盐水加水稀释为含盐10%的盐水，需加水多少千克？先猜一猜，再列分式方程求解。 任务3（活动三）：裂项规律探究。观察1/1×2=1−1/2，1/2×3=1/2−1/3，1/3×4=1/3−1/4……你能发现1/n(n+1)的变形规律吗？并利用规律求和。 任务4：小组整理活动成果，准备展示。 二次备课 二、合作探究 探究1 比例的基本性质（活动一）： 已知a/b=c/d（b、d≠0），即ad=bc。 ①合比性质：(a+b)/b=a/b+1=c/d+1=(c+d)/d，故(a+b)/b=(c+d)/d成立。 ②分比性质：(a−b)/b=a/b−1=c/d−1=(c−d)/d，故(a−b)/b=(c−d)/d成立。 ③更比性质：由a/b=c/d得ad=bc，两边同除以cd（c、d≠0），得a/c=b/d。 ④反比性质：由a/b=c/d得ad=bc，两边同除以ac（a、c≠0），得b/a=d/c。 小结：比例的性质都可以通过等式的基本性质和分式的运算加以验证，这体现了“代数变形验证几何（比例）关系”的思想。 探究2 浓度问题中的分式模型（活动二）： 基本关系：浓度=溶质质量/溶液质量×100%。加水稀释时，溶质质量不变，溶液质量增加。 设加水x kg，则稀释前溶质为20×15%=3 kg，稀释后溶液为(20+x) kg，浓度为10%，故3/(20+x)=10%。 探究3 裂项规律（活动三）： 观察：1/1×2=(2−1)/1×2=1/1−1/2；1/2×3=(3−2)/2×3=1/2−1/3； 猜想：1/n(n+1)=((n+1)−n)/n(n+1)=1/n−1/(n+1)。 验证：1/n−1/(n+1)=((n+1)−n)/n(n+1)=1/n(n+1)，猜想成立。 应用：利用这一规律可以把一串分数求和时“拆开”再“相消”，即裂项相消法。 探究4 活动方法总结： 数学探究的一般路径：观察具体实例→提出猜想→用已学知识验证→归纳一般结论→应用结论解决问题。 教 学 过 程 及 方 法 三、活动展示与精讲 例1（活动一展示）已知a/b=c/d，求证(a+b)/b=(c+d)/d。 证明：(a+b)/b=a/b+1。因为a/b=c/d，所以a/b+1=c/d+1=(c+d)/d。故(a+b)/b=(c+d)/d。 追问：若a/b=c/d=e/f=k，那么(a+c+e)/(b+d+f)=k吗？（可设a=kb，c=kd，e=kf，代入即证。此为等比性质。） 例2（活动二展示）把20 kg含盐15%的盐水加水稀释为含盐10%的盐水，需加水多少千克？ 解：设需加水x kg。稀释前后溶质质量不变，为20×15%=3 kg。根据题意，得 3/(20+x)=10%，即3/(20+x)=1/10。 方程两边同乘10(20+x)，得30=20+x，x=10。 检验：当x=10时，20+x=30≠0，且加水量为正数，符合实际意义。 答：需加水10 kg。 例3（活动三展示）计算：1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/2024×2025。 解：利用裂项规律1/n(n+1)=1/n−1/(n+1)，得 原式=(1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+…+(1/2024−1/2025) 中间项全部抵消，原式=1−1/2025=2024/2025。 方法归纳：比例性质用等式变形验证；浓度问题抓“溶质不变”列方程；裂项求和抓“拆项相消”。 二次备课 四、小组展示与交流 1. 各小组汇报活动一的探究过程：先猜想哪些等式成立，再用分式运算逐一验证，展示验证过程。 2. 小组汇报活动二：展示浓度问题的建模过程和分式方程的求解、检验。 3. 小组汇报活动三：展示裂项规律的发现、验证与应用，体会“拆项相消”的巧妙。 4. 教师点评：鼓励学生大胆猜想、严谨求证，强调数学结论必须经过证明（验证）才能成立。 教 学 过 程 及 方 法 五、课堂检测，反馈学情 1. 若a/b=c/d（b、d≠0），则(a+b)/b=____（用c、d表示）。 2. 用分式运算验证分比性质：(a−b)/b=(c−d)/d。 3. 要把30 kg含盐16%的盐水稀释为含盐10%的盐水，需加水多少千克？ 4. 计算：1/1×3+1/3×5+1/5×7+1/7×9。 【参考答案】1. (c+d)/d。 2. (a−b)/b=a/b−1=c/d−1=(c−d)/d。 3. 设加水x kg，溶质=30×16%=4.8 kg，4.8/(30+x)=10%，解得x=18，检验符合，答：需加水18 kg。 4. 1/(2n−1)(2n+1)=1/2(1/(2n−1)−1/(2n+1))，原式=1/2(1−1/9)=4/9。 六、分层练习 1.（基础）计算：(1−1/2)(1−1/3)(1−1/4)…(1−1/10)。 【解答】原式=1/2×2/3×3/4×…×9/10=1/10（中间约分相消）。 2.（基础）观察等式：1/1×2=1−1/2，1/2×3=1/2−1/3，1/3×4=1/3−1/4，…，根据规律计算：1/1×2+1/2×3+…+1/2024×2025。 【解答】原式=(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/2024−1/2025)=1−1/2025=2024/2025。 3.（提升）探究：计算1/1×3+1/3×5+1/5×7+…+1/2023×2025。 【解答】由1/(2n−1)(2n+1)=1/2(1/(2n−1)−1/(2n+1))，原式=1/2(1−1/3+1/3−1/5+…+1/2023−1/2025)=1/2(1−1/2025)=1/2×2024/2025=1012/2025。 4.（提升）已知a、b、c均为非零实数，且a+b+c=0，求a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)的值。 【解答】原式=a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b=(a+c)/b+(a+b)/c+(b+c)/a。由a+b+c=0得a+c=−b，a+b=−c，b+c=−a，故原式=−b/b−c/c−a/a=−1−1−1=−3。 5.（拓展）设y=1/1×3+1/2×4+1/3×5+…+1/n(n+2)，求y的表达式（用含n的式子表示）。 【解答】由1/n(n+2)=1/2(1/n−1/(n+2))，y=1/2[(1−1/3)+(1/2−1/4)+(1/3−1/5)+…+(1/n−1/(n+2))]=1/2(1+1/2−1/(n+1)−1/(n+2))=3/4−(2n+3)/2(n+1)(n+2)。 二次备课 课 堂 小 结 1. 比例的性质：合比、分比、更比、反比，均可由等式基本性质和分式运算验证。 2. 实际应用：浓度问题抓“溶质不变”列分式方程；行程、工程问题套用基本公式。 3. 裂项规律：1/n(n+1)=1/n−1/(n+1)，用于裂项相消求和。 4. 探究方法：观察→猜想→验证→归纳→应用；数学结论必须经过证明才能成立。 课后 作业 1. 必做：完成数学活动报告，整理本节课的探究过程和结论。 2. 选做：探究等比性质——若a/b=c/d=e/f=k，求证(a+c+e)/(b+d+f)=k（b+d+f≠0）。 板 书 设 计 数学活动 活动一：比例性质——合比、分比、更比、反比 活动二：浓度问题——溶质不变，溶质/溶液=浓度 活动三：裂项规律——1/n(n+1)=1/n−1/(n+1) 方法：观察→猜想→验证→归纳→应用 课 后 反 思 两优：1. 2. 三不足：1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $