第16讲分式的加法与减法培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026--2027学年人教版八年级数学上册
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内容正文：
第16讲·分式的加法与减法·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026--2027人教版八年级数学上册
参考答案与试题解析
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解同分母分式加减法的法则，会按「分母不变、分子相加减」直接计算
· 掌握异分母分式加减法的通分规则，会确定最简公分母并正确通分
· 会进行分式的加减混合运算，按运算顺序逐步化简到最简分式
· 掌握「先化简、再求值」的通法，并在给定范围内选出使原式有意义的字母值
· 会列分式加减式表示实际问题中的时间、速度、费用关系并比较大小
📚 知识梳理
☆ 1.同分母分式的加减法
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ±=。这条法则与同分母分数加减完全一致，记住「分母照抄」就不会出错。
分子相加减时要整体加括号。尤其减号后面是多项式时，必须把整个分子括起来再变号，如 −=，若分子是 a−b 则写成 的形式，漏括号是最常见的失分点。
结果必须化成最简分式或整式。分子分母有公因式要约去，能因式分解的先分解再约分，如 =m+n。
运算结果若为整式，直接写整式，不必保留分数形式；分子分母互为相反数时结果为 −1，如 =−1。
概念辨析例题：计算 +
答案：1
解析：先统一分母：因为 y−x=−(x−y)，所以把第二项变形为 −。于是原式 = −==1。分子分母互为相反数的分式值为 −1，这是同分母加减的必考变形。
☆ 2.异分母分式的加减法与通分
异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再按同分母法则计算，即 ±=±=。通分是异分母加减的唯一入口。
找最简公分母的步骤：① 各分母能因式分解的先因式分解；② 系数取各系数的最小公倍数；③ 字母（或因式）取所有出现过的，指数取最高次；④ 各因式相乘。
通分时分子分母必须同乘同一个因式，只乘分母不乘分子会改变分式的值，这是最常见的错误。
分母是多项式时务必先分解再找公分母。如 x2−4 分解为 (x+2)(x−2)，与 x−2 的最简公分母是 (x+2)(x−2)，不是 (x2−4)(x−2)。
整式与分式相加，把整式看作分母为 1 的分式，如 1+=+=。
概念辨析例题：计算 −
答案：
解析：最简公分母是 x(x−1)。第一项分子分母同乘 x，第二项同乘 (x−1)：原式 = −==。减号后整体变号，不能只减 x 而漏掉 −1 变 +1。
☆ 3.分式的加减混合运算
混合运算顺序与分数一致：先乘除、后加减，有括号先算括号内。除号转乘号时，把除式的分子分母颠倒，同时注意符号。
分式加减与乘除混合，通常先把每个分式化简（分解因式、约分），再按顺序运算，能约的先约可以大幅减少计算量。
括号前是减号，去括号时括号内每一项都要变号；括号前是除号，去括号时括号内乘除都要颠倒。
多步运算中每算完一步就检查能否约分，结果必须是最简分式或整式，分子分母不能还有公因式。
含多层分数线时，注意分子分母各自是一个整体，必要时先给分子分母加括号再运算。
概念辨析例题：计算 (1−)÷
答案：
解析：先算括号内：1−==。再把除法转乘法：×=×。约去 a 与 (a+1)，得 a−1，即结果为 。注意最后一步约分后 a 已被约掉，结果里不能再出现 a 在分母。
☆ 4.分式的化简求值与取值限制
化简求值通法：先化成最简分式，再把字母的值代入，不要一开始就代入数值计算，那样计算量大且易错。
取值限制：使原分式有意义的条件是所有分母都不为零。若题中给出多个候选值，必须逐个检验是否使某个分母为零，为零的值必须舍去。
若化简过程中约去了含字母的因式，被约去的因式等于零的值也要舍去（因为原式中它出现在分母上），这是最容易忽略的陷阱。
整体代入思想：当已知条件是 a2−3a+1=0 这类关系时，不必解出 a，而是把 a+ 或 a2+ 当作整体代入求值。
化简结果要写成最简形式，能因式分解的继续分解，能约分的继续约分，最终答案通常是一个整式或最简分式。
概念辨析例题：先化简，再求值：÷，其中 x=3
答案：1
解析：分解因式：x2−1=(x+1)(x−1)，x2−2x+1=(x−1)2。除法转乘法：×。约去公共因式 (x+1) 与 (x−1)，分子剩 (x−1)、分母剩 (x−1)，结果为 1，与 x 无关。代入 x=3 仍得 1。要点：化简结果不含字母时说明原式是恒等式，此时求值只是验证。
☆ 5.分式加减的实际应用
行程与工程问题是分式加减的主战场：时间 = 路程 ÷ 速度，工作总量常设为 1，工作效率 = 1 ÷ 时间。
往返问题：去程时间 ，回程时间 ，总时间两者相加；平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是两个速度的算术平均。
进水管问题：甲管单独 a 小时注满，乙管单独 b 小时注满，两管同开的时间为 =，这是可用公式，但更该掌握推导。
比较大小问题：作差法最常用，先算两式之差，再判断差的符号。含字母时要讨论字母的取值范围。
列式后要把式子化简，题目问「时间」「速度」就化简成最简分式，不要停在未化简的复合分式上。
概念辨析例题：一水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管需 a 小时注满，单独开乙管需 b 小时注满。两管同时打开，注满空池需要多少小时？
答案：
解析：把满池水量看作 1，甲管每小时注 ，乙管每小时注 ，两管每小时共注 +=。注满所需时间 = 1 ÷ = 小时。注意这是「和」的倒数，不是 a 与 b 的平均。
📋 知识总结表
运算类型
法则
关键提醒
同分母加减
±=
分母不变，分子整体加括号
异分母加减
先通分，再按同分母计算
分子分母同乘同一因式
最简公分母
系数取最小公倍数，字母取最高次
分母先因式分解
混合运算
先乘除后加减，有括号先算括号
除转乘时颠倒分子分母
化简求值
先化最简，再代值
检验分母不为零
分子分母相反
=−1
提负号后约分
实际应用
时间=路程÷速度，效率=1÷时间
平均速度=总路程÷总时间
⚠️ 核心考点
【考点1】同分母分式的加减法
· 分母不变，分子相加减，分子整体加括号
· 分子分母互为相反数时，先提负号再约分，结果为 −1
· 结果必须化成最简分式或整式
· 分子是多项式时先去括号合并同类项，再因式分解约分
1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）化简的结果是（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．
【答案】A
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据分式运算法则求解，即可获得答案．
【详解】解：，
故选：A．
2．（2025九年级·全国·专题练习）计算：（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
两个分式分母相同，根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【详解】∵ ，
又∵ ，
∴ 原式 = 1．
故选：A．
3．（25-26八年级下·四川成都·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式加减法
【分析】利用同分母分式减法法则计算，约分后即可得到结果．
【详解】解：．
4．（2026·广东汕头·一模）_______
【答案】0
【知识点】异分母分式加减法
【详解】解：原式.
5．（2026·湖北·中考真题）计算的结果是_______．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法、平方差公式分解因式
【分析】先按照同分母分式加减运算法则计算，然后对分子因式分解，最后约分即可．
【详解】解： ．
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是______．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查的是分式的加减运算，先化为同分母分式，再计算即可.
【详解】解：
；
故答案为：
7．（23-24八年级下·吉林长春·期中）计算：．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了异分母减法，掌握分式的运算法则是解题关键．先通分，再约分即可．
【详解】解：
．
【考点2】异分母分式的加减法
· 先确定最简公分母：系数最小公倍数、字母最高次
· 分母能因式分解的先分解，再找公分母
· 通分时分子分母同乘同一因式，切勿只乘分母
· 整式看作分母为 1 的分式一起通分
8．（21-22八年级上·山东菏泽·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【分析】先对分母因式分解确定最简公分母，再将两个分式通分为同分母分式，接着对分子进行减法运算并因式分解，最后约去分子分母的公因式，得到最简分式．
【详解】解：
．
9．（2026·天津南开·二模）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式分解因式、异分母分式加减法
【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简计算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
10．（2026·安徽阜阳·三模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异分母分式加减法
【详解】解：原式
.
11．（2024·山西吕梁·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题主要考查异分母分式的加法，原式先通分，变成同分母的分式，再根据同分母分式的加法法则进行计算即可
【详解】解：
，
故选：B．
12．（23-24八年级上·北京·单元测试）计算：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________；
（4） ___________．
【答案】 /
【知识点】同分母分式加减法、分式除法、分式乘法
【分析】本题主要考查了分式的四则运算：
（1）根据分式乘法计算法则求解即可；
（2）根据分式出发计算法则求解即可；
（3）根据同分母分式加法计算法则求解即可；
（4）根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4），
故答案为：．
13．（24-25八年级上·北京大兴·期末）计算：________．
【答案】
【知识点】整式与分式相加减
【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
14．（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是______．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键．
先通分，再计算，化成最简分式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
15．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）计算：______．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【详解】解：原式
．
16．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：．
【答案】．
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法、分式加减混合运算
【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点3】分式的加减混合运算与化简求值
· 先乘除后加减，有括号先算括号内
· 除号转乘号时把除式分子分母颠倒
· 先化简再代值，不要一开始就代入数值
· 整体代入：把 a+ 一类式子作为整体
· 检验候选值是否使原分母为零，为零则舍去
19．（2024·河北·模拟预测）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题干完成通分后，再根据同分母的分式加减法运算法则求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：B．
20．（2024·广东阳江·一模）已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，
首先由得到，然后根据分式的混合运算化简，进而求解即可．
【详解】∵
∴
．
故选：A．
21．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确、异分母分式加减法、分式乘法
【详解】解：选项A，与不一定相等，运算错误．
选项B，与不一定相等，运算错误．
选项C，，运算错误．
选项D，，运算正确．
22．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知实数x、y、z满足，则分式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2 E．
【答案】B
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用已知等式变形，分别得到含、、的等式，整体代入化简求值，解题的关键是掌握分式的性质．
【详解】解：∵实数x、y、z满足，
∴变形等式得：，
∴，
同理可得，，
∴
，
故选：B．
23．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式化简求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握基本概念是解题关键．由已知条件可求出，然后将第二个方程左边分式的分母和分子同时除以进行化简，利用已知值代入求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
24．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．
将转化为，通过提取公因式法化简所求分式即可．
【详解】解：
．
25．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）计算的结果是___________．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果．
【详解】解：
，
故答案为：．
26．（2025·山东济南·二模）的结果为________．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法的运算法则是解题的关键．根据分式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
27．（2025·湖北·三模）计算：________．
【答案】x
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，先运算分式的乘法，再运算分式的加法，即可作答．
【详解】解：
，
故答案为：x
28．（2023·四川成都·模拟预测）化简：_______
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的乘法运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
29．（25-26七年级下·安徽六安·期末）已知（其中、均为常数），则_________．
【答案】
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、异分母分式加减法
【分析】将等式右侧通分后，根据分子相等对应系数相等，即可直接得到的值．
【详解】解：，
，
整理得：，
两个多项式相等，则对应项系数相等，
的一次项系数相等，
可得：．
30．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）化简的结果是______．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式化简，利用乘法分配律计算即可，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
31．（2025·湖南衡阳·模拟预测）化简的结果为________．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法约分即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
32．（25-26八年级下·四川宜宾·阶段检测）已知是实数，并且，则代数式的值是____．
【答案】2020
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值
【分析】先由已知等式变形得到与，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果．
【详解】解：，
，
．
∴
．
33．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）已知，则代数式的值为____．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】先化简所求代数式，再将已知条件整体代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
34．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，其中，则P、Q的大小关系是__________．
【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
通过作差法比较P和Q的大小，计算并化简，结合条件判断计算结果的符号，即可解答．
【详解】解：根据题意，，
∵，
∴，，
∴，即，
∴．
故答案为：．
35．（24-25九年级下·四川成都·期中）已知，且，则__________．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查分式的混合运算，已知式子的值求代数式的值．由得到，根据分式的混合运算将所求式子进行化简，再把代入后进一步化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
36．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知代数式满足．若，则代数式的值为_____．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的混合运算与代数式求值，解题关键是通过因式分解和通分化简分式，再求出的表达式．
先根据分式的运算求出的表达式，再代入计算即可．
【详解】解：由已知方程，右边化简：
，
所以，
则，
当时，．
故答案为：．
37．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于_________．
【答案】
【知识点】无理数、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识等知识点，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解题的关键．
先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m，得到关于m的方程，由m、a、b是有理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0，求出m和的值即可．
【详解】解：
∵x是无理数，
∴，
∴原式，
∵是有理数，
∴设，则，
∵m、a、b是有理数，x是无理数，
∴，解得，．
故答案为：．
38．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：______．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．．
按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
39．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______．
【答案】
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可.
【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变，
∴设（为常数），
等式两边同乘，得
，
整理得 ，
∵该等式对任意恒成立，
∴多项式对应系数相等，即，
且
40．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_______．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法、已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、分式的求值
【分析】利用已知条件，对后两个分式进行变形，将三个分式化为同分母分式，再合并化简即可得到结果；
【详解】解：，
，
将代入第三个分式变形得：，原式
；
41．（2025·吉林四平·模拟预测）先化简，再求值，，其中：．
【答案】；
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把m的值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
原式．
42．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的混合运算及求值，熟练掌握异分母分式的加减法运算是解题的关键．先把括号内的式子通分，再把除法化为乘法，从而把原式化简，从数值中选取一个合适的数代入即可．
【详解】解：
，
，
当时，原式．
43．（21-22八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值．
【答案】；当，原式
【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取的值是解题的关键．
根据分式化简求值的步骤和方法进行即可．
【详解】解：原式
根据分式有意义的条件可知，
∴当取范围内的整数时，只有．
∴当时，原式．
44．（26-27八年级上·北京·课堂例题）化简：．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，然后计算乘法即可．
【详解】解：
．
45．（2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】
；
【知识点】分式化简求值
【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入求值．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【考点4】分式加减的实际应用与探究创新
· 行程：时间=路程÷速度，往返相加
· 工程：设总量为 1，效率=1÷时间
· 两管同开：时间为
· 比较大小用作差法，注意字母范围讨论
· 列式后必须化简为最简分式
46．（24-25八年级下·湖北武汉·开学考试）一水池有甲、乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需要a h，b h可注满空池，现两管同时打开，那么注满空池的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了列代数式（分式），解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
注满空池的时间＝工作总量1÷甲乙效率之和，设工作总量为1，求出甲乙的工作效率，然后求共同工作的时间．
【详解】解：设工作量为1，甲乙的工作效率分别为、，
依题意得：．
故选：D．
47．（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（ ）
A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断
【答案】A
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可．
【详解】解：设两条路的长度为S，
在①路用时为，
在②路用时为，
，
∵，
∴，
由题意可知S、x、y都大于0，
∴，即，
∴，
∴①路用时较小．
故选：A．
48．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小刚从家到学校骑车需要走的上坡路、的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则小刚从家到学校需要的时间可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列代数式、异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式加减计算的应用，根据时间路程速度分别计算出上下坡的时间即可．
【详解】解：，
故选：B．
49．（2025·浙江台州·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为___________小时．
【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题主要考查了列代数式、分式的加减运算等知识点，理解题意正确的列出代数式成为解题的关键．
先根据时间、路程、速度的关系分别求出去时和返回所用的时间，然后把往返的时间分别相加，再化简即可解答．
【详解】解：∵船去时所用时间为：（小时），
∵船返回时所用时间为：（小时），
则船往返的总时间为（小时）．
故答案为：．
50．（2023七年级上·全国·竞赛）求证：．
【答案】
证明：∵，
同理，
，
原式左边
右边．
故原等式成立．
【知识点】分式加减混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和将等式左边每个分式拆项是解题关键；
首先将左式向右式变形，根据等式右边的特点，将等式左边每个分式拆成两个分式的和或差形式，可得可得可得；然后将拆项后的左边各式相加，证得结论即可．
【详解】略
51．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案：
方案A
计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天．
方案B
设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米．
备注
A、B两种方案中的a，b均为正整数，且．
(1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示）
(2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由．
【答案】(1)，
(2)该工程队应采取方案B，证明：
∵
，
，即．
∴该工程队应采取方案B．
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
（）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可；
（）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案．
【详解】（1）解
（2）略
52．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）阅读下列材料：
【材料1】在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，对于一个假分式可以转化为一个整式和一个真分式的形式，例如：．
【材料2】配方法是初中数学思想方法中的一种重要解题方法，它的应用不止适用于有理数，在无理数范围内仍然适用，例如：， 由于，所以，即，所以的最小值为2．
解决下列问题：
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；
(2)如果分式可以变形为（a，b为实数），则 ______；______；
(3)求分式的最大值．
【答案】(1)真
(2)
(3)
【知识点】整式与分式相加减、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了分式的运算、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）根据真分式的定义求解即可得；
（2）将原分式变形为，由此即可得；
（3）先将分式变形为，根据求出最大值即可得．
【详解】（1）解：∵分式的分母的次数是2，分子的次数是1，
∴分式是真分式，
故答案为：真．
（2）解：
，
∵分式可以变形为（为实数），
∴，
故答案为：．
（3）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴分式的最大值为．
💯 课后巩固
复习建议
· 同分母加减：分母不变，分子整体加括号相加减
· 异分母加减：先通分，找最简公分母再计算
· 混合运算：先乘除后加减，除转乘要颠倒
· 化简求值：先化最简再代值，检验分母不为零
· 分子分母相反：提负号得 −1，别硬算
【作业1】（24-25八年级下·河南新乡·阶段检测）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的计算，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则．
原式通分计算即可得答案．
【详解】解：
．
故选：C．
【作业2】（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）若，，则等于（ ）
A． B．0 C．4 D．
【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题利用平方差公式分解所求代数式，再代入x，y的表达式化简计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
【作业3】（2026·河南驻马店·模拟预测）化简的结果是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】先根据分式的加减计算括号内的运算，再根据分式的除法法则计算即可．
【详解】解：
．
【作业4】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）下面计算中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】约分、分式除法、异分母分式加减法、分式乘法
【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的乘法、除法，约分，分式加法逐一验证即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，原选项计算正确，不符合题意；
、，原选项计算错误，符合题意；
、，原选项计算正确，不符合题意；
、
，原选项计算正确，不符合题意；
故选：．
【作业5】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式化简求值
【分析】本题考查分式化简、平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先将分式化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：
，
由，且，
，，
，，
，
，，
原式，
故选：B．
【作业6】（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）若，则______．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简．由已知条件 ，设，代入所求表达式化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴．
则．
故答案为：
【作业7】（2024·河南洛阳·一模）化简： ________．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，利用分式的混合运算法则，结合因式分解化简求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【作业8】（2025·四川成都·二模）计算：__________.
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加法运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．根据分式的加法运算法则即可求出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【作业9】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，求的值为______．
【答案】
【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式，分式的性质，关键是把原式利用完全平方公式进行整理．根据题意，得到，将已知等式变形为，再利用完全平方公式变形，即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案为：．
【作业10】（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）已知，用两种不同的方法比较的大小；
（2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）．
【答案】（1）；
方法一：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
方法二：，
∵，
∴，，，
∴，
∴；
（2）3；2（答案不唯一）
【知识点】分式除法、分式加减的实际应用
【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握分式运算法则．
（1）用作差法和作商法比较大小即可；
（2）根据写出一组符合题意的a、b的值即可．
【详解】解：（1）略
（2）当，时，，，
∵，
∴，符合题意．
【作业11】（24-25七年级下·广西崇左·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】化简得：；解得：
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．掌握分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）利用分式的混合运算法则是解题的关键．首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果．
【详解】解：原式
，
，
；
当时，
原式，
，
．
【作业12】（25-26八年级上·全国·课后作业）有这样一道题：
化简求值：，其中．
小明误把错写成，最后的计算结果也是正确的．这是什么原因？
【答案】
原式．
原式的值是一个常数，
在使原式有意义的情况下，不论为何值，原式的值都等于．
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了初中数学中的分式化简、因式分解、约分及分式运算等知识点，解题的关键在于通过因式分解和约分化简原式，发现化简后的结果为常数，与m的具体值无关，从而解释小明的错误不影响最终结果．通过分式的运算规则逐步化简，解释小明的错误不影响结果的原因．
【详解】略
【作业13】（10.2分式的基本性质（3）八年级数学下册苏科版）已知为实数，且．求的值．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法、已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值
【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键．
根据分式的性质通分，分式的混合运算化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当且时，原式．
【作业14】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值．
【答案】
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、异分母分式加减法、加减消元法
【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：
．
，
，
，解得．
【作业15】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）已知．
(1)分式的分子、分母都加1，所得的分式的值______（填：增大、不变、减小）
(2)将分式的分子、分母都加c，所得的分式的值会如何变化？说说你的理由．
【答案】(1)增大
(2)
解：当或时，的值变大；当时，得值不变；当时，的值变小，
理由如下：
由题意，，
，
∵，
∴，
当时，；
当时，，，
∴，即，
∴；
当时，，，
∴，即，
∴；
当时，，，
∴，即，
∴；
综上，当或时，的值变大；当时，得值不变；当时，的值变小．
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减运算，利用作差法比较代数式的大小是解答的关键．
（1）作差，然后利用分式加减运算法则化简，再与0比较大小即可得出结论；
（2）同理，作差，然后利用分式加减运算法则化简，再分情况讨论与0比较大小即可得出结论；
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
故答案为：增大；
（2）略
【作业16】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
（1）先通分和因式分解，再进行分式的乘除法运算；
（2）先进行幂的运算，再进行分式的乘除法运算，最后合并同类项；
（3）先通分和因式分解，再进行分式的乘除法运算；
（4）先因式分解，再利用乘法的分配律进行运算并约分，最后进行通分，约去公因式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【作业17】（25-26八年级上·全国·单元复习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键掌握分式运算的法则．
（）先算括号内的分式减法，然后算分式除法即可；
（）先算括号内的分式减法，然后算分式除法即可；
（）先算括号内的分式减法，然后算分式除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【作业18】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）．
(1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克；
(2)求出乙两次所购大米的平均单价？
(3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)乙所购买的大米的平均单价较低
【知识点】分式除法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键．
（1）甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到甲两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价；
（2）乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到乙两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价；
（3）二者相减比较大小即可．
【详解】（1）解：∵甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克，
∴甲的平均单价为：；
故答案为：；
（2）解：乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克，
∴乙的平均单价为：；
（3）解：乙所购买的大米的平均单价较低．
理由：，
因为是正数且，
所以，，
故，
即甲的平均单价大于乙的平均单价．
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第16讲·分式的加法与减法·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026--2027人教版八年级数学上册
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解同分母分式加减法的法则，会按「分母不变、分子相加减」直接计算
· 掌握异分母分式加减法的通分规则，会确定最简公分母并正确通分
· 会进行分式的加减混合运算，按运算顺序逐步化简到最简分式
· 掌握「先化简、再求值」的通法，并在给定范围内选出使原式有意义的字母值
· 会列分式加减式表示实际问题中的时间、速度、费用关系并比较大小
📚 知识梳理
☆ 1.同分母分式的加减法
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ±=。这条法则与同分母分数加减完全一致，记住「分母照抄」就不会出错。
分子相加减时要整体加括号。尤其减号后面是多项式时，必须把整个分子括起来再变号，如 −=，若分子是 a−b 则写成 的形式，漏括号是最常见的失分点。
结果必须化成最简分式或整式。分子分母有公因式要约去，能因式分解的先分解再约分，如 =m+n。
运算结果若为整式，直接写整式，不必保留分数形式；分子分母互为相反数时结果为 −1，如 =−1。
概念辨析例题：计算 +
答案：1
解析：先统一分母：因为 y−x=−(x−y)，所以把第二项变形为 −。于是原式 = −==1。分子分母互为相反数的分式值为 −1，这是同分母加减的必考变形。
☆ 2.异分母分式的加减法与通分
异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再按同分母法则计算，即 ±=±=。通分是异分母加减的唯一入口。
找最简公分母的步骤：① 各分母能因式分解的先因式分解；② 系数取各系数的最小公倍数；③ 字母（或因式）取所有出现过的，指数取最高次；④ 各因式相乘。
通分时分子分母必须同乘同一个因式，只乘分母不乘分子会改变分式的值，这是最常见的错误。
分母是多项式时务必先分解再找公分母。如 x2−4 分解为 (x+2)(x−2)，与 x−2 的最简公分母是 (x+2)(x−2)，不是 (x2−4)(x−2)。
整式与分式相加，把整式看作分母为 1 的分式，如 1+=+=。
概念辨析例题：计算 −
答案：
解析：最简公分母是 x(x−1)。第一项分子分母同乘 x，第二项同乘 (x−1)：原式 = −==。减号后整体变号，不能只减 x 而漏掉 −1 变 +1。
☆ 3.分式的加减混合运算
混合运算顺序与分数一致：先乘除、后加减，有括号先算括号内。除号转乘号时，把除式的分子分母颠倒，同时注意符号。
分式加减与乘除混合，通常先把每个分式化简（分解因式、约分），再按顺序运算，能约的先约可以大幅减少计算量。
括号前是减号，去括号时括号内每一项都要变号；括号前是除号，去括号时括号内乘除都要颠倒。
多步运算中每算完一步就检查能否约分，结果必须是最简分式或整式，分子分母不能还有公因式。
含多层分数线时，注意分子分母各自是一个整体，必要时先给分子分母加括号再运算。
概念辨析例题：计算 (1−)÷
答案：
解析：先算括号内：1−==。再把除法转乘法：×=×。约去 a 与 (a+1)，得 a−1，即结果为 。注意最后一步约分后 a 已被约掉，结果里不能再出现 a 在分母。
☆ 4.分式的化简求值与取值限制
化简求值通法：先化成最简分式，再把字母的值代入，不要一开始就代入数值计算，那样计算量大且易错。
取值限制：使原分式有意义的条件是所有分母都不为零。若题中给出多个候选值，必须逐个检验是否使某个分母为零，为零的值必须舍去。
若化简过程中约去了含字母的因式，被约去的因式等于零的值也要舍去（因为原式中它出现在分母上），这是最容易忽略的陷阱。
整体代入思想：当已知条件是 a2−3a+1=0 这类关系时，不必解出 a，而是把 a+ 或 a2+ 当作整体代入求值。
化简结果要写成最简形式，能因式分解的继续分解，能约分的继续约分，最终答案通常是一个整式或最简分式。
概念辨析例题：先化简，再求值：÷，其中 x=3
答案：1
解析：分解因式：x2−1=(x+1)(x−1)，x2−2x+1=(x−1)2。除法转乘法：×。约去公共因式 (x+1) 与 (x−1)，分子剩 (x−1)、分母剩 (x−1)，结果为 1，与 x 无关。代入 x=3 仍得 1。要点：化简结果不含字母时说明原式是恒等式，此时求值只是验证。
☆ 5.分式加减的实际应用
行程与工程问题是分式加减的主战场：时间 = 路程 ÷ 速度，工作总量常设为 1，工作效率 = 1 ÷ 时间。
往返问题：去程时间 ，回程时间 ，总时间两者相加；平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是两个速度的算术平均。
进水管问题：甲管单独 a 小时注满，乙管单独 b 小时注满，两管同开的时间为 =，这是可用公式，但更该掌握推导。
比较大小问题：作差法最常用，先算两式之差，再判断差的符号。含字母时要讨论字母的取值范围。
列式后要把式子化简，题目问「时间」「速度」就化简成最简分式，不要停在未化简的复合分式上。
概念辨析例题：一水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管需 a 小时注满，单独开乙管需 b 小时注满。两管同时打开，注满空池需要多少小时？
答案：
解析：把满池水量看作 1，甲管每小时注 ，乙管每小时注 ，两管每小时共注 +=。注满所需时间 = 1 ÷ = 小时。注意这是「和」的倒数，不是 a 与 b 的平均。
📋 知识总结表
运算类型
法则
关键提醒
同分母加减
±=
分母不变，分子整体加括号
异分母加减
先通分，再按同分母计算
分子分母同乘同一因式
最简公分母
系数取最小公倍数，字母取最高次
分母先因式分解
混合运算
先乘除后加减，有括号先算括号
除转乘时颠倒分子分母
化简求值
先化最简，再代值
检验分母不为零
分子分母相反
=−1
提负号后约分
实际应用
时间=路程÷速度，效率=1÷时间
平均速度=总路程÷总时间
⚠️ 核心考点
【考点1】同分母分式的加减法
· 分母不变，分子相加减，分子整体加括号
· 分子分母互为相反数时，先提负号再约分，结果为 −1
· 结果必须化成最简分式或整式
· 分子是多项式时先去括号合并同类项，再因式分解约分
1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）化简的结果是（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．
2．（2025九年级·全国·专题练习）计算：（ ）
A．1 B． C． D．
3．（25-26八年级下·四川成都·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·广东汕头·一模）_______
5．（2026·湖北·中考真题）计算的结果是_______．
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是______．
7．（23-24八年级下·吉林长春·期中）计算：．
【考点2】异分母分式的加减法
· 先确定最简公分母：系数最小公倍数、字母最高次
· 分母能因式分解的先分解，再找公分母
· 通分时分子分母同乘同一因式，切勿只乘分母
· 整式看作分母为 1 的分式一起通分
8．（21-22八年级上·山东菏泽·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·天津南开·二模）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2026·安徽阜阳·三模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·山西吕梁·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级上·北京·单元测试）计算：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________；
（4） ___________．
13．（24-25八年级上·北京大兴·期末）计算：________．
14．（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是______．
15．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）计算：______．
16．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：．
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
【考点3】分式的加减混合运算与化简求值
· 先乘除后加减，有括号先算括号内
· 除号转乘号时把除式分子分母颠倒
· 先化简再代值，不要一开始就代入数值
· 整体代入：把 a+ 一类式子作为整体
· 检验候选值是否使原分母为零，为零则舍去
19．（2024·河北·模拟预测）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（ ）
A． B．
C． D．
20．（2024·广东阳江·一模）已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
21．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知实数x、y、z满足，则分式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2 E．
23．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）计算的结果是___________．
26．（2025·山东济南·二模）的结果为________．
27．（2025·湖北·三模）计算：________．
28．（2023·四川成都·模拟预测）化简：_______
29．（25-26七年级下·安徽六安·期末）已知（其中、均为常数），则_________．
30．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）化简的结果是______．
31．（2025·湖南衡阳·模拟预测）化简的结果为________．
32．（25-26八年级下·四川宜宾·阶段检测）已知是实数，并且，则代数式的值是____．
33．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）已知，则代数式的值为____．
34．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，其中，则P、Q的大小关系是__________．
35．（24-25九年级下·四川成都·期中）已知，且，则__________．
36．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知代数式满足．若，则代数式的值为_____．
37．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于_________．
38．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：______．
39．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______．
40．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_______．
41．（2025·吉林四平·模拟预测）先化简，再求值，，其中：．
42．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值．
43．（21-22八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值．
44．（26-27八年级上·北京·课堂例题）化简：．
45．（2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【考点4】分式加减的实际应用与探究创新
· 行程：时间=路程÷速度，往返相加
· 工程：设总量为 1，效率=1÷时间
· 两管同开：时间为
· 比较大小用作差法，注意字母范围讨论
· 列式后必须化简为最简分式
46．（24-25八年级下·湖北武汉·开学考试）一水池有甲、乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需要a h，b h可注满空池，现两管同时打开，那么注满空池的时间是（ ）
A． B． C． D．
47．（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（ ）
A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断
48．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小刚从家到学校骑车需要走的上坡路、的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则小刚从家到学校需要的时间可以表示为（ ）
A． B． C． D．
49．（2025·浙江台州·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为___________小时．
50．（2023七年级上·全国·竞赛）求证：．
51．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案：
方案A
计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天．
方案B
设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米．
备注
A、B两种方案中的a，b均为正整数，且．
(1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示）
(2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由．
52．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）阅读下列材料：
【材料1】在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，对于一个假分式可以转化为一个整式和一个真分式的形式，例如：．
【材料2】配方法是初中数学思想方法中的一种重要解题方法，它的应用不止适用于有理数，在无理数范围内仍然适用，例如：， 由于，所以，即，所以的最小值为2．
解决下列问题：
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；
(2)如果分式可以变形为（a，b为实数），则 ______；______；
(3)求分式的最大值．
💯 课后巩固
复习建议
· 同分母加减：分母不变，分子整体加括号相加减
· 异分母加减：先通分，找最简公分母再计算
· 混合运算：先乘除后加减，除转乘要颠倒
· 化简求值：先化最简再代值，检验分母不为零
· 分子分母相反：提负号得 −1，别硬算
【作业1】（24-25八年级下·河南新乡·阶段检测）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【作业2】（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）若，，则等于（ ）
A． B．0 C．4 D．
【作业3】（2026·河南驻马店·模拟预测）化简的结果是（）
A． B． C． D．
【作业4】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）下面计算中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业5】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【作业6】（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）若，则______．
【作业7】（2024·河南洛阳·一模）化简： ________．
【作业8】（2025·四川成都·二模）计算：__________.
【作业9】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，求的值为______．
【作业10】（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）已知，用两种不同的方法比较的大小；
（2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）．
【作业11】（24-25七年级下·广西崇左·期末）先化简，再求值：，其中．
【作业12】（25-26八年级上·全国·课后作业）有这样一道题：
化简求值：，其中．
小明误把错写成，最后的计算结果也是正确的．这是什么原因？
【作业13】（10.2分式的基本性质（3）八年级数学下册苏科版）已知为实数，且．求的值．
【作业14】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值．
【作业15】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）已知．
(1)分式的分子、分母都加1，所得的分式的值______（填：增大、不变、减小）
(2)将分式的分子、分母都加c，所得的分式的值会如何变化？说说你的理由．
【作业16】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【作业17】（25-26八年级上·全国·单元复习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【作业18】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）．
(1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克；
(2)求出乙两次所购大米的平均单价？
(3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由．
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